- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
Задачі для розв’язання
1. Щомісячний прибуток на підприємстві у розрахунку на одного робітника є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу. При рівні значущостіперевірити правильність, якщо альтернативна гіпотеза, коли відомо щоі вибіркове середнє для 100 робітників дорівняє.
2. Реалізувавши вибірку з генеральної сукупності, ознака якої Х має нормальний розподіл, дістали статистичний розподіл:
-
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
3
6
8
6
6
5
3
2
При рівні значущості α=0,01 перевірити правильність нульової гіпотези H0: a=8, якщо Нα: a≠8.
3. Вимірювалась швидкість руху автомобілів на певній ділянці шляху. Результати вимірів наведено в таблиці:
h = 2 |
17 - 19 |
19 - 21 |
21 - 23 |
23 - 25 |
25 - 27 |
27 - 29 |
ni |
5 |
10 |
21 |
31 |
6 |
4 |
Визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознака Х – швидкість автомобіля. При рівні значущості α=0,05 перевірити правильність сформульованої нульової гіпотези.
4. За даним статистичним розподілом вибірки:
h=4 |
0 – 10 |
10 – 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
ni |
40 |
30 |
20 |
6 |
4 |
З’ясувати гіпотетично закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х. При рівні значущості α=0,01 перевірити правильність цього припущення.
Т е с т и
Варіант №1
1. Що таке “критична область” при перевірці гіпотези?
а) імовірність, з якою буде прийнято невірне рішення;
б) імовірність, з якою буде прийнято вірне рішення;
в) область значень критерію, при попаданні в яку гіпотеза приймається;
г) область значень критерію, при попаданні в яку гіпотеза відхиляється.
2. Використовуючи критерій Пірсона (χ-квадрат) з рівнем значущості =0,01, перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності X, якщо відомі емпіричні та теоретичнічастоти.
|
8 |
16 |
40 |
72 |
36 |
18 |
10 |
|
6 |
18 |
36 |
76 |
39 |
18 |
7 |
знайти спостережуване значення критерію;
знайти критичне значення критерію.
а) =1,7,Н0 відхиляємо; б)=1,7,Н0 приймаємо;
в) =13,3,Н0 приймаємо; г) =13,3,Н0 відхиляємо.
Варіант №2
1. Скільки параметрів у розподілі хі-квадрат?
а) 0; б) 2; в) 3; г) 1.
2. Для вибірки обсягу n=20, отриманої з нормальної генеральної сукупності, знайдено вибіркове середнє і виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення s=4,2. При рівні значущості =0,05 перевірити основну гіпотезу , якщо альтернативна гіпотеза.
а) H0 приймаємо; б) H0 відхиляємо.
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №16
Тема 13. Елементи теорії регресії
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички виконання елементів регресійного аналізу в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Нехай між змінними Х та теоретично існує певна лінійна залежність. Будемо вважати, що специфікація рівняння вибрана правильно. Ураховуючи вплив на значення Y збурювальних випадкових факторів, лінійне рівняння і зв'язку X і Y можна подати в такому вигляді:
,
де ,є невідомі параметри регресії,є випадковою змінною, що характеризує відхилення у від гіпотетичної теоретичної регресії.
Отже, в рівнянні значення y подається у вигляді суми двох частин: систематичної і випадкової. Параметри,є невідомими величинами, ає випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками: М()=0, D()==соnst. При цьому є некорельованими.
Необхідно визначити параметри ,. Але істинні значення цих параметрів дістати неможливо, оскільки ми користуємося інформацією, здобутою від вибірки обмеженого обсягу. Тому знайдені значення параметрів будуть лише статистичними оцінками істинних (невідомих нам) параметрів,. Ці оцінки позначимо,. На практиці найчастіше параметри,визначаються за методом найменших квадратів.
; .
Парний коефіцієнт кореляції визначається як
.
Основна властивість парного коефіцієнта кореляції: .