- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
1.2. Мода та медіана випадкової величини
Модою (Мо) дискретної випадкової величини X називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.
Модою для неперервної випадкової величини X називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:
.
Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл ймовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. їх називають антимодальними.
Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини X називають те її значення, для якого виконується рівність:
1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М(Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.
Математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини X від свого математичного сподівання .
Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини
(5.3)
Для дискретної випадкової величини X дисперсія:
(5.4)
для неперервної:
(5.5)
Властивості дисперсії:
1. Якщо С – стала величина, то
.
2. D(СХ) =.
3. Якщо А і В є сталими величинами, то
Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.
Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називають корінь квадратний із дисперсії:
(5.6)
1.4. Початкові та центральні моменти
Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.
Початковим моментом -го порядку випадкової величини X називають математичне сподівання величини :
.
Для ДВВ: ,
для НВВ: .
Центральним моментом -го порядкувипадкової величини X називають математичне сподівання від :
.
1.5. Асиметрія і ексцес
Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо , то випадкова величинаX симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — коефіцієнт асиметрії:
.
Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності. Ексцес обчислюється за формулою
.
Біноміальний закон розподілу
Цей закон має вигляд
, (5.7)
і використовується у схемі Бернуллі, тобто у випадку незалежних повторних випробувань, в кожному з яких деяка подія з'являється з ймовірністюр.
Для біноміального розподілу: ,.
Закон розподілу Пуассона
ДВВ X приймає злічену множину значень (.) з ймовірностями
. (5.8)
Цей розподіл використовують в задачах статистичного контролю якості, в теорії надійності, теорії масового обслуговування, для обчислення: кількості вимог на виплату страхових сум за рік, кількості дефектів однакових виробів.
Для розподілу Пуассона: ,.
Рівномірний розподіл
Означення 1. НВВ X розподілена рівномірно на проміжку , якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її ймовірностей на цьому проміжку стала, тобто
(5.9)
Величина сталої С визначається умовою нормування
Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків.
Числовими характеристиками НВВ X, що розподілена за рівномірним законом, будуть
, .
Експоненціальний розподіл
Означення 2. Випадкову величину X називають розподіленою за експоненціальним законом, якщо щільність її ймовірностей має вигляд
(5.10)
де > 0 - параметр.
Експоненціальному розподілу задовольняють: час телефонної розмови, час ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп'ютера. Числовими характеристиками експоненціального розподілу будуть
, .
Нормальний розподіл
Означення 3. Випадкову величину X називають розподіленою нормально, якщо щільність її ймовірностей має вигляд
. (5.11)
Графік цієї функції називають нормальною кривою або кривою Гауса.
Для цього розподілу:
, .
Отже, математичне сподівання нормального розподілу дорівнює параметру а цього розподілу, а середнє квадратичне відхилення дорівнює параметру .
Зауваження. Якщо випадкова величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами а та , то випадкова величинабуде розподілена занормованим нормальним законом і ,.