- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
1.1. Определители второго и третьего порядков
Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
(1)
Если первое уравнение системы (1) умножить на а22 , второе на а12 и полученные результаты сложить, то получим
Предположим, что выражение в скобках отлично от нуля, тогда находим
(2)
Аналогично получаем
(3)
Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из четырех элементов, и определяемое по правилу
(4)
Здесь члены определителя, а элементы определителя.
С учетом определения (4) формулам (2) и (3) можно придать более компактный вид
где
Пример 1. Вычислить
Аналогично, рассматривая систему трёх уравнений с тремя неиз-вестными, приходим к определению определителя третьего порядка.
Определение 2. Определителем третьего порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из девяти элементов, и определяемое по правилу
. (5)
Замечание. Выражение (5) является громоздким. Его запомнить будет проще, если использовать следующую схему вычислений
Пример 2. Вычислить
1.2. Основные свойства определителей
Все рассмотренные свойства легко проверить непосредственно на примере определителей третьего порядка, хотя они справедливы и в общем случае.
1. При замене столбцов строками с тем же номером (при транспони-ровании) определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы у определителя равноправны.
Таким образом, требуется доказать равенство
2. Определитель, содержащий строку (столбец) из нулей, равен нулю.
Действительно, так как в этом случае каждый член определителя содержит множителем элемент этой строки (или столбца), равный нулю.
3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Доказывается непосредственно, как и свойство 1.
4. Определитель, содержащий две равные строки (столбца), равен нулю.
Сделаем перестановку этих строк. Тогда из свойства 3 получим
5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Действительно, это можно сделать, так как этот множитель содержится в каждом члене определителя.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбцы) равен нулю.
Доказательство этого свойства следует из свойств 45.
7. Если все элементы строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, каждый из которых имеет строку (столбец) из соответствующих слагаемых элементов.
Например,
Доказывается непосредственно, исходя из определения определителя третьего порядка.
8. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответст-вующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель своего значения не изменит.
Доказательство следует из свойств 67.