- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
Определение 1. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, удовлетворяющий следующим условиям:
1.
2. вектор перпендикулярен векторами.
3. вектора образуют правую тройку, т.е. из конца третьего векторакратчайший поворот от векторако второму векторувиден против часовой стрелки.
В противном случае тройка векторов называется левой.
а) правая б) левая
Обозначается векторное произведение: или
Из определения векторного произведения следуют его свойства и геометрический смысл:
Модуль векторного произведения численно равен площади паралле-лограмма, построенного на этих векторах.
Основные свойства векторного произведения:
1. векторное произведение антикоммутативно.
2. , где, еслииколлинеарные или по крайней мере один из сомножителей является нулевым вектором.
3.
4.
Замечание 1. Тройка базисных векторов является правой.
3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
Из определения векторного произведения следует, что:
(1)
Тогда с учетом формул (1) и свойств векторного произведения получаем
(2)
Пример 1. Заданы векторы иНайти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
Исходя из геометрического смысла векторного произведения, получим
Тогда
Замечание 2. Площадь треугольника, построенного на векторах и, будет равна.
3.3.* Механический смысл векторного произведения
Если радиус-вектор точки , к которой при-ложена сила, то момент этой силы относительно точкивычисляется по формуле
(3)
При этом моменты силы относительно координатных осей.z
Рассмотрим задачу из механики: 3 M
В точке приложена сила
. Требуется найти моменты
этой силы относительно координатных осей. 2 y
По формуле (3) получаем х
Полезно отметить тот факт, что значения этих моментов совпадают со школьным определением – “Момент равен произведению силы на плечо“. См. рисунок!
Тема 4 : Смешанное произведение
4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
Определение 2. Векторно-скалярное произведение называется смешанным и обозначается
Рассмотрим его геометрический смысл.
Построим параллелепипед на векторах
Его объем равен в
его основании лежит параллелограмм с h
площадью
Его высота поэтому имеем
(4)
Знак в выражении совпадает со знакоми поэтому смешанное произведение положительно, если вектораобразуют правую тройку.
Таким образом, приходим к следующему правилу:
Смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Оно поло-жительно, если тройка векторов правая и отрицательно, если левая.
Рассмотрим основные свойства смешанного произведения:
1. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.
Верно и обратное, т.е., если сомножители компланарны, то смешанное произведение равно нулю.
Равенство возможно в следую-щих случаях:
а) хотя бы один из векторов является нулевым, то векторы компланарны;
б) иколлинеарны компланарны;
в) компланарны.
Аналогично доказывается обратное утверждение.
2. , т.е. при циклической перестановке сомножителей смешанное произведение знак не меняется. Это следует из того, что в данном случае ориентация тройки этих векторов сохраняется. В остальных случаях перестановки сомножителей ориентация векторов меняется и тогда
3. где А и В кон-станты.
Это свойство следует из свойств векторного и скалярного произве-дений.