- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
2.8. Число е.
Рассмотрим последовательность . Покажем, что данная последовательность имеет предел.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона, полагая .
Из этой формулы следует, что , так как все слагаемые суммы положительные. Покажем, что эта последовательность ограничена.
Таким образом, для получаем неравенство. Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху, отсюда, по свойству5 последовательностей (п. 2.1), она имеет предел
где е иррациональное число .
2.9. Второй стандартный предел
Теорема. . (2)
Если , то формула (2) уже доказана. Если, то его значение заключено между двумя положительными целыми числами
. (3)
Тогда будет выполняться
.
С учетом условия (3), получаем
. (4)
Если и тогда
Аналогично
Переходя в формуле (4) к пределу при , и учитывая теорему4 (п.2.5), получаем второй стандартный предел (2).
Замечание 2. Если , тогда, с учётом новой переменной, получим
Таким образом, .
Схематично график функцииизображен на рисунке.
у
е
1
1 0 х
Замечание 3. Если ввести новую переменную при, тогда
Пример 3. .
Пример 4. .
Пример 5.
.
2.10. Сравнение б.М.В.
Пусть и б.м.в. при .
Определение 1. Если , тоназывается б.м.в.более высокого порядка, чем прии пишут.
Пример 6. Пусть , тогда приполучаем
.
Определение 2. Если , тоиназываются б.м.в.одного порядка.
Пример 7. Пусть , тогда приполучаем
и б.м.в. одного порядка.
Определение 3. Если , тоиназываютсяэкви-валентными б.м.в. и обозначаются при.
Из ранее рассмотренных пределов следует таблица эквивалентных б.м.в. при :
; ;;
; ;,
где последнее соотношение следует из бинома Ньютона, но оно справед-ливо и для
Легко показать, что предел отношения б.м.в. не изменится при замене их эквивалентными б.м.в., что используется при вычислении пределов.
Пример 8.
Пример 9.
Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
3.1. Определение непрерывной функции
Пустьопределена в некоторой. Близкая к ней другая точка из этой окрестности может быть представлена в виде , гденазываетсяприращением аргумента. у
Разность
называется приращением функции в
точке х0.
Определение 1. Функция назы-
вается непрерывной в точке х0, если
она определена в точке х0 и в некоторой х0 х
её окрестности и
. (1)
Преобразуем равенство (1)
откуда следует
. (2)
Так как и, то, и тогда формула (2) при-нимает вид
. (3)
Формула (3) является вторым эквивалентным определением непре-рывности функции в точкех0, которое можно сформулировать следующим образом :
Определение 2. Функция называется непрерывной в точкех0, если она определена в этой точке и некоторой её окрестности, имеет предел при и этот предел равен значению функции в этой точке.
Определение 3. Функция , непрерывная во всех точках некоторого промежутка называется непрерывной на этом промежутке.
Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в своей области определения.
Имеем , где. Тогда получим
Замечание 1. Аналогично можно доказать, что все основные элемен-тарные функции непрерывны в области своего определения.