Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость

4.1. Уравнение плоскости

Теорема. В ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое линейное уравнение в ДСК в пространстве определяет плоскость.

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы о прямой линии в ДСК на плоскости.

Уравнение называетсяобщим уравнением плоскости.

Замечание 1. Аналогично следует, что вектор являетсянор-мальным вектором плоскости.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости Оyz.

Поскольку в этом случае , то уравнение искомой плоскости будет иметь следующий вид.

Удобно и наглядно строить плоскость по её следам на координатных плоскостях, которые определяются из следующих систем уравнений:

Пример 2. Построить z

плоскость, заданную общим

уравнением

Определим координаты 0 2 y

точек пересечения с осями 1

координат: (1 , 0 , 0) , (0 , 2 , 0)

и (0 , 0 , 2) и соединим эти x 2

точки отрезками.

Замечание 2. По следам плоскость удобно строить, представив уравнение плоскости в виде

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, так как  отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору

Пусть требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Пусть точка текущая точка плоскости.

Тогда вектор , лежащий на плоскости, перпендикулярен векторуи из условия перпендикулярности получаем

(1)

Уравнение (1) является искомым уравнением плоскости.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось

В этом случае вектор нормали к плоскости а в качестве точкивыберем начало координат. Тогда из уравнения (1) имеем

4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точка текущая

точка плоскости. Построим векторы

. Они компланарны,

т.е. их смешанное произведение

или

(2)

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки

Из уравнения (2) получим

4.4. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

Очевидно, что угол между двумя

плоскостями равен углу между их

нормальными векторами.

Из этого следует

(3)

Если плоскости перпендикулярны, то

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны и тогда условие параллельности принимает вид

Пример 5. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и

По формуле (3) получаем

т.е. данные плоскости перпендикулярны.

4.5. Расстояние от точки до плоскости

Требуется найти расстояние от плоскостидо точки. М₀

Рассуждая аналогично, как и

для случая прямой на плоскости, d

получаем М

или

(4)

Пример 6. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстояние

Уравнение искомой плоскости в силу условия параллельности имеет вид Возьмём любую точку, принадлежащую плоскости, например, точку. Тогда, используя формулу (4), получим

или

т.е. и тогда получаем две плоскости, удовлетворяющие условию задачи,