- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
6.3. Достаточные условия экстремума
Так как точка максимума разделяет интервалы возрастания и убывания, а точка минимума убывания и возрастания, то получаем
Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через критическую точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то это точка Если – с минуса на плюс, то это точка
Второе достаточное условие экстремума. Пусть точка х0 является стационарной точкой функции , которая имеет непрерывную произ-водную второго порядка в окрестности этой точки. Тогда, если, то точках0 – точка если , то
Действительно, запишем для функции формулу Тейлора прив окрестности точких0:
Так как точка х0 является стационарной точкой функции , тои из формулы Тейлора следует
Отсюда в силу непрерывности имеем:
1. Если
2. Если
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .
Найдём производную данной функции
,
из которой определим критические точки: .
Построим таблицу
х |
1 |
2 |
3 | ||||
|
+ |
0 |
|
+ | |||
у |
0 |
1 |
0 | ||||
|
|
|
|
|
Итак, функция имеет экстремум (максимум), равный1, в точке и два экстремума (минимума), равных0, в точках Или сокращенно:
6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть задана непрерывная на функция. Она достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо во внутренних крити-ческих точках, либо на концах отрезка . Отсюда следует
Правило. Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение на необходимо:
1. Найти критические точки, принадлежащие данному отрезку ;
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;
3. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Находим критические точки
.
Вычисляем значения функции в критической точке х = 1 и на кон-цах рассматриваемого отрезка :
Пример 4.* Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб, если сопротивление на изгиб вычисляется по формуле , гдеk упругая постоянная, a ширина, h высота сечения балки. а
Обозначим .
Тогда и
h
Покажем, что это точка максимума,
воспользовавшись вторым достаточным
условием экстремума
Лекция № 23.
6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
Определение 1. Линия называется выпуклой вверх (вниз) на, если все точки линии, кроме точки касания, лежат ниже (выше) любой её касательной на этом интервале. Точка, отделяющая часть графика, выпуклую вверх, от части графика, выпуклой вниз, называется точкой перегиба.
y
О а х0 b x
Здесь на интервале функциявыпукла вверх, на интервалефункциявыпукла вниз,х0 точка перегиба.
Для определения интервалов выпуклости вверх и вниз используется условие их существования.
Теорема 1. Если , то на этом интервале линия выпукла вверх (вниз).
Пусть для определенности . Уравнение каса-тельной, проведённой в точке , имеет вид
,
а уравнение линии . Рассмотрим разность
. (1)
К первым двум членам правой части выражения (1) применим теорему Лагранжа и рассмотрим случай
.
Ещё раз воспользуемся теоремой Лагранжа
.
В этом случае , а это означает, что на интервалелиниявыпукла вверх.
Аналогично теорема доказывается и для случая .
Замечание 1. В некоторых точках интервала выпуклости возможно ра-венство . Например, для выпуклой вниз функции при.
Из определения точки перегиба следует:
Необходимое условие точки перегиба. Если х0 точка перегиба функ-ции , то в этой точкелибо не существует.
С учетом теоремы об условиях выпуклости получаем
Достаточное условие точки перегиба. Если или не существует и при переходе через эту точкуменяет знак, то точках0 является точкой перегиба.
Пример 1. Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба функции .
Вычислим производные: не принадлежит области определения функции. Построим таблицу
-
х
1
+
0
у
перегиб
Таким образом, на интервале функциявыпукла вниз, на интервалефункциявыпукла вверх,х0 = 1 точка перегиба.