- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
2. Елементи комбінаторики
Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість усіх елементарних подій (елементів множини) і числоелементарних подій, які сприяють появі випадкової події.
Існує клас задач, в яких для обчислення івикористовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують множинами однотипних елементів.
Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.
Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок розміщення елементів. У противному разі множину називають невпорядкованою.
Переставлення. Переставленнями із елементів називають такі впорядковані множини зелементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.
Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою
, (2.2)
де набуває лише цілих невід'ємних значень.
Приймають, що 1! =1 і 0!=1.
Приклад 1. Задано множину цілих чисел = {1, 2, 3, 4, 5}. її елементи навмання розставляють у рядок. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:
А — розставлені в ряд числа утворюють зростаючу послідовність;
В — спадну послідовність;
С — цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому;
Розв'язання. Простір елементарних подій для цього експерименту міститиме =5!=1·2·3·4·5=120 несумісних, рівноможливих елементарних подій.
Кількість елементарних подій, що сприяють появі А дорівнює одиниці (= 1). Кількість елементарних подій, що сприяють появі В дорівнює одиниці (= 1). Для випадкової події С= 3!. Тоді
, ,.
Розміщення. Розміщеннями із n елементів по m (0 < m < n) називаються такі впорядковані множини, кожна з яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.
Кількість таких множин обчислюється за формулою
. (2.3)
Наприклад, = 9 ·8 ·7 = 504 .
Комбінації. Комбінаціями з n елементів по m (0 < m < n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.
Кількість таких множин
. (2.4)
3. Геометрична ймовірність
Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівноможливих елементарних подій, тобто коли множина її (простір елементарних подій) обмежена.
Якщо множина є неперервною і квадровною, то для обчислення ймовірностіА (А) використовуєтьсягеометрична ймовірність
. (2.5)
Якщо множина вимірюється в лінійних одиницях, тодорівнюватиме відношенню довжин, якщовимірюється у квадратних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.
Приклад. По трубопроводу довжиною 2 км між пунктами А і В перекачують нафту. Яка ймовірність того, що пошкодження (якщо воно відбудеться) через деякий час роботи трубопроводу станеться на певній ділянці довжиною 100 м.
Розв'язання. Простір елементарних подій , тоді. Згідно з (2.5) маємо:
.
4. Статистична ймовірність
На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна лише для обмеженого класу задач як для дискретних, так і для неперервних просторів елементарних подій (множини ). Для більшості задач, особливо економічних, обчислити ймовірності практично неможливо. У цьому разі використовується статистична ймовірність.
Насамперед уводиться поняття відносної частоти випадкової події .
Відносною частотою випадкової події А називається відношення кількості експериментівm, при яких подія А спостерігалася, до загальної кількості n проведених експериментів:
. (2.6)
Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується нерівність .
Статистичною ймовірністю випадкові події називається константа навколо якої групуються відносні частоти випадкової події.