03_Электричество

Пусть за время dt через сечение S1 переносится положительный заряд dq1 , а через сечение S2 за это же время переносится заряд dq2 .

Электрические заряды в проводнике не исчезают, не появляются и не накапливаются.

Следовательно: электрический заряд между S1 и S2 остается постоянным. Это возможно только если выполняется условие

dq1 = dq2 , dqdt1 = dqdt2 ,

I1 = I2 .

Сила постоянного тока одна и та же в любом поперечном сечении проводника, по которому протекает ток.

Пусть в проводнике имеются положительные и отрицательные носители тока. Пусть за время dt через поверхность S переносится положительный заряд dq+ в одном направлении и отрицательный заряд dq− в противоположном направлении.

Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда в противоположном направлении.

Следовательно, можно сказать, что за dt через S переносится суммарный положительный заряд равный

dq = dq+ + dq− ,

91

I = dq = dq+ + dq− . dt dt dt

Плотность тока

Пусть носители заряда в проводнике имеют заряд q0 и скорость упорядо- r

ченного движения U .

Построим внутри проводника цилиндр с основаниями площадью dS ,

перпендикулярными вектору скорости U и образующей, параллельный вектору скорости. Длина образующей равна Udt имеет смысл расстояния, которое проходит носитель тока за время dt . Обозначим концентрацию носителей n .

Найдем положительный заряд, переносимый за время dt через участок dS . За это время dS пересекает все носители, находящиеся в объеме постоянного цилиндра

dq = q0 ndV = q0 ndS Udt , q0 = q0 , q0 > 0 ,

q0 = −q0 , q0 < 0 .

Обозначим

dI - сила тока через элементарную площадку величиной dS .

dI =

dq

=

q0

nUdS .

dt

Разделим на dS и обозначим

dI

А

j =

,

м2

dS

j =

q0

nU ,

А

.

Введем вектор

м2

j = q0 nU .

r

Величина j есть вектор плотности тока. Направление

совпадает с на-

j

правлением упорядоченного движения положительных носителей заряда и, следовательно, определяет направление тока. Модуль j численно равен силе тока через единичную площадку, перпендикулярную направлению тока.

92

r

Для постоянного тока и поперечного сечения проводника: j = const .

j =

dI

=

I

=

I

,

dS

S

S

I = const ,

j =

I

.

S

Пусть имеются носители тока обоих знаков с зарядами q0+

и

q0− , концен-

трациями n + и n − и скоростью упорядоченного движения

U+ и

r

U− . В этом слу-

чае плотность тока равна	rj = q0+n + U+ + q0−n −U− ,
	j = j+ + j− .

Пусть направления векторов U+ и U− противоположны друг другу. С учетом знаков зарядов имеем вектора j+ и j− направление одинаково.

В этом случае для модуля j можем записать j = q0+n + U+ + q0− n −U− ,

где U+ , U− - модули векторов. Для электриков в металле

j = −enU , j = enU .

Уравнение непрерывности для тока

Выберем произвольно малую поверхность dS . Проведем вектор нормали к ней и обозначим α- угол между вектором U и вектором скорости упорядоченного движения носителей U .

93

Найдем положительный заряд dq , переносимый через эту поверхность. Построим косой цилиндр с основанием dS и образующей Udt

dq = q0 dN = q0 nUdtdScosα.

Разделим на dt

dqdt = q0 nUdScosα = jdScosα.

Обозначим

dI = dqdt ,

dI = jdScosα = j dS, dS = nrdS .

Здесь

dI - сила тока через элементарный участок dS. Проинтегрируем по всей поверхности S , получим

I = ∫ j dS , I = ∫ j dS .

S S

Сила тока через некоторую поверхность равна потоку вектора плотности тока через эту же поверхность.

Пусть поверхность S замкнута и внутри нее находится суммарный заряд, равный q . Пусть вследствие протекания тока заряд покидает область, ограниченную поверхностью S .

За время dt убыль заряда составляет величину (−dq). Эта величина равна заряду, перенесенному через поверхность (Idt)

−dq = Idt ,

94

−dqdt = I .

Сдругой стороны для замкнутой поверхности S :

I = ∫ j dS .

S

Следовательно

∫rj dSr = − dqdt .

Это уравнение непрерывности в интегральной форме. Запишем для правой части

dq	=	d	∫ρdV = ∫		∂ρdV ,
dt		dt	V	V	∂t

где ρ = ρ(x, y,z, t)-объемная плотность электрических зарядов, V - объем, ограниченный поверхностью S .

Запишем

r

r

= −∫

∂ρ

dV ,

∫

jdS

S

V

∂t

1

r

r

1

∫

∂ρ

,

limV→0

∫ jdS

= limV→0 −

∂t

dV

V

S

V V

r

∂ρ

.

divj = −

∂t

Дивергенция вектора плотности тока в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке.

В декартовых координатах

∂∂jxx + ∂∂jyy + ∂∂jzz = − ∂∂ρt ,

где jx , jy , jz - проекция вектора j на оси системы координат.

В случае постоянного тока плотность заряда не изменяется со временем,

т.е.

∂∂ρt = 0 , divj = 0 , divj = 0 .

Это выражение называется уравнением стационарности.

Электродвижущая сила

Пусть между концами проводника A и B создана разность потенциалов (ϕA −ϕB ) в результате чего возникает электрическое поле E . Под его действием

положительные заряды начинают двигаться от A к B и накапливаться у конца B . В результате очень быстро возникает внутренне поле, компенсирующее электрическое поле E , разность потенциалов (ϕA −ϕB ) станет равной нулю, перенос зарядов прекратиться и I = 0 . Ток не протекает.

95

Чтобы обеспечить длительное протекание тока, нужно удалять положительные заряды от конца B и возвращать их к концу A . Для этого необходимо выполнение двух условий

•Носители заряда должны двигаться по замкнутому пути.

•Необходимы силы, перемещающие носители заряда против внутреннего электрического поля.

Эти силы должны быть силами неэлектрического происхождения, их называют сторонними силами.

Сторонние силы совершают работу, при перемещении зарядов.

2 r r

A12см = ∫Fсм dl .

r	1
Стороннюю силу Fсм , действующую на заряд q можно представить в виде

Fсм = qEсм ,

где Eсм называется напряженностью поля сторонних сил.

Запишем

2	r	r	2	r	r	2	r	r
A12см = ∫Fсм dl = ∫qEсм dl						= q∫Eсм dl .
1			1			1
Разделим обе части на q
		см		2 r	r
		A12	= ∫Fсм dl .
		q
				1

Выражение слева численно равно работе, совершаемой сторонними силами над единичным положительным зарядом. Эта величина называется электродвижущей силой (э.д.с.), действующей на участке 12.

96

	ε12 =	A12	,	Дж	= В,
		q		Кл
		2	r		r
	ε12	= ∫Eсм dl .

1

Путь, по которому перемещаются Электрические заряды, создающие электрический ток, называются электрической цепью или цепью.

Если цепь замкнутая, то

ε = ∫Eсм dl ,

где ε- э.д.с. действующая в замкнутой цепи.

Э.д.с. создается специальными устройствами, которые называются источником э.д.с. (источником тока) и обозначается так

Падение напряжения

В каждой точке электрической цепи на носитель заряда действует сила

электростатического поля и сторонняя сила

r

Fэ = qE , Fсм = qEсм .

Найдем работу, совершаемую этими силами при перемещении заряда q на некотором участке 12

2

r

r

2

r

r

2

r

r

2

r

r

A12 = A12э + A12см = ∫qE dl +∫qEсм dl

= q∫E dl

+ q∫Eсмdl .

1

1

1

1

Разделим на q обе части:

A12

2 r

r

2

r

r

=

∫E dl

+∫Eсм

dl .

q

1

1

Запишем

2

r

r

q(ϕ1 −ϕ2 )= ∫qEdl ,

1

2 r

r

= ε12 ,

∫Eсмdl

1

A12

= (ϕ1 −ϕ2 )+ ε12 .

q

Обозначим

U12 = Aq12 , ДжКл = В,

U12 = (ϕ1 −ϕ2 )+ ε12 , В

Величина U12 называется падением напряжения и напряжением на участке цепи 12.

97

Падение напряжения численно равно работе, совершаемой электрическими и сторонними силами над единичным положительным зарядом при перемещении его на данном участке цепи.

Для элементарного участка:

dU = −dϕ + dε.

Источник э.д.с. отсутствует: ε12 = 0 .

В этом случае U12 =ϕ1 −ϕ2 . Замкнутая цепь: ϕ1 =ϕ2 .

U12 = ε12 .

Работа, совершаемая на участке 12 всеми силами, при переносе заряда q

равна

A12 = qU12 ,

A12 = q[(ϕ1 −ϕ2 )+ ε12 ].

Закон Ома

Участок цепи, на котором действуют сторонние силы (источники э.д.с.) называется неоднородным, участок цепи на котором не действуют сторонние силы (источники э.д.с.), называется однородным.

Из опыта известно, что сила тока, текущего по металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на концах этого проводника

I =	1	U12 ,	1	- коэффициент пропорциональности.
	R12		R12

Это утверждение называется законом Ома. В общем случае

I = R112 [(ϕ1 −ϕ2 )+ ε12 ].

Это закон Ома для неоднородного участка цепи.

На участке может действовать несколько источников э.д.с. При этом

ε12 = ∑εi . i

Величина ε12 есть алгебраическая сумма всех э.д.с., действующих на уча-

стке 12. при этом э.д.с. считается положительной, если она способствует движению положительных зарядов на данном участке в направлении 1-2 и отрицательной в противном случае. Ток течет в направлении 1-2.

Однородный участок цепи

ε12 = ∑εi = 0 , εi = 0 , i

I = (ϕ1 −ϕ2 ).

R12

Обозначим

(ϕ1 −ϕ2 )= U , R12 = R ,

98

I = UR . ( )

Это закон Ома для однородного участка цепи. Замкнутый проводник

		ϕ1	=ϕ2 ,
I =	ε12	, ε12 = ∑εi , R12 = R ,
	R12		i
		I =	∑εi		.
			i
			R

Величины R12 , R , входящие в закон Ома, называются электрическим сопротивлением проводников.

Из ( ), запишем

I = UR , АВ = Ом.

Электрическое сопротивление

Электрическое сопротивление проводников зависти от их формы, размера и свойств материала (вещества).

Известно, что сопротивление цилиндрического проводника определяется законом

R = ρSl , Ом,

где l - длина, S - площадь поперечного сечения, ρ- удельное электрическое сопротивление вещества (Ом м).

Известно металлы: ρ <10−3 Ом м,

полупроводники: 10−3 < ρ <105 Ом м, диэлектрики: ρ >105 Ом м.

Проводник, имеющий сопротивление, изображают так

99

1. Последовательное соединение

N

R = ∑R i ,

i=1

I1 = I2 = ... = Ii = ... = IN ,

N

U = ∑Ui .

i=1

2. Параллельное соединение

В этом случае

1	N	1
	= ∑			,
R		R
	=		i
	i 1
	N
I = ∑Ii			,

i=1

100