1, 2, 3, 4
.pdf
|
Y |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
nxi |
X |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
9 |
4 |
1 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
1 |
10 |
9 |
3 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
2 |
6 |
14 |
6 |
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
1 |
10 |
18 |
6 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ny j |
|
10 |
16 |
17 |
27 |
24 |
6 |
10 |
5.72. У результаті обстеження дістали статистичний розподіл 141 цукрового заводу за основними виробничими фондами, млн грн, Х і за середньодобовою переробкою цукрових буряків, Y, тис. ц:
|
Y |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
nxi |
X |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,25 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,75 |
|
4 |
6 |
9 |
2 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,25 |
|
5 |
9 |
15 |
10 |
2 |
1 |
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,75 |
|
|
4 |
6 |
7 |
7 |
|
1 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,25 |
|
3 |
3 |
2 |
7 |
8 |
1 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,75 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
3 |
2 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,25 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,75 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,25 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ny j |
|
13 |
22 |
35 |
31 |
22 |
8 |
5 |
2 |
3 |
141 |
Вибрати форму залежності між Х та Y, знайти рівняння ліній регресії й оцінити тісноту зв’язку.
181
5.73. У результаті спостереження одержано статистичний розподіл 40 га зрошуваних земель за глибиною зрошення (Х) та урожайністю (Y).
|
Y |
10 |
12 |
14 |
16 |
nxi |
X |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
2 |
3 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
1 |
4 |
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
2 |
2 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
2 |
3 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
2 |
2 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
ny j |
|
6 |
10 |
14 |
10 |
40 |
Вибрати форму залежності між Х та Y, знайти рівняння ліній регресії та оцінити тісноту зв’язку.
182
БЛОЧНО-МОДУЛЬНИЙ КОНТРОЛЬ
ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА № 1
Задача 1. Із 20 банків 10 розташовані за межами міста. Для дослідження випадково обрано 5 банків. Яка ймовірність того, що серед обраних у межах міста виявляться:
А. 3 банки; В. Хоча б один банк?
Задача 2. Яка ймовірність того, що навмання кинута в круг точка виявиться в квадраті, вписаному в цей круг?
Задача 3. Експедиція видавництва відправила газети в три поштових відділення. Імовірність своєчасної доставки до 1-го відділення дорівнює 0,95, до 2-го відділення — 0,9, до 3-го відділення — 0,8. Знайти ймовірність таких подій:
А. Тільки одне відділення отримає газети своєчасно; В. Хоча б одне відділення отримає газети із запізненням.
Задача 4. Контролер ВТК, перевіривши якість пошиття 16+А пальт, встановив, що 16 з них 1-го сорту, а решта — 2-го сорту. Знайти ймовірність того, що серед взятих навмання з цієї партії трьох пальт одне буде 2-го сорту?
Задача 5. У коробці перемішано електролампи однакового розміру і форми: потужністю 100 Вт — 7 шт., потужністю 75 Вт. —
13шт. Вилучено навмання 3 лампи. Яка ймовірність того, що: А. Вони однакової потужності; В. Хоча б дві з них потужністю 100 Вт.
Задача 6. У робітника-складальника є 3 деталі 1-го сорту і 7 деталей 2-го сорту. Він бере спочатку одну деталь, а потім другу. Знайти ймовірність того, що перша із взятих деталей 1-го сорту, а друга — 2-го сорту.
Задача 7. Мисливець, який має 4 патрони, стріляє по дичині до першого влучення або до витрати всіх патронів. Імовірність
183
влучення за першого пострілу дорівнює 0,6, а в разі кожного наступного зменшується на 0,1:
Необхідно:
А. Скласти закон розподілу кількості патронів, витрачених мисливцем;
В. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
Задача 8. Нехай Х — виручка фірми, у. о. Знайти розподіл виручки Z = XY у гривнях у перерахунку за курсом у. о., якщо виручка Х не залежить від Y , а закони розподілів випадкових
величин Х і Y мають вигляд:
Х:
Х |
1000А |
2000А |
|
|
|
Р |
0,7 |
0,3 |
|
|
|
Y:
Y |
25+A |
27+A |
|
|
|
Р |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
Задача 9. Розподіл дискретної випадкової величини задано формулою: P(X = k )= Ck 2 , k =1,2,3,4,..., N
А. Знайти константу С.
В. Знайти ймовірність події X − N ≤1.
Задача 10. Випадкова величина Х, розподілена на інтервалі (1; 4), задана квадратичною функцією F(x)= ax2 +bx +c, що має мак-
симум при x = 4. Знайти параметри a,b, c і обчислити ймовірність потрапляння випадкової величини Х в інтервал [2; 3]. Знайти моду, медіану, квантиль x0,4 , 20-процентну точку роз-
поділу, коефіцієнт асиметрії і ексцес.
ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА № 2
Задача 1. Дано ряд розподілу випадкової величини Х:
xi |
N |
N + 4 |
N +5 |
N + 7 |
N +9 |
pi |
0,001N |
0,001(N +5) 0,001(N +10) |
0,001(N + 20) |
0,001 |
|
(N +?) |
|||||
|
|
|
|
184
185
Знайти та зобразити графічно її функцію розподілу. Обчислити ймовірності подій: P(2 + N < x < 6 + N ), P(x > 6 + n).
Побудувати полігон розподілу. Знайти M (x), σ(x).
Задача 2. Нехай X ,Y , Z — випадкові величини: X — дохід
фірми, Y — її витрати, Z = X −Y — прибуток. Знайти розподіл доходу, якщо витрати і дохід незалежні і задані розподілами X :
xi |
|
3 + N |
|
4 + N |
5 + N |
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,001N |
|
0,002N |
? |
||
|
|
|
|
|
|
|
Y : |
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
N +1 |
|
N + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p j |
|
|
0,002N |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти M (Z ), σ(Z ).
Задача 3. Дано функцію розподілу випадкової величини Х:
0, x ≤ 0
F(x)= x2 / N 2 , 0 < x ≤ N
1, x > N
1.Знайти щільність розподілу ймовірностей f (x).
2.Побудувати графіки функцій f (x), F(x).
3.Упевнитися в тому, що Х — неперервна випадкова величи-
на.
4. Знайти ймовірності: P(X = N ), P(X < N ), P(N < X < N +1)
(показати дві останні ймовірності на графіках функцій).
5. Обчислити математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X ), моду Mo X , медіану MeX , коефіцієнт асиметрії As , ексцес Ek .
Задача 4. Закон неперервної випадкової величини Х задано
0, x ≤ 0
щільністю ймовірностей f (x)= a(N − x), 0 < x ≤ N . Знайти а. По-
0, x > N
будувати графіки функцій f (x), F(x).
185
ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА № 3
1. Закон розподілу випадкової дискретної величини (X ,Y ) задано таблицею:
yi |
0 |
N +1 |
N + 2 |
N + 3 |
|
xi |
|||||
|
|
|
|
||
−N |
0,001 N |
0,001(N + 2) |
0,001(N +3) |
0,001(N +5) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,001(N +1) |
0,001(N + 4) |
0,001(N +5) |
0,001(N +6) |
|
|
|
|
|
|
|
N |
0,001(N +7) |
0,001(N +6) |
0,001(N + 4) |
? |
|
|
|
|
|
|
Знайти:
а) закони розподілу одновимірних випадкових величин Х і Y; б) умовні закони розподілу випадкової величини Х за умови, і випадкової величини Y за умови, що X = N;
в) імовірність P(Y > X );
г) знайти коваріацію і коефіцієнти кореляції випадкових величин Х і Y;
д) визначити, корельованими чи некорельованими є ці випадкові величини.
2. Двовимірну випадкову величину (X ,Y ) розподілено рівномірно всередині квадрата з центром у початку координат. Сторо-
ни квадрата дорівнюють 
N і утворюють кути 45º з осями коор-
динат. Визначити:
а) вираз спільної щільності розподілу двовимірної випадкової величини (X ;Y );
б) щільності розподілу ймовірностей одновимірних складних випадкових величин Х і Y;
в) їхні умовні щільності; г) залежність Х та Y;
д) коваріацію та коефіцієнти кореляції;
е) корельованість випадкових величин Х та Y.
3. Дано щільності ймовірностей незалежних складних двовимірних випадкових величин (X ;Y ):
ϕ1 |
(x)= 0, якщо x < 0 |
|
Ne−Nx , якщо x > 0 |
|
186 |
ϕ2 |
(y)= 0, якщо y < 0 |
|
(N + k )e−(N +k )y , якщо y > 0 |
|
|
Знайти вираз спільної щільності і функції розподілу двовимірної випадкової величини.
4. Відділення банку у середньому обслуговує 100 N клієнтів за день. Оцінити ймовірність того, що сьогодні у відділенні банку буде обслужено: а) не більше 100 (N +1) клієнтів; б) більш ніж
100 (N +0,5) клієнтів.
5. У середньому 0,1N % (N ≤100) населення деякого регіону потребують працевлаштування. Оцінити за допомогою нерів-
ності Чебишова ймовірність того, що рівень непрацевлаштова- |
|||||||||||||||||||
ності серед 10 000 досліджених буде в межах від |
0,1(N +1) до |
||||||||||||||||||
0,01(N + k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6. Дано Fξη(x, y)= |
1 |
|
|
π |
|
π |
|
|
||||||||||
|
|
|
arctg x + |
|
|
arctg y |
+ |
|
. |
|
|
||||||||
π2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
Fη(y)= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
arctg y + |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) Знайти умовну функцію розподілу Fξ(x y ). |
|
|
||||||||||||||||
|
2) З’ясувати, чи є залежними величини ξ та η . |
|
|
||||||||||||||||
7. |
|
Задано |
|
двовимірну |
щільність |
|
імовірностей |
fξη = |
|||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
та одновимірну |
щільність |
імовірностей |
||||||||
π2 (1 + x2 + y 2 |
+ x2 y 2 ) |
||||||||||||||||||
fη(x)= |
1 |
. |
Знайти умовну щільність імовірностей fξ(x y ). |
|
|||||||||||||||
π(1+ y2 ) |
|
||||||||||||||||||
8. Задана двовимірна функція розподілу
Fξη (x, y)=1−e−kx −e−ny +e−(kx+ny ).
Знайти Fξn (x) та Fη(x).
9. Систему двох випадкових величин задано двовимірною щільністю розподілу
f (x, y)= 1 N , якщо1 < x < N +5, 1 < y < k + 4
ξη у противному разі.
Обчислити кореляційний момент Kξη(x, y).
10. Задано таблицю розподілу системи двох випадкових величин ξη:
187
ξ |
0 + N |
3 + N |
|
η |
|||
|
|
||
|
|
|
|
2 + k |
0,01N |
0.001(N + 2) |
|
4 + k |
0,001(N + k ) |
? |
Обчислити mη(ξ = 3 + N ).
11. Дискретні випадкові величини Х і Y задано розподілами:
|
–2 |
5 |
–3 |
|
0 |
–3 |
1 |
Х: |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
Y: |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
Знайти розподіл |
випадкових |
величин Z1 = XY; |
Z2 = X −Y; |
||||
Z3 = 2XY.
12. Знайти щільність розподілу випадкової величини
Y = max(x1 , x2 ,..., xn ),
де xi — незалежні випадкові величини з відомими законами роз-
поділу.
13. Навмання взято два додатні числа х і у, кожне з яких не перевищує 2. Знайти ймовірність того, що добуток ху буде не
більш ніж 1, а частка y x — не більш ніж 2.
14. Закон розподілу двовимірного випадкового вектора описується щільністю розподілу
δ(x, y)= |
1 |
|
−(x2 +kxy+ny 2 ) |
|
π e |
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
Записати вираз для безумовної щільності fx (x) і вказати зна-
чення основних параметрів спільного розподілу.
15. Випадкові величини ξ і η незалежні і розподілені за законом Пуассона:
P(ξ = k)= |
λk1 |
e−λ1 , P(η = l)= |
λl2 |
е−λ2 . |
|
l! |
|||||
|
k! |
|
|
Знайти закон розподілу їх суми.
16. Випадкові величини ξ і η незалежні і мають той самий показниковий розподіл на відрізку [0;1]: fξ(x)=1 при 0 ≤ x ≤1, fξ(y)=1 при 0 ≤ y ≤1. Знайти функцію розподілу і щільність ймовірностей випадкової величини ζ = ξ+ η. Побудувати графік функції fξ(z).
188
Примітка.
В індивідуальних роботах 1, 2, 3: k — номер студента за списком;
N — номер групи, в якій навчається студент.
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ З РОЗДІЛУ «МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»
Завдання 1
На підставі наведених вибіркових даних:
1)побудувати інтервальний ряд. При цьому область реалізацій розбити на дев’ять однакових інтервалів;
2)згідно з інтервальним рядом побудувати гістограму розподілу відносних частот;
3)знайти числові характеристики вибіркової сукупності: Mo,
Me, x, s2 , As , Ek .
Варіанти завдань визначаються так:
а) номер варіанта збігається з останньою цифрою номера залікової книжки студента;
б) значення реалізацій випадкових величин, які наведено у відповідному варіанті, перераховуються за формулою:
xi′ = xi b+ a ,
де a — номер студента за списком у журналі групи;
b — номер групи з відповідної спеціальності. Перетворюючи числа, у дробовій частині зберегти стільки ж знаків, скільки є у початкових даних.
Варіант 0
Із партії відібрано 100 деталей. При цьому здобуто такі значення розміру, який контролюється:
45,4 |
23,0 |
40,6 |
49,5 |
27,6 |
34,7 |
37,8 |
53,1 |
41,5 |
40,3 |
40,8 |
37,9 |
47,2 |
49,3 |
72,4 |
37,0 |
37,8 |
33,7 |
45,0 |
39,0 |
42,0 |
51,0 |
23,9 |
42,2 |
44,5 |
34,8 |
45,6 |
47,8 |
53,6 |
36,3 |
34,5 |
48,0 |
42,3 |
62,0 |
18,5 |
56,3 |
35,5 |
37,0 |
49,7 |
37,6 |
34,9 |
36,8 |
39,3 |
53,4 |
41,8 |
60,5 |
43,4 |
34,5 |
20,0 |
33,9 |
47,5 |
57,7 |
34,8 |
32,6 |
27,2 |
37,6 |
31,9 |
54,0 |
41,0 |
24,0 |
18,0 |
51,3 |
43,1 |
45,1 |
27,4 |
34,2 |
31,0 |
43,3 |
53,7 |
33,0 |
47,0 |
24,2 |
43,7 |
60,5 |
48,3 |
30,0 |
42,1 |
43,2 |
38,3 |
60,3 |
49,0 |
56,4 |
33,7 |
33,0 |
34,4 |
30,2 |
26,0 |
38,2 |
44,6 |
24,6 |
45,5 |
36,6 |
34,2 |
40,8 |
23,2 |
43,7 |
39,0 |
27,0 |
40,0 |
37,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
189