5.5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость P и прямая l заданы соответственно уравнениями:

Здесь  нормальный вектор l

плоскости P,  направляющий

вектор прямой l, а   угол между прямой

и плоскостью.   l₁

Если l₁  проекция прямой l на P

плоскость P, то и тогда

Окончательно, считая , получаем

(4)

Если прямая и плоскость перпендикулярны, то векторы иколлинеарны, и тогда условие перпендикулярности примет вид

Если они параллельны, то эти векторы перпендикулярны, и условие параллельности примет вид

5.6. Пересечение прямой с плоскостью

Найдем точку пересечения прямой с плос-костью.

Запишем уравнение прямой в параметрической форме и, подставив параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим уравнение

Исключая параметр t, получим

(5)

Здесь возможны три случая:

1. По формуле (5) вычисляем значение параметраt и из уравнений прямой определяем координаты точки пересечения.

2. , а. В этом случае прямая параллельна плоскости.

3. и. Тогда прямая принадлежит плоскости.

Пример 3. Определить взаимное расположение прямой, проходящей через две точки и, с плоскостью

Составим по формуле (1) уравнения прямой проходящей через эти точки:

Определим угол между этой прямой и плоскостью по формуле (4):

Из этого следует, что прямая параллельна плоскости. Проверим, принадлежит ли она плоскости? Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

откуда следует, что данная прямая принадлежит плоскости.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку.Р

Из условия компланарности векторов М М₀

и имеемl М₁

Раскрывая определитель по элементам первой строки

получим искомое уравнение плоскости Р:

Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности

6.1. Уравнение поверхности

Аналогично, как и для случая линии на плоскости, уравнение поверхности – это уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на поверхности. Верно и обратное, т.е. каждое уравнение вида

, (1)

вообще говоря, определяет некоторую поверхность в пространстве. Если уравнение (1) не удовлетворяется координатами ни одной точки, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. В дальнейшем такие случаи рассматривать не будем.

Пример 1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке .

Пусть  текущая точка сферы, тогда для вектора с координатамидолжно выполняться условие

,

которое и является искомым уравнением сферы.

Рассмотрим один из часто встречающихся случаев –поверхности вращения. Пусть, например, в плоскости Oyz z

задана некоторая линия, уравнение которой М₁

. Найдём уравнение поверхности, M

полученной вращением этой линии вокруг

оси Oz. N

Возьмём произвольную точку O у

этой поверхности и проведём плоскость,

перпендикулярную оси Oy. Очевидно, что х

в сечении получим окружность с центром в точке N.

Тогда . С другой стороны, радиус этой окружности, где точкаМ₁ принадлежит линии . Следовательно, для всех точек поверхности вращения должно выполняться уравнение

Аналогично можно получать уравнения поверхностей вращения относительно других координатных осей.

Пример 2. Найти уравнение поверхности, образованной вращением эллипса в плоскостиOxy вокруг оси Ox.

Для этого случая нужно провести замену в уравнении эллипса. Тогда получим уравнение, которое определяет поверхность так называемогоэллипсоида вращения.