- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
2.4. Теорема о пределе функции
Эта теорема является важной, так как используется при доказатель-стве многих теорем и утверждений.
Теорема. Если функция имеет предел при , то в некоторой окрестностиона представляется в виде суммы, гдеА её предел, а б.м.в. при . Верно и обратное.
Пусть , т.е. б.м.в. или .
Обратно. Пусть . Тогда, т.е..
Замечание 4. Теорема остаётся справедливой и для случая . Тогда вместо фразы “в некоторой окрестности“ следует читать “при достаточно большихх“.
2.5. Основные теоремы о пределах
Предположим, что существуют пределы соответствующих функций. Тогда справедливы теоремы:
Теорема 1. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т.е.
.
Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен про-изведению пределов этих функций, т.е.
.
Следствия:
1. Если .
2. .
Теорема 3. Если , то.
Пусть иТогда по теореме о пределе функции имеем,, гдеи б.м.в. при .
Напишем тождество
Поскольку является б.м.в. по свойствам б.м.в., то тогдаи по теореме о пределе функции получаем
, ч. т. д.
Утверждение следующей теоремы практически очевидно, а её дока-зательство следует из определения предела функции.
Теорема 4. Если в некоторой окрестности выполняетсяи, то.
Замечание 5. Доказательства теорем 1–2 аналогичны доказательству теоремы 3.
Покажем, как с помощью этих теорем вычисляются некоторые пределы.
Пример 3. Найти .
Так как , то имеем
2.6. Раскрытие неопределённостей
Рассмотрим пример: найти предел .
Здесь и.
Этот случай классифицируется как неопределённость вида . Известны также неопределённости следующих видов:и, если1 является пределом некоторой функции, то .
Чтобы раскрыть эти неопределённости, т.е. найти соответствующие пределы, необходимо выполнить соответствующие тождественные преобра-зования функции под знаком предела, которые зависят от вида неопре-делённости и самой функции. Рассмотрим это на конкретных примерах.
Пример 4. .
Пример 5. .
Пример 6.
Пример 7.
Лекция № 17
2.7. Первый стандартный предел
Теорема. . (1)
Выражение под знаком предела является неопределённостью вида. Раскроем данную неопределённость, C
исходя из геометрических соображений. A
Построим окружность с центром в R
точке и радиусомR. Выберем
угол х в первой координатной четверти х
и сравним площади трех фигур: AOB, О D B
сектор AOB и СOВ.
Из рисунка видно, что площади
указанных фигур связаны соотношением:
.
Вычислим эти площади:
откуда имеем .
С учётом того, что , разделим обе части неравенства наи получим
или .
Так как , то на основании теоремы4 (п.2.5) имеем требуемое равенство (1).
Замечание 1. Правомерность предельного перехода под знаком косинуса будет показана в следующей лекции.
Пример 1.
Пример 2.