- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
7. Розподіл («хі-квадрат»)
Нехай (- нормальні, нормовані незалежні величини, тобто їх математичне сподівання дорівнює нулю, середнє квадратичне відхилення дорівнює одиниці і кожна з них розподілена за нормальним законом. Тоді сума квадратів цих величин
розподілена за законом з степенями вільності.
Якщо величини зв'язані одним лінійним співвідношенням, наприклад,, то число ступенів свободи буде.
Зауважимо, що розподіл визначається параметром – числом ступенів свободи . Колизростає, розподіл прямує до нормального розподілу дуже повільно.
8. Розподіл Стьюдента
Нехай X - нормальна нормована випадкова величина, а - незалежна відX величина, яка розподілена за законом хі-квадрат з степенями свободи. Тоді величина
має розподіл, який називають розподілом або розподілом Стьюдента (це є псевдонім англійського статистика Вільяма Госсета) зстепенями вільності.
При зростанні розподіл Стьюдента швидко наближується до нормального розподілу.
Питання для самоконтролю
Визначення нормального закону розподілу.
Як впливають параметри a, на графіки функцій f(x), F(x) загального нормального закону.
Що називають нормованим нормальним законом?
Чому дорівнює Мо і Ме для нормального закону розподілу?
Навести визначення для нормального розподілу.
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Тема 6. Багатовимірні випадкові величини
Мета роботи: вивчити поняття двовимірної випадкової величини, її числові характеристики, закони розподілу.
План вивчення теми
Система двох дискретних випадкових величин (Х, Y) та їх числові характеристики.
Коефіцієнт кореляції.
Умовні закони розподілу.
Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин.
Щільність ймовірностей системи двох випадкових величин.
Числові характеристики системи двох неперервних випадкових величин.
Методичні рекомендації до самостійної роботи
На одному й тому самому просторі елементарних подій можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. В цьому разі кажуть, що визначена багатовимірна випадкова величина.
Означення. Одночасна поява внаслідок експерименту випадкових величинз певною ймовірністю являє собою-вимірну випадкову величину, яку називають такожсистемою випадкових величин, або випадковим вектором.
1. Система двох дискретних випадкових величин (Х, Y) та їх числові характеристики
Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень ,та відповідних їм ймовірностей спільної появи.
У табличній формі цей закон має вигляд:
-
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Тут:
,
Числові характеристики величин Х, Y:
,
,
.
,
,
.