Lab_Optic

фотокамери, а під певним кутом . Наприклад, в кварцовому спектрографі ІСП-28 кут , який можна назвати кутом ковзання, дорівнює 41°40 . При цьому кут падіння центральних (осьових) променів на фотопластинку становить 48°20 . Таке розміщення фотопластинки пояснюється потребою сфокусувати на фотопластинці лінії усіх довжин хвиль. Промені з меншою довжиною хвилі фокусуються ближче до лінзи, ніж промені з більшою довжиною хвилі. Тому для отримання чіткого зображення ліній вздовж усієї спектрограми фотопластинку в спектрографі слід установлювати так, щоб короткохвильова частина спектрограми була розміщена ближче до фокусуючої лінзи приладу.

Врахування нахилу фотопластинки до оптичної осі фотокамери спектрографа веде до такого зв’язку між лінійною і кутовою дисперсіями:

	dl		F		d	,	тобто	T	F	D .	(15.5)
	d		sin		d				sin
	Із зв’язку між лінійною та кутовою дисперсією (T F D )										випливає,

що при переході в короткохвильову область спектру одночасно з кутовою зростає також і лінійна дисперсія.

На практиці частіше користуються оберненою величиною

	1		d	,
	T		dl

яку називають оберненою дисперсією або фактором дисперсії. Фактор дисперсії вимірюється в нм/мм і визначає різницю довжин хвиль в нанометрах для двох спектральних ліній, які на спектрограмі, одержаній у фокальній площині приладу, віддалені одна від одної на відстань 1 мм.

Фактор дисперсії в короткохвильовій області спектру менший, ніж у довгохвильовій. Відповідно, роздільна здатність спектрографа у короткохвильовій області спектру більша, ніж у довгохвильовій. Отже, якщо дві спектральні лінії з дуже малою різницею довжин хвиль у видимій області спектра зіллються в одну, тобто не будуть розділені приладом, то в ультрафіолетовій області спектральні лінії з такою самою різницею довжин хвиль можуть бути зареєстровані на спектрограмі окремо одна від одної. Підвищена роздільна здатність кварцового спектрографа ІСП-28 в області коротких хвиль полегшує проведення спектрального аналізу в ультрафіолетовій частині спектру.

Теоретично роздільну здатність приладу характеризують величиною

91

	Rт		,
		d
	де d 2 1 – найменша різниця		довжин хвиль двох близьких

спектральних ліній, які оптичний прилад може розділити при дуже вузькій

вхідній щілині, а

		2	1
			2

– середня довжина хвилі в даному

спектральному інтервалі шириною d .

Розділення спектральних ліній при визначенні теоретичної роздільної здатності спектрографа ґрунтується на критерії Релея, який сформульовано на основі явища дифракції: дві близькі спектральні лінії ще вважаються розділеними, якщо головний дифракційний максимум однієї співпадає з першим дифракційним мінімумом другої.

Позначимо через p найменшу відстань між спектральними лініями з різницею довжин хвиль d min , які ще розділюються приладом з даним приймачем випромінювання. Тоді

d min

Реальну роздільну здатність визначити зі співвідношення:

R
				p
р		d
			min

	p	d	.
		dl

приладу

d	1
dl			p

з

dl d

цим

p

приймачем

T .

(15.6)

можна

(15.7)

З цього виразу видно, що роздільна здатність оптичних приладів з різною лінійною дисперсією неоднакова. Призматичні спектрографи з малою і середньою дисперсією мають роздільну здатність в межах 103 105. З

виразу R				можна вивести формулу R b	dn	, де b – основа (база)
	т
			d		d

тригранної призми, яка повністю заповнена світловим потоком. Це співвідношення показує, що роздільна здатність призматичного спектрографа прямо пропорційна розмірам основи призми (b) та дисперсії показника заломлення скла (dn/d ), з якого виготовлено призму.

Примітка: Рекомендується використовувати підручники [16 – 18]. Опис установки «Кварцовий спектрограф типу ІСП-28» опрацювати за підручником [16], ст. 297 – 315.

92

Завдання 1 (теоретичне)

1.Ознайомитись з будовою та принципом дії кварцового спектрографа ІСП-28 (вивчити і законспектувати вказану літературу та інструкцію до приладу), зарисувати в зошиті оптичну схему спектрографа.

2.Вивчити методику включення ртутно-кварцової лампи.

Завдання 2 (експериментальне)

1.Включити ртутно-кварцову лампу і одержати за допомогою спектрографа лінійчатий спектр ртуті.

2.Виміряти відстані між лініями в спектрі (на матовому склі).

3.Розрахувати лінійну дисперсію спектрографа ІСП-28.

4.Одержати та замалювати в зошит суцільний спектр лампи розжарення.

Довжини хвилі ліній випромінювання ртуті

Колір лінії	, нм
Жовта	578,0
Зелена	546,0
Блакитна	491,6
Синя	435,8
Фіолетова	406,2

Довжина	Фактор дисперсії
		d
хвилі , нм			, нм/мм
		dl
200			0,35
250			0,9
310			1,6
360			2,5
400			3,9
600			11,0

Контрольні запитання

1.В чому полягає явище дисперсії?

2.Що таке кутова дисперсія спектрографа, лінійна дисперсія?

3.Що таке роздільна здатність спектрографа (теоретична та реальна)?

4.В чому полягає критерій Релея для визначення теоретичної роздільної здатності?

5.Які бувають види спектрів? В якому стані речовина їх випромінює, поглинає?

6.В чому полягає метод спектрального аналізу матеріалів?

7.Які спектри використовуються в спектральному аналізі? Чому?

8.Що є об’єктом фотографування при одержанні спектрограми?

93

Додаток А

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК

На ранніх стадіях розвитку науки експеримент має описовий характер. Однак дійсно науковий зміст має лише кількісний експеримент, який дозволяє встановлювати зв’язки між різними фізичними величинами. Кількісна інформація отримується з досліду через вимірювання.

Вимірюванням називається процес порівняння деякої величини з установленим еталоном. Порівняння з еталоном виконується за допомогою вимірювальних приладів, які з більшою або меншою точністю відтворюють еталонні величини.

Вимірювання можуть бути прямими й опосередкованими. При прямих вимірюваннях значення величин визначають безпосередньо за шкалою вимірювального приладу, при опосередкованих – шукану величину розраховують за робочою формулою, до якої входять величини, котрі визначаються в результаті прямих вимірювань.

1. Класифікація похибок вимірювання

Абсолютно точно виміряти фізичну величину неможливо. Тобто, результат вимірювання завжди має деяку експериментальну помилку, величина якої характеризується абсолютною та відносною похибками. Абсолютна похибка становить різницю між виміряним значенням х, і дійсним значення X вимірюваної величини:

x

X

.

(А.1)

Більш наочно експериментальна помилка характеризується відносною похибкою E, яка дорівнює відношенню абсолютної похибки до дійсного значення вимірюваної величини та виражається, як правило, у відсотках:

	E
		X

100

%

.

(А.2)

На практиці користуються поняттям достатньої точності, яка встановлюється залежно від вимог конкретного завдання. Так, при виготовленні великогабаритних деталей і будівельних конструкцій достатньо вимірювати довжину з похибкою порядку 1 мм. В той же час для виробництва точних оптико-механічних приладів потрібно, щоб похибка вимірювання довжини не перевищувала 10–3 мм.

94

Похибки вимірювань поділяються на два основних класи: випадкові й систематичні похибки.

Випадковими називаються похибки, зумовлені факторами, які при повторенні вимірювань діють по-різному, наприклад, механічні коливання фундаменту будівлі, короткочасні відхилення температури повітря внаслідок його циркуляції у приміщенні, коливання напруги в мережі тощо.

Систематичними називаються похибки, зумовлені факторами, які при повторенні вимірювань діють однаково, наприклад, зсувом початку відліку за шкалою вимірювального приладу, недостатньою точністю робочої формули при опосередкованих вимірюваннях, похибкою методики проведення експерименту тощо. До систематичних похибок належать також інструментальні похибки – похибки вимірювальних приладів.

Зовнішньою ознакою, за якою можна визначити переважаючий тип експериментальної похибки, є повторюваність результату вимірювань. Якщо результат декількох вимірювань незмінний, то домінуючою є систематична похибка, величина якої не залежить від числа вимірювань. У випадку отримання в серії дослідів різних значень вимірюваної величини можна говорити, що результат вимірювань містить випадкову похибку, причому її величина швидко спадає зі зростанням числа вимірювань.

Особливим типом похибок є промахи вимірювань – похибки, які грубо спотворюють дослідні результати. Ознакою промаху є суттєва різниця результату вимірювання від більшості експериментальних значень величини, отриманих в серії вимірювань. Причинами промахів можуть бути неуважність спостерігача або будь-які зовнішні дії, що порушують нормальну роботу вимірювального приладу (різкий стрибок напруги в електромережі, недопустимий струс приладу тощо). Наприклад, промахом вимірювання буде помилково зчитане зі шкали вольтметра значення 80 В замість дійсного значення 800 В, яке показує прилад.

Очевидно, що перед проведенням розрахунків необхідно відкинути з отриманих даних промахи вимірювань. Якщо ж промахи залишаться серед експериментальних значень, точність результату вимірювань знизиться.

2. Оцінка дійсного значення та випадкової похибки

Практичний інтерес становить оцінка дійсного значення вимірюваної величини та її випадкової похибки за експериментальними даними. Нехай в результаті n вимірювань деякої величини x отримано набір значень: x1, x2, … , xi, … , xn. Абсолютна похибка i-го вимірювання дорівнює

95

	i	x	X
		i
Підсумуємо всі абсолютні похибки:
n		n
i		xi
i 1		i 1

.

nX

.

Розв’яжемо останнє рівняння відносно величини X:

		1	n		1	n
	X		i					i
		n	x		n
			i 1			i 1

.

У правій частині отриманого рівняння друга складова при нескінченному зростанні числа вимірювань прямує до нуля, оскільки випадкові похибки можуть приймати як позитивні, так і негативні значення. Отже, при достатньо великому числі вимірювань можна вважати, що

X

		1	n
			xi
		n
			i 1

x

,

(А.3)

тобто середнє арифметичне значення є оцінкою дійсного значення величини. Аналогічно оцінюють і середню величину випадкової похибки, але при

цьому всі отримані значення i беруть по модулю:

вип

	1	n
		i
	n
		i 1

.

(А.4)

3. Оцінка інструментальної похибки

Будь-який вимірювальний прилад має межу точності, яка й визначає величину інструментальної похибки. Покази всіх вимірювальних приладів практично завжди округлюються з точністю до ціни поділки. Відповідно, ціна поділки визначає величину абсолютної похибки, яку дає вимірювальний прилад.

В найпростішому випадку ціна поділки є відношенням значення вимірюваної величини до кількості поділок шкали, які відповідають цьому значенню. Але шкали вимірювальних приладів не завжди починаються з нульової поділки і не завжди є рівномірними. Тоді в загальному випадку ціна поділки для ділянки шкали визначається як

96

C

xn

,

(А.5)

де x – зміна вимірюваної величини, яка відповідає зміні показів приладу на n поділок.

Співвідношення між інструментальною похибкою та ціною поділки залежить від характеру зміни показів приладу. Якщо покази вимірювального приладу змінюються неперервно (лінійка, вольтметр зі стрілкою), то при їх округленні до цілої кількості поділок величина помилки не перевищує половину ціни поділки. Тоді абсолютна інструментальна похибка

інст

C2

.

(А.6)

Якщо ж зміна показів вимірювального приладу має ступінчатий характер (секундна стрілка кварцового годинника, вольтметр з цифровою індикацією), то при округленні показів величина помилки може досягати практично ціни поділки. Наприклад, при фактичному значенні напруги 20,39 В на індикаторі цифрового вольтметру будуть покази «020,3», тоді як покази «020,4» були б значно точнішими. Тому в цьому випадку

інст

C

.

(А.7)

Результат вимірювання завжди містить як інструментальну (або систематичну), так і випадкову похибку. Якщо ці похибки мають величину одного порядку, то загальна абсолютна похибка буде

		2		2
		вип		сист

.

(А.8)

Зазначимо, що формула (А.8) справедлива як для абсолютних, так і для відносних похибок.

4. Оцінка похибок непрямих вимірювань

В переважаючій більшості випадків на практиці застосовуються опосередковані (або непрямі) вимірювання, при яких шукана величина не вимірюється безпосередньо, а обчислюється за формулою через величини, які визначають прямими вимірюваннями. Наприклад, об’єм прямого круглого циліндра, як правило, безпосередньо не вимірюється, а знаходиться за формулою

97

V

4

2	h
D

,

де D – діаметр циліндра, h – його висота.

В загальному випадку шукана величина Y виражається у вигляді деякої функції від набору величин xi, які вимірюються безпосередньо:

Y

f x	, x	2	, ...,
1

xn

.

Оскільки всі величини xi підставляють у формулу з похибкою, то величина Y також буде визначена з похибкою. Якщо вимірювання величин xi робиться декілька раз, то найкращим наближенням до точного значення Y0 буде те, яке

отримується при підстановці в формулу середніх значень xi :

Відхилення

Y

відхиленнями величин

	Y f x1	, x2 , ..., xn .
величини Y		від точного значення Y0 зумовлене
xi	від їх точних значень x0. Наближено його можна

знайти як диференціал, оскільки похибки зазвичай є малими величинами:

	Yi	f	xi .
		x
		i

Якщо вважати всі xi статистично незалежними, то

	n			n		f			2
Y	Yi	2					xi		.
						x
	i 1			i 1			i

(А.9)

Дана формула використовується для оцінки похибок непрямих вимірювань. Величина Y визначає інтервал, у який з певною надійністю попадає

точне значення вимірюваної величини:

Y Y Y0 Y Y .

Для прикладу визначимо абсолютну похибку об’єму прямого круглого циліндра, для якого шляхом прямих вимірювань визначили діаметр D і висоту h. Користуючись формулою (А.9) для похибки непрямого вимірювання, знайдемо

98

		2	h		2	Dh			2		D	2
V		D
								D
		4					2				4

	2
h

.

При виведенні останньої формули вважалось, що в формулу для об’єму циліндра підставлялось округлене значення числа , тому для нього також враховувалась похибка.

5. Приклад розрахунку середнього значення та похибок

Нехай в серії вимірювань та обчислень було отримано набір значень оптичної сили D збиральної лінзи:

D1 = 16,35 дптр,

D2 = 17,42 дптр,

D3 = 15,83 дптр,

Середнє значення оптичної сили за цими результатами буде

	D	D D		D
		1	2	3
			3

		16,35 17,42 15,83	дптр
		3

16,5333...

16,54 дптр

.

Відхилення кожного отриманого значення D від середнього будуть

D	D D 16,35 16,54 дптр
1	1

0,19 дптр

,

D	D	D 17,42 16,54 дптр
2	2

0,88 дптр

,

D	D	D 15,83 16,54 дптр
3	3

0,71 дптр

.

Випадкову похибку знайдемо як середнє відхилення:

	D	D D		D
		1	2	3
			3

		0,19 0,88 0,71	дптр
		3

0,5933...

0,59 дптр

,

тобто Dвип = 0,59 дптр.

Оцінимо тепер величину інструментальної похибки. Нехай оптичну силу лінзи було обчислено за формулою тонкої лінзи

D 1a b1 ,

99

де a і b – віддалі предмету та до його дійсного зображення від лінзи. Тоді, застосувавши формулу (А.9), отримаємо

		D		2		D		2
D
			a				b
інст		a			b

a 22a

b 22b

.

Для лінзи з D 16,5 дптр типові значення відстаней a і b лежать в межах 10 15 см. Якщо ці відстані вимірювались звичайною міліметровою лінійкою з точністю до поділки, то згідно з формулою (А.6), інструментальна похибка для a і b буде a = b = 0,5 мм. Таким чином, отримаємо

			5 10	4		2		5 10	4		2
D											дптр
інст			0,1					0,15

6 10	3	дптр

.

Як бачимо, в даному випадку Dінст << Dвип , тому при розрахунках можна брати до уваги лише випадкову похибку. Крім того, числові результати доцільно округлити до десятих (порядок похибки).

Відносну похибку розраховують для округлених середніх значень:

D D

		0,6
		16,5

100 %

3,6

%

.

Заповнена звітна таблиця роботи матиме наступний вигляд:

	D,	∆D,	∆D/D,
	дптр	дптр	%
	16,4
	17,4	0,6	3,6
	15,8

Кінцевий результат усіх розрахунків представляють у наступній формі:

D = (16,5 0,6) дптр.

100