- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №5
Тема 4. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання функції розподілу ймовірностей і щільності ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття
Методичні рекомендації
Випадкові величини бувають дискретними та неперервними. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може набувати відокремлені, ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати). Кількість можливих значень ДВВ може бути скінченою або нескінченою. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може набувати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченого інтервалу (а,). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.
Законом розподілу випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.
Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу) називають ймовірність того, що випадкова величинаX набуде значення, меншого за х:
.
Властивості функції розподілу:
1) ;
2) є неспадною функцією аргументу, тобто, якщо.
Диференціальною функцією розподілу (щільністю) ймовірностей НВВ називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу і позначають:
Щільність має наступні властивості:
;
2)= 1 – умова нормування НВВ.
Функція розподілу є первісною для диференціальної функції розподілу . Ймовірність того, що неперервна випадкова величина X набуде значення з інтервалу (а, b), визначається рівністю
.
Функція розподілу існує для ДВВ –
і для НВВ – , де –щільність.
Повними, вичерпними характеристиками для дискретних випадкових величин є 1) функція розподілу;
2) ряд розподілу.
Для неперервних: 1) функція розподілу;
2) щільність розподілу.
Задачі для розв’язання
1
-4 0
2
Хі
-2
2
4
8
10
Рі
0,1
2а
0,3
0,1
3а
обчислити: параметр a, ймовірності таких випадкових подій Х≤3, Х=2, Х>4, -2< Х<8.
2. За заданим законом розподілу ймовірностей
-
Хі
-4
-1
2
Рі
0,4
0,2
0,4
Побудувати функція розподілу ймовірностей і накреслити її графік.
3. Задано функцію розподілу ймовірностей
Знайти закон розподілу Х.
4. Маємо 2 ящика. У першому містяться 6 стандартних і 4 бракованих однотипних деталей. У другому – 5 стандартних і 5 бракованих деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Побудувати закон розподілу випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед двох навмання взятих.
5. Задано функцію розподілу ймовірностей
Знайти f(х). Побудувати графік F(х), f(х) і обчислити .
6. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:
Знайти: а) щільність імовірності f(х); б) імовірність улучення величини Х в інтервал (1; 2,5); в) імовірність влучення величини Х в інтервал (2,5; 3,5).
7. Троє складають іспит із теорії ймовірності. Імовірність того, що перший студент складе екзамен, становить 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,85; 0,8. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – числа студентів, які складуть іспит з теорії ймовірності.
Дано функцію розподілу ймовірностей
F(x)=
Знайти . Побудувати графіки,F(х).
9. Задано щільність ймовірності
Знайти коефіцієнт А; функцію розподілу F(х).
10. Дано щільність імовірності
Знайти а і F(х). Побудувати графіки f(x), F{х).
11. Графік заданої щільності ймовірностей зображено на рис.1
рис.1
Записати вирази для f(x), i F(x). Побудувати графік F(x).
12. За заданою щільністю ймовірностей
f(x)=
Обчислити P
13. Задана щільність імовірності випадкової величини X
.
Знайти параметр С і F(x).
14. Функція розподілу ймовірностей є лінійною.
Знайти вирази для F(х) і f(х). Побудувати графік f(х)
15. Випадкова величина Х має ймовірнісний трикутник, зображений на рис.2
рис.2
Записати вирази для f(х) і F(х) побудувати графік функції F(х).