03_Электричество

где E2τ - проекция вектора E2 на направление вектора τ, касательного к поверх-

ности.

Пусть h → 0 .

Тогда 2-й и 4-й интегралы равны нулю. Пусть l настолько мал, что в пределах l

E1 = const , E2 = const .

Запишем

∫E1τdl − ∫E2τdl = 0 ,

l l

E1τl − E2τl = 0 , E1τ = E2τ .

4. Преломление линий векторов E и D

В общем случае при переходе через границу раздела изменяются направ-

r

ления как вектора напряженности E , так и электрического смещения D . Пусть вектор E1 образует с нормалью к поверхности угол α1 , а вектор E2

образует с той же нормалью угол α2 .

Запишем граничные условия для E и D при отсутствии сторонних зарядов на поверхности раздела

E1τ = E2τ ,

D1n = D2n ,

D1n = ε0 ε1E1n , D2n = ε0 ε2 E2n , ε0ε1E1n = ε0ε2 E2n ,

ε1E1n

= ε2 E2n ,

E1τ

=

E2τ

,

E1τ E1n

=

E2τ E2n

,

ε1E1n

ε2 E2n

ε1

ε2

E1τ

= tgα1

,

E2τ

= tgα2 ,

E1n

E2n

61

tgα1		=		tgα2				,
	ε1				ε2
	tgα1		=			ε1	.
	tgα2					ε2

Это закон преломления силовых линий вектора E и линий вектора D .

Вычисление электрического поля в диэлектрике

Пусть однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε помещается во внешнее поле напряженностью E 0 .

Вследствие поляризации диэлектрика в нем возникает электрическое поле E′. Напряженность поля, действующего на молекулы диэлектрика равна:

r E = E0 + E′.

Поле E принято называть локальным полем. Видно, что локальное поле отличается от внешнего поля.

1. Электрическое поле в вакууме и диэлектрике

Пусть электрическое поле создается фиксированной системой сторонних

зарядов. Пусть в некоторой области пространства, где нет вещества, т.е. в ва-

r r

кууме поля известно: E 0 , D0 , ϕ0 .

E 0 = Er0 (x, y, z), D0 = D0 (x, y,z), ϕ0 = ϕ0 (x, y,z).

Заполним эту область однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, оставляя распределение сторонних зарядов неизменными.

62

В этом случае имеем

E = E(x, y, z), D = D(x, y,z), ϕ = ϕ(x, y,z).

Запишем

divD0 = ρ, divD = ρ.

Следовательно,

D = D0 ,

D0 = ε0 E0 , D = ε0εE0 ,

ε0εE = ε0 E0 ,

Er = Eε0 , E = −gradϕ ,

E0 = −gradϕ0 ,

Eε0 = −gradϕ ,

−εgradϕ = −gradϕ0 , gradϕ = grad ϕε0 ,

ϕ= ϕε0 .

Итак

Er = Eε0 ,

ϕ = ϕε0 ,

D= D0 .

2.Точечный заряд в диэлектрике

Имеется однородный изотропный диэлектрик с проницаемостью

ε = const .

Поместим в диэлектрик точечный заряд q .

63

Найдем напряженность электростатического поля E как функцию расстояния r от точечного заряда. Теорему Гаусса для E здесь применить нельзя, т.к. вследствие поляризации возникают связанные заряды, так же создающие электрическое поле. Поэтому используют теорему Гаусса для вектора D .

Проведем сферическуюr

поверхность S

радиуса r с центром в точке на-

хожденияr

q . Поле вектора D

будет центрально-симметричным, направление

вектора D

проходит через центр сферы и модуль D зависит только от r . Запи-

r

шем теорему Гаусса для D .

∫D dS = q ,

S

∫D dScosα = q ,

S

α = (nr, D)= 0 ,

∫D(r)dS = q ,

S

D(r)∫dS = q ,

S

= q ,

D(r)4πr2

D(r)=

q

,

4π r2

D = ε0εE ,

E =

1

q

,

4πε0ε

r2

r

1

q

r

.

E =

4πε0ε

r 2

r

Легко получить для потенциала

ϕ= 4π1ε0 ε qr .

3.Диэлектрик между параллельными пластинами

На изолированных заряженных пластинах равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью (+ τ) и (− τ).

64

В отсутствие диэлектрика между пластинами напряженность поля равна

E0 = ετ0 ,

(1+ κ)E =					τ	,
				ε0
1+ κ = ε ,
εE =		τ			,
		ε0
E =		τ		.
	ε0 ε

Пусть d - расстояние между пластинами. Обозначим

U0 - напряжение между пластинами в отсутствие диэлектрика, U - напряжение между пластинами с диэлектриком.

Так как выполняется условие E 0			= const , E = const , то
U0 = E0d , U = Ed ,
	U	=	E	=	1	,
	U0		E0		ε

U = Uε0 .

Легко показать, что

D = D0 .

Направление E0 показано на рисунке. Заполним область между пласти-

нами однородным диэлектриком с проницаемостью ε. Вследствие поляризации на поверхностях диэлектрика появятся связанные заряды с плотностью τ′ и - τ′. Рассматривая эти поверхности как параллельные пластины запишем для напряженности поля E′, создаваемого связанными зарядами

E′ = τ′ . r ε0

Направление вектора E′ противоположно направлению вектора E 0 . Р6езультирующее поле в диэлектрике найдем по принципу суперпозиции

65

E= E0 + E′.

Сучетом направлений векторов

E= E0 − E′,

E =	τ	−	τ′	,
	ε0
			ε0

τ′ = Pn = κε0 En = κε0 E ,

E =	τ	−	κε0 E	.
	ε0
			ε0

4 Диэлектрический шар в однородном поле

Пустьr шар из однородного диэлектрика вносят в однородное электрическое поле E0 . До поляризации в диэлектрике имелась однородная смесь положительных зарядов с объемной плотностью ρ+ и отрицательных зарядов с объемной плотностью ρ− .

Обозначим

ρ+ = ρ, ρ- = -ρ+ = −ρ.

Под действием поля все заряды одного знака, например, положительные смещаются на одно и тоже расстояние l в одном направлении.

При этом шар отрицательных зарядов с центром O− остается неподвижным и появляется шар положительных зарядов с центром O+ .

Обозначим

l - вектор, проведенный из O− в O+ .

Возьмем точку внутри диэлектрика и проведем в нее радиусы-векторы из центров шаров, обозначим их r− и r+ .

Обозначим

E- , E + - напряженность поля в этой точке, создаваемая отрицательными и положительными зарядами.

Напряженность поля, создаваемого всеми зарядами равна

E′ = E− + E+ , Er+ = ρ3+εr0+ = 3ρεr+0 ,

66

r

ρ− r−

- ρr−

,

E − =

=

3ε0

3ε0

r

ρ

(rr+ − rr− ),

E′ =

3ε0

l + rr+

= rr− ,

rr+ − rr− = −l ,

r

′

ρl

E

= −3ε0

,

ρl = nql = npr0 = P ,

где n - концентрация молекул (диполей),

q - положительный заряд диполя,

p0 - дипольный электрический момент,

P - поляризованность диэлектрика.

Следовательно,

r

′

P

E

= − 3ε0 .

Локальное поле будет равно

E = E0 + E′,

r

r

P′

.

E =

E0

−

3ε0

Виды диэлектриков

1. Неполярные диэлектрики

Под действием внешнего электрического поля E0 молекулы диэлектрика

приобретают дипольный электрический момент, равный: pr0 = βε0 E , P = κε0 E , P = npr0 ,

где β - поляризуемость молекулы.

Диэлектрическая восприимчивость κ и диэлектрическая проницаемость ε

вещества связана с поляризуемостью молекулы β .

r r

Разреженные газы: E = E0 + E′, E′ << E0 , E = E0

κ= βn ,

ε=1+βn .

Плотные газы, жидкости, твердые тела: E = E0 + E′.

κκ+ 3 = 13 βn , εε+-12 = 13 βn .

Это формула Клаузиуса-Моссоти.

67

2. Полярные диэлектрики

Молекулы имеют дипольные моменты p0 . Введем систему координат так, что ось z совпадает с направлением вектора электрического поля в диэлектрике

E .

Под действием поля дипольные моменты стремятся установиться по направлению поля. В то же время тепловое движение молекул рассматривает упорядочивающее действие электрического поля.

Обозначим

poz -среднее значение проекции дипольного электрического момента молеку-

лы на ось z , совпадающий с направлением вектора E . Расчет дает

poz = p0 L(a),

a =		p0 E	,
		kT
L(a)=	ea + e−a			−	1	.
	ea −a −a
					a

Здесь

T - температура диэлектрика, k - постоянная Больцмана.

Выражение L(a) называется функцией Ланжевена. График функции имеет следующий вид.

68

Рассматривают два случая.

a <<1.

pkT0 E <<1,

В этом случае

L(a)= a3 ,

a >>1 .

pkT0 E >>1,

p0 E << kT .

( )= p2 E .

L a 0 3kT

p0 E >> kT .

В этом случае

L(a)=1,

poz = p0 .

Все дипольные моменты параллельны между собой и направлены вдоль

r r

вектора E . Поляризованность будет максимальной. Значение E , при котором выполняется условие a >>1 называется напряженностью поля насыщения.

При T = 300 K Eн = 4

108

В

.

м

r r

Для разреженных газов

E = E0 , E < Eн , a <<1.

r

r

=

np2

r

= κε0 E ,

P = n poz

0

E , P

3kT

κ =

np02

,

3kTε0

ε =1+

np02

.

3k Tε0

3. Сегнетоэлектрики

Сегнетоэлектриками называются диэлектрики, обладающие поляризованностью при отсутствии электрического поля.

Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков может достигать больших значений (ε ≈104 ) и зависит от напряженности электрического поля сложным образом.

69

ε = ε(E).

Запишем

P = κε0 E = (ε −1)ε0 E .

График зависимости P от E представлен на рисунке. Кривая называется петлей гистерезиса. Отрезок ОА характеризует остаточную поляризованность. Отрезок ОВ характеризует значение E , при котором остаточная поляризованность исчезает.

При повышении температуры выше значения Tk сегнетоэлектрические свойства диэлектрика исчезают и он превращается в обычный диэлектрик с полярными молекулами. Температура Tk называется температурой Кюри и харак-

теризует точку Кюри.

Диэлектрическая восприимчивость вблизи температуры Кюри изменяется по закону

κ = Т −АТ0 , ( )

где А- константа, T0 - температура Кюри-Вейса.

Часто можно считать, что

T0 ≈ Tk .

Выражение ( ) называется законом Кюри-Вейса.

Теория сегнетоэлектриков лежит вне рамок курса общей физики. Качественное описание процессов сводится к следующему.

Если взаимодействие дипольных электрических молекул оказывается достаточно сильным, то дипольные моменты молекул ориентируются в одном и том же направлении и возникает спонтанная поляризация.

Состояние спонтанной поляризации и является сегнетоэлектрическим состоянием диэлектрика. При этом весь объем диэлектрика разделяется на малые области со спонтанной поляризацией, которые называются доменами.

70