1, 2, 3, 4

			1	k	r
будуть цілими числами. Тоді h	r	=		∑v	i	n	i	— умовні моменти
			n i=1

розподілу. Звичайні моменти розподілу пов’язані з умовними формулою hr = (∆x)r hr . Це дає змогу обчислювати всі числові характеристики з допомогою умовних моментів розподілу: x = C + ∆xh1 ,

s2 = (∆x)2 (h2 −(h1 )2 ) тощо. Дисперсію часто обчислюють за формулою s2 = x2 −(x)2.

Якщо розглядається вибірка із двовимірної сукупності (X ,Y ),

то за великого її обсягу зручною формою подання даних є кореляційна таблиця. Щоб побудувати її, області реалізацій за обома змінними розбивають на інтервали. В такому разі, як правило,

∆xi = ∆x i ∆y j = ∆y. Для перетинів відповідних інтервалів визначають частоти nij . Коли обчислюють числові характеристики, то кожний інтервал характеризують його серединою. Крім серед-

ніх

значень і

вибіркових

дисперсій

для складових

систе-

ми

визначають

статистичний кореляційний момент

K XY

=

=

1

∑k ∑m (xi

− x)(y j − y)nij

і

вибірковий

коефіцієнт

кореляції

n i=1 j=1

K

rxy =

xy

.

Побудувавши

кореляційну

таблицю з

∆xi = ∆x

і

sx sy

∆y j = ∆y , для обчислення числових характеристик можна використати умовні моменти розподілу. З цією метою виконують заміну

змінних				x −C				y j −C2	( C i C		— відповідно деякі зна-
	u	i	=	i 1	, v	j	=			2
				∆x				∆y	1
чення xi	і		y j ). Числові характеристики вибірки можна знайти за

формулами:

x = C1 + ∆xu, s2x = (∆x)2 (u 2 −(u )2 )= (∆x)2 su2 ; y = C2 + ∆yv, s 2y = (∆y)2 (v 2 −(v )2 )= (∆y)2 sv2 ;

K	= ∆x∆y(uv −uv )= ∆x∆yK	;	r	=	Kuv	.
xy	uv		xy		su sv

Значення середніх величин обчислюють за відомими формулами.

121

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. У цеху встановлено 5 верстатів. Протягом 25 днів реєструвалась кількість верстатів, які не працювали. Здо-

буто такі значення: 0, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 0, 0, 2, 2, 3, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 5, 0. Побудувати статистичну функцію розподілу.

Знайти max F(x)− F (x), вважаючи, що виконується біноміаль-
x	n

ний закон розподілу з p = 13 . Обчислити x i s2. Порівняти знай-

дені значення з MX i DX згідно з гіпотезою про закон розподілу, а також знайти mo , me , R.

Розв’язання. На підставі вибіркових даних складемо статистичний ряд:

xi	0	1	2	3	4	5
Частоти	5	7	7	4	1	1

Запишемо статистичну функцію розподілу, скориставшись
формулою F (x)=	∑	n(xi	)	.
n	xi <x n
				0,					якщо x ≤ 0;
					1		,		якщо 0 < x ≤1;
					5
				12					, якщо1 < x ≤ 2;
					25
	F (x)=				19				, якщо 2 < x ≤ 3;
	n				25
					23				, якщо 3 < x ≤ 4;
					25
					24
									, якщо 4 < x ≤ 5;
					25
									якщо x > 5.
				1,

Щоб визначити max F(x)− F (x) , знайдемо функцію розподілу
x	n

за біноміальним законом з n = 5 i p = 13 .

122

Обчислимо ймовірності:				P(X = m)= Cnm pm (1− p)n−m;
P(X = 0)=	32	; P(X =1)=		80		;		P(X = 2)=		80		; P(X = 3)=		40	;
	243		243											243
								243
		P(X = 4)=			10		;	P(X = 5)=			1		.
				243						243

Запишемо теоретичну функцію розподілу згідно з формулою

F(x)= ∑ p(xi ):

xi <x

	0,			якщо x ≤ 0;
		32
			,	якщо 0 < x ≤1;
		243
	112		,	якщо 1 < x ≤ 2;
		243
	192
	F(x)=		,	якщо 2 < x ≤ 3;
		243
		232	,	якщо 3 < x ≤ 4;
		243
		242	,	якщо 4 < x ≤ 5;
		243
				якщо x > 5.
	1,

Визначимо модуль максимальної різниці значень теоретичної та статистичної функцій розподілу:

max F(x)− Fn (x) =

x

= max 0 −0; 24332 − 15 ; 112243 − 1225 ; 192243 − 1925 ; 232243 − 2523 ; 242243 − 2425 ;1−1 = 121583 .

Істотність знайденого відхилення буде оцінено пізніше, під час перевірки статистичних гіпотез за критерієм Колмогорова.

Знайдемо числові характеристики вибіркової сукупності.

x =	1 ∑ xi ni		= 1 (7 +14 +12 + 4 +5)=1,68.
		k
	n i=1		25
			123

Дисперсію визначимо за формулою s2 = x2 −(x)2. Знайдемо середнє значення квадрата х:

x2 = 251 (7 + 28 +36 +16 + 25)= 4,48.

Отже, s2 = 4,48 −(1,68)2 =1,6576.

Згідно з гіпотезою про закон розподілу теоретичні числові характеристики MX ≈1,67; DX ≈1,11. Бачимо, що значення ма-

тематичного сподівання і вибіркового середнього різняться мало, тоді як між теоретичною і вибірковою дисперсією різниця значна.

Вибірковий розподіл має два значення з найбільшою частотою, розподіл двомодальний, медіана розподілу me = 2. Розмах

варіації R = 5 – 0 = 5.

Приклад 2. Із генеральної сукупності зроблено вибірку обсягом n = 32. Здобуто такі реалізації випадкової величини: 2,2; 7,1; 6,3; 3,9; 5,9; 5,6; 5,6; 4,7; 7,9; 3,2; 6,1; 5,5; 6,4; 6,0; 6,9; 4,7; 6,4; 6,9; 6,7; 7,9; 4,2; 6,7; 6,0; 9,2; 5,5; 6,5; 3,5; 4,9; 7,2; 4,9; 8,9; 5,7. Склас-

ти інтервальний ряд і побудувати гістограму. Запропонувати гіпотезу про вигляд F(x) у сукупності. За допомогою умовних мо-

ментів розподілу знайти x, s2 , As , Ek .

Розв’язання. Для побудови інтервального ряду розбиваємо область реалізацій на 7 інтервалів з однаковими довжинами інте-

	max(x )−min(x )						9,2 − 2,2
рвалів: ∆x =	i	i	i	i	;	∆x =		=1. Частоти кожного
			7
						7
інтервалу знайдемо, визначивши для кожного значення інтервал.
Якщо значення xi			потрапляє на межу, то збільшуємо на 1 часто-

ту нижнього інтервалу.

Інтервал	2,2—3,2	3,2—4,2	4,2—5,2	5,2—6,2	6,2—7,2	7,2—8,2	8,2—9,2
Частота	2	3	4	9	10	2	2

Згідно зі знайденим рядом будуємо гістограму (рис. 5.1).

На підставі побудованої гістограми можна висунути гіпотезу про нормальний закон розподілу в сукупності.

124

	m	m/n
	О	2,2	3,2	4,2	5,2	6,2	7,2	8,2	Х
									9,2

Рис. 5.1

Для обчислення умовних моментів розподілу складемо табли-

	цю, в якій запишемо середини інтервалів ui					=	xi−1 + xi	, їхні часто-
				ui −C		2
	ти	n	і нові змінні v =		. Візьмемо С,	що дорівнює u			4	= 5,7.
		i	i	∆x

У наступних стовпцях обчислені значення vini ,							vi2ni , vi3ni ,		vi4ni , а в
останньому рядку таблиці — їхні суми.
ui	ni	vi	vini		vi2ni		vi3ni		vi4ni
2,7	2	–3	–6		18		–54		162
3,7	3	–2	–6		12		–24		48
4,7	4	–1	–4		4		–4		4
5,7	9	0	0		0		0		0
6,7	10	1	10		10		10		10
7,7	2	2	4		8		16		32
8,7	2	3	6		18		54		162
Сума	32	—	4		70		–2		418

Знайдемо умовні моменти розподілу від першого до четвертого порядків включно:

∑v n

4

∑v2n

70

h

=

i

i

=

= 0,125;

h

=

i

i

=

= 2,1875;

1

n

32

2

n

32

∑v3n

−

2

∑v4n

418

h

=

i i

=

= −0,0625;

h

=

i

i

=

=13,0525.

3

n

32

4

n

32

125

Визначимо числові характеристики за допомогою умовних моментів розподілу:

x = C + h1 ∆x = 5,7 +0,125 1 = 5,825;

s2 = (∆x)2 (h2 −(h1 )2 )= 2,1875 −(0,125)2 ≈ 2,172;

µ3 = (∆x)3 (h3 −3h2 h1 + 2(h1 )3 )= −0,0625 −

−2,1875 0,125 + 2(0,125)3 ≈ −0,332031;

µ4 = (∆x)4 (h4 −4h3 h1 +6h2 (h1 )2 −3(h1 )4 )=13,0625 + 4 0,0625 0,125 +

	+6 2,1875(0,125)2 −3(0,125)4 ≈13,29809;				A = µ3		= − 0,332031 ≈ −0,1037;
					S	s3	(2,172)3
				13,29809
	Ek =	µ44	−3 =		−3 ≈ −0,1812.
				2
		s		(2,172)

Отже, асиметрія та ексцес близькі до нуля, чим підтверджується припущення про нормальний закон розподілу в сукупності.

Приклад 3. Було виміряно чутливість відео- Х і звукового Y каналів телеприймачів. Дані вимірювань наведено в таблиці.

X	5,8	1,2	4,8	1,8	0,9	2,2	5,3	3,6	4,4	3,0
Y	1,2	1,7	0,7	4,9	4,2	1,2	1,6	1,5	1,5	2,0
Х	3,6	5,7	4,2	4,0	4,1	5,8	5,5	4,2	3,2	3,3
Y	1,5	1,8	1,7	1,5	1,5	1,3	1,7	1,0	0,7	2,3
X	1,7	3,0	4,5	4,8	3,8	4,2	4,5	3,7	3,6	5,0
Y	3,5	1,4	0,9	0,8	1,8	1,8	1,4	1,5	2,7	1,2

Визначити числові характеристики вибіркової сукупності.

Розв’язання. Складемо на основі наведених даних кореляційну таблицю. За кожною змінною область реалізацій розбивається на 7 інтервалів:

min{xi}= 0,9; max{xi}= 5,8; ∆x = 0,7; min{yi}= 0,7; max{yi}= 4,9; ∆y = 0,6.

126

Y	0,7—1,3	1,3—1,9	1,9—2,5	2,5—3,1	3,1—3,7	3,7—4,3	4,3—4,9	nx
X								i
0,9—1,6		1				1		2
1,6—2,3	1				1		1	3
2,3—3,0	1	1	1					2
3,0—3,7	1	3	1	1				6
3,7—4,4		6						7
4,4—5,1	4	1						5
5,1—6,1	2	3						5
ny j	9	15	2	1	1	1	1

Обчислюючи частоти nij , розглядають пари значень (xi , yi ) і за

кожною змінною визначають інтервал, в який вони потрапляють, та збільшують на 1 частоту nij . Якщо значення змінної потрапляє

на межу інтервалу, то збільшують частоту нижнього інтервалу. Додаючи частоти nij за рядками і стовпцями, дістанемо відпо-

відно nxi i ny j . Щоб знайти числові характеристики, перейдемо до середин інтервалів за обома змінними і обчислимо змінні u та

v за формулами						x −C								y j −C2			При		цьому
			u	i	=	i		1	; v		j	=				.					C =14,05;
								∆x						∆y							1
C2 =1,6.	Перейдемо до нової таблиці.
u	–1		0					1					2			3		4		5		nx
v																						i
– 4			1															1				2
–3	1															1				1		3
–2			1					1														2
–1	1		3					1					1									6
0	1		6																			7
1	4		1																			5
2	2		3																			5
ny j	9		15					2					1			1		1		1
											127

Знайдемо середні значення величин u, v , їхніх квадратів і добутку.

u = 1

∑ui nxi

= −8 − 9 − 4 − 6 + 5 +10 = −0,4;

=

1

∑v jny j =

v

n

n

30

= − 9 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 ≈ 0,2333;

30

u 2

=

1

∑u 2 n

=

32 + 27 + 8 + 6 + 5 + 20

≈ 3,267;

xi

n

i

30

v 2

=

1 ∑v2 n

y j

= 9 + 2 + 4 + 9 +16 + 25 ≈ 2,167;

n

j

30

uv =

1

∑∑u

v

n

= −16 + 3 − 9 −15 − 2 +1 −1 − 2 − 4 − 4 ≈ −1,633.

n i

j

i

j ij

30

Відшукуємо числові характеристики сукупності:

x = C1 + ∆xu

= 4,05 −0,7 0,4 = 3,77;

y = C2

+ ∆yv =1,6 +0,6 0,2333 =1,74;

sx2

= (∆x)2 (u 2

−(u )2 )= (0,7)2 (3,267 −(−0,4)2 )≈1,522;

s y2 = (∆y)2 (v 2 − (v )2 )= (0,6)2 (2,167 − (0,2333)2 )≈ 0,7604;

K xy

= ∆x∆y(

−

v )= 0,7 0,6(−1,633 + 0,4 0,2333)≈

uv

u

≈ −0,6468;

r

=

K xy

=

uv −u v

=

−1,633 +0,4 0,2333

≈ −0,6012.

xy

sx s y

su sv

3,107 2,112

Вправи для самостійного розв’язування

5.1. Кількість деталей, потрібних для ремонту обладнання на тиждень, визначалася на підставі спостережень, здійснюваних протягом 20 тижнів. У результаті було здобуто такі значення: 0, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 5, 2, 3. Побудувати статис-

тичну функцію розподілу і знайти	max			F(x)− F (x)		, вважаючи,
що кількість використовуваних деталейx				n
		має розподіл Пуассона з

a =1. Обчислити x i s2 за вибірковими даними і зіставити їх зі значеннями MX i DX , згідно з висунутою гіпотезою про закон розподілу у сукупності.

128

5.2. Для оцінювання ймовірності настання події було проведено 10 серій послідовних випробувань до першого успішного випробування. У результаті здобуто такі значення: 4, 3, 5, 3, 4, 4, 3, 5, 3, 4. Побудувати статистичну функцію розподілу і знайти

max F(x)− F (x), вважаючи, що справджується геометричний роз-
x	n

поділ з р = 0,25. Знайти x i s2 , а також MX i DX для відповідного геометричного розподілу.

5.3. У вимірювальному приладі установлено 5 однотипних опорів. Під час експлуатації 15 приладів протягом року кількість опорів, які довелося замінити, була такою: 1, 3, 2, 0, 4, 1, 5, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 1, 2. Побудувати статистичну функцію розподілу. Знайти

max F(x)− F (x), вважаючи, що кількість замінених опорів має
x	n
		Знайти вибіркові середню величину та
розподіл Пуассона з a = 3.

дисперсію і зіставити їхні значення з числовими характеристиками відповідного розподілу Пуассона.

5.4. Для контролю якості продукції, що належить певній сукупності, було зроблено серію вибірок обсягом n = 20. У результаті 10 серій дістали такі значення кількості бракованих деталей: 1, 3, 2, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 1. Побудувати статистичну функцію розподілу і

знайти	max		F(x)− F (x)		, наблизивши гіпергеометричний розподіл
	x		n

розподілом Пуассона з a = 2. Знайти x i s2 , зіставивши їхні значення зі значенням a.

5.5. Маємо дані про строк служби радіоламп (у тисячах го-

дин): 0,45; 0,21; 0,14; 0,15; 1,52; 0,1; 0,52; 1,59; 3,38; 2,25; 0,8; 1,26; 2,31; 0,84; 3,72; 2,11; 1,02; 4,2; 2,53; 0,78; 2,92; 0,71; 4,7; 3,02; 1,58; 4,12; 2,59; 0,88; 0,96; 1,76; 1,93; 4,9; 2,82; 1,14; 5,7; 1,21; 1,47; 3,52; 0,36; 0,64. Cкласти інтервальний ряд і побудувати гістограму. Висунути гіпотезу про закон розподілу в сукупності.

Знайти x i s2 .

5.6.Із генеральної сукупності зроблено вибірку обсягом n =

=30. Здобуто такі вибіркові значення: 4; 4,3; 5,68; 6,2; 5,64; 5,8; 4,25; 5,4; 5,3; 5,2; 4,55; 5,32; 6; 6,15; 4,56; 6,64; 6,5; 4,7; 6,8; 6,15; 5,6; 5,1; 4,2; 4,8; 6,9; 7; 4,9; 5; 5,25; 6,2. Скласти інтервальний ряд і побудувати гістограму. Висунути гіпотезу про закон розподілу в

сукупності. Обчислити x i s2 .

5.7. У результаті свердління отворів тим самим свердлом та вимірювання діаметрів дістали такі дані, у мм: 40,25; 40,29; 40,46; 40,33; 40,37; 40,27; 40,39; 40,34; 40,33; 40,35; 40,38; 40,32; 40,28; 40,41; 40,45; 40,39; 40,29;40,3; 40,44; 40,37; 40,41; 40,33; 40,35; 40,35; 40,35; 40, 40; 40, 40; 40,3; 40,28; 40,34; 40,45; 40,44.

129

Скласти інтервальний ряд і побудувати гістограму. Висунути гіпотезу про закон розподілу сукупності. Знайти x i s2.

5.8.У ВТК було виміряно глибину паза 40 плашок. Результати вимірювання, мм: 2,41; 2,62; 2,73; 2,52; 2,54; 2,41; 2,81; 2,53; 2,64; 2,61; 2,72; 2,45; 2,52; 2,1; 2,64; 2,52; 2,5; 2,33; 2,24; 2,4; 2,72; 2,51; 2,4; 2,61; 2,42; 2,43; 2,65; 2,54; 2,35; 2,54; 2,62; 2,9; 2,75; 2,24; 2,65; 2,45; 2,53; 2,32; 2,24; 2,55. Скласти інтервальний ряд і побу-

дувати гістограму. Висунути гіпотезу про закон розподілу в сукупності. Знайти вибіркове середнє, дисперсію, асиметрію і ексцес розподілу.

5.9.Вимірявши вміст кремнію Y у чавуні за різних температур Х шлаку, дістали такі значення:

X	1330	1460	1335	1340	1340	1345	1405	1400	1395	1440	1445
Y	0,27	0,8	0,38	0,45	0,42	0,32	0,33	0,52	0,4	0,55	0,65
X	1450	1365	1410	1455	1415	1375	1380	1420	1470	1475	1425
Y	0,92	0,28	0,44	0,7	0,52	0,37	0,38	0,47	0,9	1,1	0,53
X	1385	1390	1430	1482	1340	1410	1420	1460	1470	1340	1350
Y	0,4	0,51	0,43	1,23	0,38	0,5	0,53	0,58	0,81	0,49	0,62
X	1410	1430	1415	1440	1340	1360	1365
Y	0,8	0,74	1,02	1,12	0,48	0,6	0,62

Визначити числові характеристики вибірки.

5.10. Під час аналізу 40 проб руди дістали такі результати про вміст свинцю Х і срібла Y у відсотках:

X	1	1,3	27,3	5,3	10,9	34,6	1,4	16,8	5,9	29,8	1,3
Y	0,7	3,3	21,6	4,9	8,6	17,3	3,2	11,5	6,3	21,2	2,6
X	19,4	11,8	2,6	27,8	4,8	3,4	4,2	23,5	6,8	14,5	7,5
Y	17,2	10,7	3,4	23,1	3,6	2	5,8	22,4	9,7	13,2	6,7
X	4,7	24,3	18,7	4,6	14,8	9,3	32,6	8,6	8,8	21,4	13,7
Y	16,8	19,6	18,2	3,5	15,8	7,2	21,3	7,4	10,2	19,3	12,1
X	4,5	7,8	4,1	6,2	7,4	22,4	4,5
Y	3,1	22,3	3,6	5,8	7,3	19,5	3,6

Знайти числові характеристики вибірки.

130