4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений
(2)
Поскольку система
(2) всегда совместна, так как
то вопрос может стоять только о
единственности решения системы:
1. Если r = п, то система имеет единственное нулевое решение;
2. Если r < п, то, аналогично, r неизвестных выражаем через остав-шиеся п r и система имеет бесконечное множество решений;
Пример 4. Решить систему уравнений
Определим ранг основной матрицы:
1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на 2;
к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на 1;
к 4-ой строке 1-ю строку, умноженную на 3;
2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на 2;
3 шаг:
Прибавим к 4-ой строке 3-ю строку,
умноженную на 
;
Таким образом, r = п и данная система уравнений имеет единствен-ное нулевое решение
.
Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
1.1. Определение вектора
Все величины, с которыми нам приходилось встречаться до настоящего времени в физике, технике были двух видов: скалярные, которые харак-теризуются одним числовым значением и векторные, характеризуются числовым значением и направлением.
Пример 1. Скалярные величины: масса, объём, температура и т.д. Векторные величины: сила, скорость, ускорение и т. д.
О
пределение
1. Направленный
отрезок называется вектором и обозна-чается
.А
В
Определение 2.
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной или
модулем и обозначается
Если
или
,то векторы
называются соответственно единичным
и нулевым.
Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.
Определение 4. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллине-арные, одинаково направлены и имеют равные модули (равные длины).
Пусть задан
некоторый вектор
и осьl.
Определение 6.
Проекцией вектора
на осьl
называется величина
где
угол между вектором
и осьюl.
В
А
l
1.2. Линейные операции над векторами
1. Произведение вектора на число.
Определение 7.
Произведением вектора
на число
называется вектор
определяемый следующими условиями:
вектор
коллинеарен вектору
векторы
и
одинаково направлены, если
и противоположны, если
П
ример
2. Построить
вектор
Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов:
Пусть
ненулевой вектор, тогда для любого
коллинеарного ему вектора
существует единственное число
удовлетворяющее равенству
Действительно,
если векторы одинаково направлены и
если они противоположно направлены.
2. Сложение векторов.
Определение 8.
Суммой двух векторов
и
называется вектор
выходящий из их общего начала, который
служит диагональю паралле-лограмма,
сторонами которого являются векторы
и
,
и обозначается
или
Второй способ построения суммы двух векторов легко распространить на любое число слагаемых. В результате получаем, так называемое правило многоугольника:
Чтобы построить сумму векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго – третий и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и представляет собой искомую сумму.
С помощью рисунков легко убедиться в справедливости следующих свойств:
1.
сложение коммутативно;
2.
ассоциативно.
3. Вычитание векторов.
Определение 9.
Вектор, коллинеарный данному вектору
,
равный ему по модулю и противоположно
направленный, называется противоположным
вектором и обозначается
О
пределение
10. Разностью
векторов
и
называется сумма векторов
и
т.е.
Построение вектора
основано на
построении суммы
векторов
Замечание 1. Из определений 6 и 8 геометрически весьма просто показать следующие свойства:
1.
2.
1.3. Декартова система координат
З
ададим
в пространстве три единичных взаимно
перпендикулярных вектора:
Приведём их к общему началу – точкеО.
Рассмотрим систему координат, направление
осей: z
Ох, Оу, Оz, которой заданы этими
векторами
Такая система
координат называется декартовой M
системой
координат.
Векторы
называются базисом,
а каждый из
этих векторов –
ортом.
y
Покажем, что если задан базис O B
,
то любой вектор
A
N
пространства можно единственным x
образом разложить по нему, т.е. представить в виде
(1)
Приведём вектор
к началу системы координат – точкеО.
Из конца вектора
точки М
опустим перпендикуляр MN
на плоскость Оху.
Проведём из точки N
прямые, параллельные осям координат.
Построим векторы
Из построения получаем
(2)
А так как
то выражение (2)
примет следующий вид
(3)
В силу коллинеарности
векторов
и
и
и
существуют такие числа
,
для которых выполняется
(4)
Тогда формула (3) с учетом (4) принимает вид (1), что и требовалось доказать. Единственность разложения легко доказать от противного.
Сокращенно формула
(1) записывается в виде
Определение 11.
Числа
называются координатами вектора
или его компонентами.
Используя соотношение (1), легко доказать следующие теоремы:
Теорема 1.
Если
и
,
то их сумма
Теорема 2.
Если
и
любое число, то произведение вектора
на это число
Следствие.
Если векторы
и
коллинеарны, то
и тогда условие коллинеарности
векторов имеет вид
(6)
О
пределение
12.
Радиус-вектором точки М
z
называется вектор
М
Определение 13.
Координаты радиус–вектора
точки М называются координатами точки М
и при этом пишут
x
O
y
Замечание 2.
Аналогично определяется система
координат на плоскости Оху.
Здесь образуют базис векторы
и
,
а оси
Ох
и Оу.
Тогда получим
.
Замечание 3.
Из доказательства формулы (1) следует,
что геометрически координаты вектора
–
суть его проекции на соответствующие
координатные оси.
Замечание 4.
Аналогично можно показать, что базис в
пространстве образуют любые три
некомпланарных вектора:
т.е. любой вектор
можно представить в виде
Пример 3.
Найти координаты вектора
в базисе векторов:
заданных
в декартовой системе координат.
Требуется найти
координаты
из векторного равенства
Перейдём к координатной форме
или, подставляя
координаты векторов
и
Полученную систему решим методом Гаусса. Переставим первое уравнение со вторым. Затем первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым, первое умножим на 3 и сложим с третьим, получим
Из третьего уравнения вычтем второе, получим
Отсюда последовательно
находим координаты вектора
в базисе векторов
:
Таким образом, окончательно имеем
