1, 2, 3, 4

Вправи для самостійного розв’язування

5.14.Із нормально розподіленої сукупності з DX = σ2 зроблено вибірку обсягом n. Знайти оцінку для МХ. Перевірити її на незміщеність, ефективність та обґрунтованість.

5.15.Із нормально розподіленої сукупності з MX = a зроблено

вибірку обсягом n. Знайти оцінку для DХ. Перевірити її на незміщеність, ефективність та обґрунтованість.

5.16. Із сукупності, розподіл у якій задається щільністю

1		−	(ln x−µ)2			( )	(x > 0),	зроблено вибірку обсягом n. Знайти
	2π e				2
f (x)= xσ			2	σ

оцінку для µ і перевірити її на незміщеність, ефективність та об-

ґрунтованість (значення σ2 відоме).

5.17. Із напівнормально розподіленої сукупності зроблено ви-

бірку обсягом n. Знайти оцінку для σ2 . Перевірити оцінку на не-

зміщеність,

ефективність

та

обґрунтованість,

якщо f (x)=

2

2

−

x

=

2

, x > 0.

2π

e 2σ

σ

5.18. Із сукупності зі щільністю:

f (x)=

−a(x−µ)2

, якщо x ≥ µ,

ae

якщо x < µ.

0,

зроблено вибірку обсягом n. Знайти оцінки для a i

µ.

5.19. Із сукупності зі щільністю:

f (x)= xσ

1

ln x−µ 2

2π e

2σ2 , якщо x > 0,

−

якщо x

≤ 0.

0,

зроблено вибірку обсягом n. Знайти оцінки для µ i

σ2.

5.20. Із сукупності, яка має подвійний розподіл Пуассона,

зроблено вибірку обсягом n.

Знайти оцінки параметрів a1 i a2 ,

якщо P(X = m)=

1 am

e

−a

1 am

e

−a

1

1 +

2

2 , m = 0,1,....

2 m!

2 m!

5.21. Із сукупності, яка має поліноміальний закон розподілу,

зроблено вибірку

обсягом r.

Знайти оцінки для параметрів

141

p1, p2 ,..., ps ,					якщо	P(X1 = m1 , X 2	= m2 ,..., X s	= ms )=
=		n!	p m1	p m2 ...p ms .
	∏s (mi )!
			1	2	s
	i=1
	5.22. Із сукупності, розподіленої за законом Паскаля, зроблено
вибірку			обсягом		n. Знайти	оцінку для	параметра	p, якщо

P(X = m)= Cm+ − ps (1− p)m , m = 0,1,....

m s 1

5.23. Із сукупності, розподіленої за біноміальним законом зроблено вибірку обсягом r. Знайти оцінку для параметра p і показати, що вона незміщена, ефективна та обґрунтована, якщо

P(X = m)= Cnm pm (1− p)n−m , m = 0,1,..., n.

5.24. Із сукупності зі щільністю

αp x p−1e−αx

f (x)= Γ(p) , x > 0

зроблено вибірку обсягом n. Знайти оцінку для параметра α і показати, що вона має додатне зміщення. Усунувши зміщення, переконатися в тому, що така оцінка асимптотично ефективна.

5.25. Із сукупності, розподіленої показниково, зроблено вибірку обсягом n. Знайти оцінку для параметра a, ліквідувати змі-

щення і перевірити, чи буде здобута оцінка ефективною.

5.26. Із сукупності зі щільністю f (x)= ae−a(x−α), x ≥ α, зроблено вибірку обсягом n: X1, X 2 ,..., X n . Як оцінка параметра α пропонується αˆ = min{Xi }. Чи буде ця оцінка:

i

а) незміщеною (якщо ні, то знайти незміщену оцінку); б) обґрунтованою?

5.27. Із рівномірно розподіленої сукупності зроблено вибірку обсягом n: X1, X2 ,...Xn. Як оцінка довжини інтервалу b − a пропо-

нується	ˆ	= Z	−V ,	де Z = max{Xi}, V = min{Xi}.		Чи буде ця оцінка
	h
незміщеною ?				i	i

5.28. Під час перевірки 400 лампочок середній строк їх горіння становив 1220 год. Оцінити з надійністю γ = 0,95 математичне

сподівання тривалості горіння, якщо σ = 35 год і в сукупності виконується нормальний закон розподілу.

5.29. На основі 100 спостережень було визначено, що в середньому для виробництва деталі потрібно 5,5 с, а s2 = 2,89. Вважаючи, що тривалість виготовлення деталі розподілена нормально,

142

знайти інтервальні оцінки для a i σ2 з надійністю 0,96 і 0,98 відповідно.

5.30. Систематичні помилки вимірювального приладу дорівнюють нулю, а випадкові розподілені нормально з σ = 20 м. Потрібно, щоб абсолютне значення різниці між здобутим результатом і справжнім її значенням не перевищувало 10 м. Визначити, з якою ймовірністю ця вимога виконуватиметься, якщо береться середнє арифметичне n вимірювань і n = 4, 9, 16, 25.

5.31. У результаті вимірювання максимальної ємності 20 конденсаторів дістали такі числові характеристики: x = 4,47 пф,

s2 = 0,0121 пф2 . Порівняти точність оцінки матетичного сподівання a за допомогою x з надійністю γ = 0,95 , скориставшись нор-

мальним законом розподілу і законом розподілом Стьюдента. 5.32. У ВТК виміряно діаметри 200 валів, виготовлених одним

верстатом-автоматом. При цьому здобуто такі числові характеристики відхилення розмірів від номіналу: x = 43 мкм, s2 = 90,25 мкм2.

За допомогою асимптотично нормального розподілу знайти інтервальні оцінки для математичного сподівання та дисперсії з надійністю γ = 0,99.

5.33. Для деякої партії втулок потрібно визначити відсоток браку. Вибірка обсягом n = 500 дала 30 дефектних виробів. З надійністю γ = 0,99 визначити межі для частки (у відсотках) браку у

всій партії.

5.34. Як оцінку відстані до навігаційного знака беруть середнє арифметичне незалежних вимірювань, що їх виконали n дальномірів. Похибки вимірювання розподілені нормально з a = 0 i σ =10 м. Скільки потрібно дальномірів, щоб абсолютна величина похибки вимірювання відстані з імовірністю 0,96 не перевищувала 15 м?

5.3. ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

Статистичною називається гіпотеза, яка стосується виду або параметрів розподілу випадкової величини і яку можна перевірити на підставі результатів спостереження у випадковій вибірці. Перевіряючи статистичні гіпотези за результатами випадкової вибірки, завжди ризикують прийняти хибне рішення. Але в такому можна обчислити ймовірність прийняття хибного рішення і, якщо вона мала, ризик помилки буде невеликим. Помилки, яких можна припуститися, бувають двох родів. Помилка першого роду

полягає в тому, що гіпотеза перевірювана H0 відхиляється, тоді як вона правильна. Помилка другого роду полягає у тому, що гі-

143

потеза H0 приймається, тоді як вона хибна, а правильною є деяка гіпотеза H1. Ця гіпотеза, яка протиставляється гіпотезі H0 , нази-

вається альтернативною. При цьому, хоча множина альтернативних гіпотез може бути нескінченною, висувається тільки одна

альтернативна гіпотеза H1. Статистичні гіпотези поділяються на

прості і складні. Проста гіпотеза однозначно визначає закон розподілу випадкової величини. Для побудови статистичного кри-

терію, який дає змогу перевірити деяку гіпотезу H0 , необхідно

вибрати статистичну характеристику гіпотези Q — деяку ви-

біркову функцію, визначити допустиму ймовірність помилки першого роду α (рівень значущості), сформулювати альтернативну гіпотезу H1, знайти критичну область G для статистичної ха-

рактеристики, щоб мінімізувати ймовірність помилки другого роду. Критична область G — це така множина значень Q, що ко-

ли Q G, то гіпотеза H0 відхиляється на користь гіпотези H1.

Критична область визначається так, щоб імовірність потрапляння в неї статистичної характеристики за умови, що правильна гіпо-

теза H0 , дорівнювала α — заданому рівню значущості, тобто

P(Q G / H0 )= α. Крім того, необхідно, щоб P(Q G / H1 ) була максимальною, тобто ймовірність помилки другого роду має бути

мінімальною. Останнє співвідношення називається вимогою ма-

ксимізації потужності критерію, який виражає ймовірність то-

го, що не буде допущено помилки другого роду.

Статистичні гіпотези поділяються на параметричні і непараметричні. Параметричні гіпотези передбачають, що вигляд закону розподілу відомий і перевірка зводиться до перевірки значень невідомих параметрів.

У разі, коли гіпотези H0 i H1 прості і розглядається непере-

рвна випадкова величина, то побудова критерію ґрунтується на теоремі Неймана—Пірсона.

Коли гіпотеза, що перевіряється, і альтернативна їй гіпотеза є простими гіпотезами виду відповідно H0 : θ = θ0 i H1 : θ = θ1 і як-

що L(x1, x2 ,..., xn ,θ0 ) і L(x1, x2 ,..., xn , θ1 ) — функції правдоподібності, які знайдено за умови, що правильна відповідно гіпотеза H0

або H1 , то існує найпотужніший критерій для гіпотези H0 сто-

совно альтернативної гіпотези H1. Критична область і статис-

тична характеристика гіпотез визначаються нерівністю:

L(x1, x2 ,..., xn ,θ1 )≥ cL(x1, x2 ,..., xn ,θ0 ), де С — додатна стала, значення якого залежить від рівня значущості.

144

Якщо принаймні одна з гіпотез H0 або H1 не є простою, не-

рівність не можна застосувати. У цьому разі можна побудувати критерій, що ґрунтується на відношенні функцій правдоподібності (знову вважається, що розподіл у сукупності непере-

рвний).

що змінна

Х

має

щільність

виду

Припустимо,

f (x,θ1,θ2 ,...,θr ), яка залежить від

r

параметрів, а гіпотеза H0

подається у вигляді:

θ

ω, де

θ

— вектор з s компонентами

(s ≤ r), a

ω — деяка підмножина Ω усіх можливих значень па-

раметра.

Гіпотеза

H1 :

Ω \ ω.

Для побудови критерію визна-

θ

чають функцію правдоподібності

L(x1, x2 ,..., xn ,

), а далі знахо-

θ

дять її максимуми для випадків, коли

ω i

Ω.

Далі

θ

θ

складають відношення:

max L(x1, x2 ,..., xn ,

)

θ

λ =

θ ω

.

max L(x

, x

,..., x ,

)

θ

θ Ω

1

2

n

Значення λ завжди належить інтервалу (0;1). Чим ближче λ до одиниці, тим правдоподібніша гіпотеза H0 і навпаки: чим ближ-

че значення λ до нуля, тим більше підстав для відхилення H0.

Критична область для λ лівостороння. Вона визначається з умо-

ви: P(λ < λα / H0 )= α.

Якщо відомий закон розподілу для λ, то можна знайти границю критичної області для заданого критерію. Критерії, що ґрунтуються на відношенні функцій правдоподібності, асимптотично найпотужніші.

Розглянемо основні параметричні статистичні критерії.

А. Перевірка гіпотези про математичне сподівання нормально розподіленої сукупності

Якщо	дисперсія	сукупності			відома і дорівнює σ2 , то при
H0: a = a0.	і H1: a = a1		за статистичну характеристику береться
вибіркова функція		Z =	X −a0	n.	Критична область визначається
			σ

залежно від значення a1 і відповідно до рівня значущості α. Можливі три випадки.

145

1. Якщо a1 > a0 , то критична область правостороння. Її межа

P(Z ≥ zα )= 1

∞

−

t 2

zα

визначається

за

умовою:

∫e

2

dt =

= 0,5 − Φ(zα )= α . Тоді zα = Φ−1(0,5 −α).

2π zα

лівостороння, zα =

2. Якщо

a1 < a0 ,

то

критична

область

= −Φ−1 (0,5 − α).

то

критичній

області

належать

значення

3. Якщо

a1 ≠ a0 ,

z ≥ zα

i z ≤ −zα . При цьому zα = Φ

−1

0,5 −

α

2

.

2

2

2

Коли дисперсія сукупності невідома, то для перевірки гіпотези

використовується вибіркова функція Z =

X − a0

n −1,

розподіле-

s

на за законом Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Вигляд критич-

ної області визначають так само, як і в попередніх випадках, а межу знаходять за допомогою таблиць розподілу Стьюдента з відповідною кількістю ступенів волі. Якщо n > 20, то розподіл Стьюдента апроксимується нормальним розподілом з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Б. Перевірка гіпотези про дисперсію нормально розподіленої сукупності

Коли рівень значущості дорівнює	α, перевіримо гіпотезу
H0: σ2 = σ02 за альтернативної гіпотези	H1: σ2 = σ12. Якщо справ-

джується гіпотеза, яка перевіряється, то вибіркова функція

U = nS 2 має розподіл χ2 з n – 1 ступенями волі. Як і в попередніх

σ02

випадках, вигляд критичної області визначається значенням σ12. Межі критичної області визначаються так:

1) якщо σ12 > σ02 , то критична область G правостороння,

Uα = χ2 (α);

2) якщо σ12 < σ02 , то критична область G лівостороння,

Uα = χ2 (1− α);

3) якщо σ12 = σ02 , то критична область двостороння. Їй належать значення U ≤ u1 і U ≥ u2 , де u1 = χ2 1 − α2 , a u2 = χ2 α2 .

146

В. Перевірка гіпотези про істотність різниці математичних сподівань

двох нормально розподілених сукупностей

Нехай задано дві нормально розподілені сукупності з однаковими дисперсіями, але, можливо, із різними математичними сподіваннями. Із цих сукупностей зроблено вибірки обсягом відпові-

дноn1 i n2 .

Числові

характеристики вибіркових

сукупностей:

1, S12 i

2 , S22. Якщо позначити різницю

a1 − a0 = δ, то гіпотезу

X

X

H0 : δ = δ0

можна перевірити за допомогою вибіркової функції

1 −

2 −δ0

Z =

X

X

.

Якщо гіпотеза H0

правильна, то Z має

n s2 + n s2

1

1

+

1 1

2 2

n1 + n2 −2

n2

n1

n1 + n2 − 2 ступенями волі.

Залежно від

розподіл Стьюдента з

значення δ1 у альтернативній гіпотезі визначають критичну

область за допомогою таблиць розподілу Стьюдента, а в разі великих значень n1 i n2 — за допомогою таблиць функції Ла-

пласа.

Г. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормально розподілених сукупностей

Нехай задано дві нормально розподілені сукупності. На підставі вибірок обсягом n1 i n2 із цих сукупностей потрібно переві-

рити гіпотезу H0: σ12 = σ22				за альтернативної гіпотези				H1: σ12	> σ22 .
Статистичною характеристикою для перевірки гіпотези H0									буде
			n1			s2
			n −1
вибіркова функція F =						1	. При побудові відношення чисе-
		1
			n			s2
		2
			n −1
						2
		2
льник має бути не меншим від знаменника. Якщо гіпотеза H0
правильна,	то вибіркова			функція F має розподіл				Фішера з
n1 −1 i n2 −1	ступенями волі. Критична область G правостороння
і визначається умовою P(F ≥ fα )= α.
						147

Д. Критерій дисперсійного аналізу

Нехай задано k нормально розподілених сукупностей з однаковими дисперсіями і, можливо, різними математичними споді-

ваннями. Із кожної сукупності зроблено вибірку обсягом ni . Перевіряється гіпотеза H0: a1 = a2 =... = ak . Статистичною характеристикою гіпотези є вибіркова функція

1 ∑(X i − X )2 ni

F =

k

,

k −1

i=1

1 ∑ ∑(X ij − X i )

k ni

n − k i=1 j =1

1

n

де Xij

— j-те значення випадкової величини X i ;

X

i =

∑i X ij ;

ni

1

j =1

k

k

x =

∑ x

n

;

n = ∑n

. Якщо гіпотеза H

0

правильна, то вибіркова

n i=1 i

i

i=1

i

функція має розподіл Фішера з k – 1 i n – k ступенями волі. Критична область правостороння і визначається так, як це було зроблено в попередньому пункті.

Крім наведених параметричних критеріїв перевірки статистичних гіпотез розглядаються критерії для перевірки непараметричних статистичних гіпотез, сутність яких можна схарактеризувати так.

Якщо маємо вибірку обсягом n, то чи правильним є тверджен-

ня, що її зроблено із сукупності з даною функцією розподілу

F0 (x)?

Критерій χ2 Пірсона

Критерій ґрунтується на порівнянні теоретичних і емпіричних частот. Нехай область реалізацій випадкової величини розбито на

k

k інтервалів, частоти яких дорівнюють ni , ∑ni = n. Якщо гіпоте-

i=1

за про закон розподілу в сукупності правильна, то можна обчислити ймовірності pi = P(xi−1 ≤ X < xi ), тобто ймовірність потрап-

ляння випадкової величини на i-й інтервал. Теоретичні частоти потрапляння нa цей інтервал можна розглядати як математичне сподівання компонентів випадкової величини, розподіленої за поліноміальним законом:

148

						P(X1 = m1; X 2 = m2;...; X k = mk )=
		=			n!	pim1 p2m2 ...pkmk ; MXi = ni′ = npi , i =1,2,...,k.
			k
			∏		(mi )!
			i =1
	Статистичною характеристикою гіпотези є вибіркова функція
	U = ∑k	(ni′ − ni )2			. Якщо n → ∞ , то вибіркова функція має розподіл
		ni′
	i=1
	χ2 з k − r −1 ступенями волі, де r — кількість параметрів, оцінки

для яких знайдено за вибірковими даними. Критична область для статистичної характеристики правостороння.

Критерій Колмогорова

Критерій ґрунтується на порівнянні статистичної і теоретичної функцій розподілу. Якщо

	D	n	= max		F (x)− F(x)		,
			x		n
то при n → ∞
	P( nDn ≥ λα )→1− K(λ),
де	∞
	K(λ)= ∑(−1)i e−2i2λ2 , λ > 0. За допомогою таблиць розподілу Ко-

лмогороваi=1визначається правостороння критична область.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Побудувати найпотужніший критерій для перевірки гіпотези H0: a = a0 за альтернативної гіпотези H1: a = a1 , якщо

вибірку обсягом n зроблено з нормально розподіленої сукупності з дисперсією, що дорівнює σ2 . Дібрати таке значення С, при якому α = 0,02, якщо a0 =10, a1 =12, σ2 = 9, n = 25. Яка з гіпотез приймається, якщо x =10,9 ?

Розв’язання. Застосуємо нерівність із теореми Неймана — Пі-

рсона: L(x1, x2 ,..., xn ,a1 )≥ cL(x1, x2 ,..., xn ,a0 ). Побудуємо функції правдоподібності:

149

1

1

n

(xi −a1 )2

−

∑

L(x , x ,..., x

,a )=

2

e 2σ

i=1

,

n

n

1

2

n.

1

(2π)

(σ2 )

2

2

1

1

n

(xi −a0 )2

−

∑

L(x

,a )=

2

, x

,..., x

e 2σ

i=1

.

n

n

1

2

n.

0

(2π)

(σ2 )

2

2

Підставимо функції правдоподібності в нерівність і виконаємо спрощення скороченням сталих множників. Дістанемо нерівність

1

n

(xi −a1 )2

1

n

2

−

∑

−

∑(xi −a0 )

, яку

прологарифмуємо

і

виконаємо

e 2σ2

i=1

≥ Ce 2

σ2 i=1

низку перетворень:

−

1

∑n (xi − a1 )2 ≥ ln C −

1

∑n (xi − a0 )2 ;

2σ2

2σ2

i=1

i=1

1

∑n (xi − a0 )2 − ∑n (xi

− a1 )2 ≥ ln C;

2σ2

i=1

i=1

n

n

n

n

∑ xi2 −

2a0 ∑ xi + na

02 − ∑ xi2

+ 2a1 ∑ xi − na12 ≥ 2σ2 ln C;

i=1

i=1

i=1

i=1

∑xi

≥ 2σ

2

2

2

бо за

умовою

a1 > a0.

Після заміни

ln C + n(a1

− a0 ),

n

i=1

2(a1 − a0 )

2

ln C

2

2

).

∑xi

= nx,

остаточно дістанемо X ≥ 2σ

+ n(a1 − a0

n

i=1

2n(a1 − a0 )

Отже, статистичною характеристикою гіпотези є вибіркова фун-

	кція X ,	а критичною областю для неї — множина значень, не мен-
	ших за	2σ2 ln C + n(a2	− a2 )			. Щоб дібрати значення С, потрібно знати
		1	0
		2n(a1 − a0 )
	закон розподілу вибіркової функції. Якщо справджується гіпотеза
	H0 , то вибірку зроблено з нормально розподіленої сукупності з
	a =10 i σ2 = 9. Тоді
			MX		=10, a DX = 0,36. Центруємо і нормуємо

вибіркову функцію, щоб застосувати таблиці функції Лапласа. Аналогічні перетворення виконуємо з правою частиною нерівності:

−10

18ln C + 25(144 −100)

5

−10

18ln C +100

X

−10

;

X

≥

.

Кри-

≥

0,6

50 2

3

0,6

60

тична

область

правостороння,

тому

її межа

zα = Φ−1(0,5 − α);

150