1, 2, 3, 4

				2				1
													12	2	1,6
					3			2
3.12. K =													2	1,5625
									. 3.13. 332. 3.14. K =						0 .
					1			2
													−1,6	0	0,64
				2				3
											2α2 −0,6αβ−3β2
3.15. ρXY				=			(α2 −1,2αβ+β2 )(4α2 −7,2αβ+9β2 ). 3.16. (−2a; 2a; 0);
		2σ2		−σ			2		σ2
K =		−σ	2		2σ		2	−σ		2				або αβ < 0 і ρXY > 0.
											. 3.17. αβ > 0 і ρXY < 0
		σ2		−σ			2		2σ2
3.18. DXY = DX DY +(MX )2 DY +(MY )2 DX .														3.19. σx =1,7263.

	3(2m +1)
	m + 2
3.20. ρXY =
0,
mσ
3.21. K = mrp0
m(n	− m)p σ2
	0

, якщоm непарне;

якщоm парне.

mrp σ2		m(n − m)p σ2
rσ2	0	0
		r(n − m)p σ2	. 3.22. –0,32; 0; 145,97.
r(n	− m)p σ2	(n − m)σ2 0
	0

3.23.Z = X – Y; квадрат, обмежений прямими: y = 0; y = 2; x = 0; x = 2.

3.24.Z = X + Y; смуга, яка обмежена прямими: x + y – 1 = 0; x – y + 1 = 0; x – y – 1 =

	= 0. 3.25. Z =			Y			; трапеція, яка утворена прямими: y – x = 0; y – 1 = 0; y = 0;
	x – 4 = 0.			X
	3.26. f (z)=		1					, z > 0; P = 1 .
		(z	+1)2
								6
	0,				якщо z ≤ 0;
			z
						, якщо 0 < z ≤ 3;
	9
			(			z − z −3 ), якщо 3 < z ≤ 9;
	3.27. f(z) = 1
	9		(3 −					z −3), якщо 9 < z ≤12;
	1
	9				якщо z >12.
	0,
								209

≤

1

;

0, z

4

8z

2

+ 2z −1

1

1

2

z

;

f (z)=

(1− z)

2 ,

;

3.28.

8z2

4

2

8 z

−18z +9

z

1

3

2

(1− z)

2

,

;

;

8z

4

2

3

0, z

>

.

4

0, z ≤ −4;

1

ln

z + 4 + 2

, z (− 4;0];

8

− z

3.29.

f (z)=

4 − z

1 ln

2 +

, z (0;4];

8

z

> 4.

0, z

1

;

0, z ≤

2

2z

−1

1

2z

, z

3z

2

2

,1 ;

3.30.

f (z)= 2 2 −1 , z (1,2]

;;

3

z

z , z (2,4];;

8 − z

3z 2

0, z > 4.

0, z ≤ ln 2;

3.31.

e z (e z − 2), z (ln 2, ln 3];;

f (z)=

e z (4 − e z ), z (ln 3, ln 4];;

> ln 4.

0, z

210

0, z ≤ 0;

ln l +

l 2

− z 2

3.32.

f (z)= 2

, z (0, l];;

πl

z

0, z > l.

3.33.

f (z)= 0,01ne−0,01z (1−e−0,01z )n−1 , z > 0; n ≥10.

0, z ≤ 0;

z 2 4

a k

3.34.

2z

, z (0,5];

3.35. f (z)=

z k −1e−az ,

z > 0.

f (z)=

−

;

G(k )

5

1

25

0, z > 5.

3.36. 1,11. 3.37.

28 .

3.38. 500.

9

4.1. 0,1339;

0,1513;

0,8487;

0,0024.

4.2. 0,0286;

0,0137;

0,9863.

4.3. 0,0605;

0,0548; 0,9452. 4.5. a

x

= ae−t

;

D

x

(t)= σ2−2t ;

K

x

(t

1

, t

2

)= σ2 e−(t1 +t2 );

r

(t

1

, t

2

)=1.

x

4.8.

p

0

=

8

,

p

= 46 ,

p

2

= 10 ,

p

3

= 23

(для графа 4.3)

p

0

=

4

,

p

= 10 ,

87

1

87

87

87

17

1

17

p

=

3

,

p

=

23

(для

графа

4.4). 4.9.

а)

P

(2)= 0,134;

б)

P(x ≥1)=

17

87

2

3

в) P0 (2)= 0,0025.

4

=1− P0 (2)= 0,9975;

4.10. а) 0,61; б) 0,547. 4.11. а) 4 столів;

б) граф на рис. 6.1

Е2

1/2

Е4

1/2

1/2

1/2

1/2

Е1

Е3

1/2

Рис. 6.1

211

0, x ≤ 0;

(0,1];

;

0,35, x

0,7, x (1,2]

;;

5.1.

= 0,1197; x =1,3; s 2 = 2,01;

=

;

max

F(x)− Fn (x)

Fn

(x)

0,8, x

(2,3];

x

(3,4];

0,9, x

;

0,95, x (4,5];;

> 5.

1, x

MX = DX =1 .

	0, x ≤ 3;
5.2. F (x)=	0,4, x (3,4];;
n
	0,8, x (4,5];;

1, x > 5.

max F(x)− F (x) = 0,4375; x = 3,8;
x	n

s 2 = 0,56; MX = 4; DX =12.

		0, x ≤ 0;
			1			, x (0,1];;
		15
			4			, x (1,2];;
		15
5.3.			7			, x (2,3];;
	Fn	(x)=
		15
			3	, x (3,4];;
			5
			4			;
			5		, x (4,5];
		1, x > 5.

MX = DX = 3 .

max		F(x)− F (x)		= 0,0675;	x = 2,8; s2 = 2,56;
x		n

212

0, x ≤1;0,5, x (1,2];;

F (x)= 0,7, x (2,3];;

5.4. n

0,9, x (3,4];;

1, x < 4.

>

max		F(x)− F (x)		= 0,1353;	x =1,9; s 2 =1,09;
x		n

MX = DX = 2

5.5. k = 8; x =1,9375; s 2 =1,916. 5.6. k = 7; x = 5,433;

s 2

= 0,691. 5.7. k = 7;

x = 40,353; s2 = 0,00326. 5.8. x = 2,4825;

s2

= 0,02694;

A = −0,1193;

s

Ek = −0,375.

5.9. k1 = k2 = 8;

x =1402,7;

y = 0,588;

sx2

= 2061,88;

sy2 = 0,058; Kxy

= 7,584;

r = 0,693.

5.10. k1 = k2

= 8;

x =12,025;

y =10,71;

sx2

= 91,536; s 2y = 51,216;

K xy

= 56,926;

r = 0,831.

5.11. k1 = k2

= 7;

x = 4,95; y = 77,47; sx2 = 8,648; s 2y

= 322,654;

K xy

= −25,177;

r = −0,477.

5.12. k1 = k2

= 7;

x = 98,6;

y =118,967;

sx2

= 807,77;

s 2y

= 740,258;

K xy

= 647,513; r = 0,837.

5.13.

k1 = k2

= 8;

x =15,424;

y =13,825;

sx2

= 4,789;

s 2y

= 4,82;

K xy

= 3,389;

r = 0,705. 5.14. a) = X ; оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна.

5.15. σ)2 = 1 ∑n (X i −a)2 ; оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна. n i=1

5.16. µ) = 1 ∑n ln X i ; оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна. n i=1

)

2

1 n

2

5.17. σ

=

∑ X i

; оцінка незміщена, обґрунтована й ефективна.

n i=1

)

)

1

)

1 n

5.18. µ = min{X i };

a

=

.

5.19. µ =

∑ln X i ;

−min{X i }

i

ν1

n i=1

i

σ)2

a)2

1

n

)

2

)

2

=

∑i=1

(ln X i −µ)

.

5.20. a1

= ν1

−

ν2

−ν1

−(ν1 ) ;

n

ν2 −ν1 −(ν1 )2 . 5.21. p)i

1

r

= ν1 +

=

∑ X ki

, i =1,2,..., s.

nr k =1

213

)

ns

)

1

r

)

np

)

αnp

5.22.

p

=

.

5.23. p =

∑ X i .

5.24. α =

; Mα =

;

незмі-

n

n

np −

1

ns +∑ X i

nr i=1

∑ X i

i=1

i=1

)

np

−1 )

np

−1

)

α2

щена оцінка α

=

α =

;

Dα =

; нижня межа оцінки дисперсії

np

n

np − 2

∑Xi

i=1

2

α2

5.25.

)

n

)

n

σ0

=

np

,

оцінка

асимптотично

eфективна.

a =

;

Ma

=

a;

n

n −1

∑ X i

i=1

)

n

−1

)

a 2

σˆ

2

a 2

незміщена оцінка

a

=

;

Da

=

; нижня границя дисперсії

0

=

,

n

n −

2

n

∑ X i

i=1

)

1

оцінка

асимптотично ефективна.

5.26. Mα = α+

— оцінка

зміщена;

n

)

= min{X i }−

1

)

1

α

— незміщена

оцінка;

Dα

=

— оцінка обґрунтована.

i

n

2

n2

5.27. Mh = (b −a) 1−

—

оцінка

зміщена.

5.28. (1216,57;

1223,43).

n +1

5.29. (5,15;5,85); (2,193;4,364). 5.30. 0,6826; 0,8664; 0,9544; 0,9874. 5.31. 0,0482;

n

σ12

2

2

ln C +

ln

2σ

σ

2

σ2

2

0

1

0,053. 5.32. (3,27; 8,73). 5.34. n ≥ 2. 5.35. C ≈

2,04; s

≤

2

;

n(σ12 −σ02 )

s 2 ≤ 5,2; H0

приймається, бо s 2 = 9,6.

1

n

2

5.36.

σ2 s 2

−σ

2 s

2

≥

ln C

+

ln

σ1

2σ2

σ2

= 5,94;

H

0

приймається, бо

1

0

0 1

2

2

0

1

n

σ0

ln C + npln

λ0

σ2 s 2

−σ2 s 2

λ

H

=1,064. 5.37. x ≤

1

≈ 5,972;

відхиляється, бо

n(λ0 −λ1 )

0

1

0

0

1

lnC + nln

a0

a

x = 5,05. 5.38.

x ≤

1

≈ 0,0523;

H

0 приймається, бо x = 0,075.

n(a0 − a1 )

n

σ2

2σ2σ2

lnC

+

ln

1

2

0

1

2

2

2

5.39. x

≥

σ0

≈ 72,35;

H 0

приймається, бо x

≈ 33,24.

n(σ12 −σ02 )

214

2

2

n

σ12

2σ

σ

ln C +

ln

2

σ2

2

0

1

2

5.40. x

≥

0

≈ 630,23; H 0

приймається, бо x

≈ 337,73.

n(σ12 −σ02 )

a0

+ a0

µ0 −a1µ1

ln C + n ln

a

5.41. x ≤

1

≈18,477;

H 0

відхиляється, бо x ≈15,3.

n(a0 −a1 )

2

2

n

σ12

2σ

0

σ

1

ln C +

ln

2

2

2

5.42. ∑n

(ln xi

−µ)

≥

σ0

,

якщо σ12

> σ02

і

σ12 −σ02

i=1

2

2

n

σ12

2σ

σ

ln C

+

ln

n

2

0

1

2

σ

2

n

∑(ln xi

−µ)

≤

0

, якщо σ12 < σ02 . 5.43. ∑ln xi

≥

σ12 −σ02

i=1

2

2

2

2

i=1

2

2

2σ

ln C

−µ

n

2σ

ln C

≥

+ n(µ1

0 )

,

якщо

µ1 > µ0

і

∑ln xi ≤

+ n(µ1

−µ0 )

, якщо

2(µ1 −µ0 )

2(µ1 −µ0 )

i=1

n

n

n

U

2 −

Γ

2

−

2

2

µ1 < µ0 . 5.44. λ =

1+

,

fn (u)=

2

1+ u

.

n −

n

−1

1

n −

1

Γ

π(n −1)

2

n

−

n

n

−

U

f n (u)=

1

n−1

−

u

5.45. λ = e 2 n

2 U 2 e

2 ,

u

2 e

2 ,

u > 0.

n

−1

n

−1

2 2

Γ

2

α0

np

np

−α

U

f n (u)=

αnp

np−1

−α

u

U

e

0

;

u

e

0

,

u > 0.

5.46. λ =

np

e

Γ(np)

a

0

n

(u)=

a n

u n−1e−a0u ,

5.47. λ =

enU n e−a0U ;

f

n

=

0

u > 0.

n

Γ(n)

−

u

u

n

n

2σ02

−

e

U

e

fn (u)

1

2σ02 ,

5.48. λ =

;

u > 0.

=

=

u n−1e

5.49. Перевищення

2n nn

(σ02 )n

(2σ02 )n

неістотне: zα = 2,33; z =1,039.

5.50. Забезпечує:

z α

=1,96; z = −0,645. 5.51. Гіпо-

zα = 2,33; z =1,25.

5.52.

2

z α = 2,275;

теза

приймається:

Відхилення істотні:

z = −23564.

5.53.

z α

= 2,1;

z = −3,875.

5.54.

2

Вплив

істотний:

Відхилення

2

215

недопустимі:

uα = 33,7;

u = 39,2.

5.55. Відхилення неістотне:

uα =15,5;

u =12,12.

5.56. Відмінність неістотна:

z α

=1,96;

z = −1,4077. 5.57. Гіпотеза від-

z α

= 2,1; z = 4,1228.

2

z α 2,33;

z = 4,1967.

хиляється:

5.58. Гіпотеза відхиляється:

2

2

5.59. Гіпотеза приймається: z α

= 2,6; z = −1,873.

5.60. Точність вища: fα =1,9;

f =1,967.

2

fα = 2,9; f

5.61. Гіпотеза приймається:

=1,046. 5.62. Відмінності

неістотні:

fα = 2,87;

f

= 2,219.

5.63.

Гіпотеза

приймається:

fα = 3,47;

f = 2,223.

5.64. Гіпотеза приймається:

fα = 3,03; f

=1,786. 5.65. Відхилення

неістотні:

uα = 7,8;

u1 = 2,853;

u2

= 7,184.

5.66.

Узгоджуються:

uα =14,1;

u = 2,575.

5.67.

Відповідають:

uα =16,9;

u = 4,121.

5.68.

Гіпотеза від-

хиляється: uα = 9,8;

u =15,93;

K (λα )=1,52;

nDn = 4,566.

5.69. Узгод-

жується:

uα =11,1;

u = 6,37;

K (λα )=1,36;

nDn = 0,4617.

5.70. Гіпотеза

приймається:

K (λα )=1,36;

nDn

= 0,5353.

5.71.

yx

= 0,112x +9,896;

x y = 6,227 y −47,478;

r = 0,835.

5.72.

yx

= 0,055x +6,325;.

x y

=1,888y −7,841;

r = 0,321.

5.73. yx

= −0,00553x2 +0,2929x +10,9456;

ηy / x = 0,672.

216

ЛІТЕРАТУРА

1.ВентцельЕ. С., ОвчаровЛ. А. Теориявероятностей. — М.: Наука, 1973.

2.Волощенко А. Б. Теория вероятностей и математическая статистика для инженеров-экономистов. — К.: КИНХ, 1973.

3.Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические ука-

зания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Случайныя события». — К.: КИНХ, 1979.

4.Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические ука-

зания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Математическая статистика». — К.: КИНХ, 1979.

5.Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические ука-

зания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Случайные величины и функции». — К.: КИНХ, 1980.

6.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Высш. шк., 1977.

7.Гнеденко В. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1965.

8.Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1967.

9.Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Статистика, 1970.

10.Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей. — М.: Изд-

во МГУ, 1963.

11.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике

итеории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова. — М.: Наука, 1970.

12.Турчин В. М. Математична статистика. — К.: Вид. центр «Акаде-

мія», 1999.

13.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высш. шк., 1975. — 332 с.

14.Справочник по математике для экономистов / Под ред. В. И. Ерма-

кова. — М.: Высш. шк., 1987. — 306 с.

15.Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика. Теория вероятностейиматематическая статистика. — Минск.: Вышейш. шк., 1993. — 270 с.

16.Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1999.

17.Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей. — К:

КНЕУ, 1999. — Ч. 1.

18.Крамер М. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001.

217

Додатки

Додаток 1

Ймовірності Pa (X = m)= amm! e−a , m = 0,1,2,.... розподілу Пуассона.

	а	0,1			0,2	0,3	0,4			0,5			0,6		0,7		0,8
M
0		0,09484			0,81873	0,74082	0,67032		0,60653				0,54881		0,49659		0,44933
1		0,09048			0,16375	0,22225	0,26813		0,30327				0,32929		0,34761		0,35946
2		0,00452			0,01637	0,03334	0,05363		0,07582				0,09879		0,12166		0,14379
3		0,00015			0,00109	0,00333	0,00715		0,01264				0,01976		0,02839		0,03834
4					0,00005	0,00025	0,00072		0,00158				0,00296		0,00497		0,00767
5						0,00002	0,00006		0,00016				0,00036		0,00070		0,00123
6									0,00001				0,00004		0,00008		0,00016
7																	0,00002
а	0,91			1		2		3				4			5	6
m
0	0,40657			0,36788		0,13534		0,04979			0,01832			0,00674		0,00248
1	0,36591			0,36788		0,27067		0,14936			0,07326			0,03369		0,01487
2	0,16466			0,18394		0,27067		0,22404			0,14653			0,08422		0,04462
3	0,04940			0,06131		0,18045		0,22404			0,19537			0,14037		0,08924
4	0,01111			0,01533		0,09022		0,16803			0,19537			0,17547		0,13385
5	0,00200			0,00307		0,03609		0,10082			0,15629			0,17547		0,16062

218