03_Электричество

Глава 6. Электрический ток в металлах, жидкостях, газах и вакууме

Классическая теория электропроводности металлов

1. Природа носителей заряда в металлах

Первоначально предполагалось, что носителями тока в металле являются атомы. Для проверки этого был проведен следующий эксперимент. Через составной проводник (Cu, Al) в течение года пропускался ток одного и того же направления. За это время через проводники прошел заряд ≈106 Кл.

Тщательный анализ не позволил обнаружить никаких изменений в каждом из проводников. В то же время изменения, например в массе, были бы неизбежны при перемещении атомов. Следовательно, результаты опыта указывают на то, что перенос заряда осуществляется не атомами, а другими частицами, имеющимися в каждом металле. После того, как была открыта частица – электрон, было доказано, что именно электроны являются носителями тока в металлических проводниках.

2. Вывод закона Ома и закона Джоуля – Ленца

Рассмотрим токопрохождение в металле в рамках следующей модели. 1. В металле имеется очень большое количество электронов, которые ведут

себя как свободные частицы.

2. Электроны в металле совершают беспорядочное тепловое движение. Средняя скорость теплового движения равна

υ = 8kTπm .

3. Под действием электрического поля электроны совершают упорядоченное движение с постоянной скоростью упорядоченного движения U .

4. Предположим, что электрон не имеет скорости U . Под действием электрического поля он начинает двигаться с постоянным ускорением

5.	a =	F	=	eE	.
		mэ
				mэ

111

Обозначим τ - среднее время движения электронов между двумя последовательными

столкновениями электрона с атомом.

Вметалле всегда выполняется условие

υ>> U .

Поэтому частота столкновений электронов с атомами определяется именно средней скоростью теплового движения электронов..

Величина τ равна

τ = λυ ,

где λ - среднее расстояние, которое проходит электрон между двумя последовательными столкновениями.

За время τ электрон, имея ускорение a , проходит путь:

S = aτ2	=	eEλ2	.
2		2mэ υ 2

За это же время электрон приобретает скорость

Um = aτ =	eE	λ .
	mэ	υ

После столкновения с атомом электрон снова начинает движение, не имея скорости упорядоченного движения.

Обозначим

U - средняя скорость упорядоченного движения электронов. При этом для S можно записать

	S = Uτ,
	aτ2			= Uτ ,
	2
U = aτ		=						eEλ .
	2					2mэ			υ
Плотность тока электронов:
j = enU =							e2 nλ			E .
						2mэ υ
Обозначим
1	=			e2 nλ .
ρ		2mэ						υ
Запишем					1
	j =						E .
					ρ

112

Это закон Ома в дифференциальной форме. За время τ электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию

∆ε = mэ2U2m ,

Um = aτ = e2 nλ , mэ υ

∆ε = mэ	= e2 E2 λ2	= e2 E2 λ2 .
2	mэ2 υ 2	2mэ υ 2

Столкнувшись с атомом, электрон передает ему энергию ∆ε . При этом происходит увеличение внутренней энергии металла, т.е. его нагревание. Каждый электрон за 1с испытывает число столкновений, равное

z = 1τ = λ1υ = λυ , 1c .

Обозначим

QV - энергия, передаваемая атомом за 1с всеми электронами в единице объема.

QV = ∆ε z n ,

Дж

=

Вт

,

с м3

м3

υ

QV =

c2 E2

λ2

n

=

ne2

λ

E

2

=

1

E

2

.

2mэ

υ 2

λ

2mэ

υ

ρ

Это закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

3. Недостатки классической теории

Имеются факты, которые не получают объяснения в рамках классической модели:

1.Классическая теория не дает ответа на вопрос: почему электроны, на которые действует силы со стороны атомов, ведут себя как свободные.

2.Запишем

ρ = 2mэ υ , ne2 λ

этот вывод противоречит опытным данным, в соответствии с которыми температурная независимость ρ имеет вид

Электропроводность жидкостей

Чистые жидкости состоят из электрически нейтральных атомов и молекул, движение которых не может привести к появлению электрического тока.

Растворы солей, кислот, щелочей в воде хорошо проводят ток. Это связано с тем, что молекулы растворенного вещества распадаются на положитель-

113

ные и отрицательные ионы. Такой процесс называется диссоциацией. Упорядоченное движение ионов обуславливает электрический ток.

Пусть в жидкости имеются носители тока обоих знаков.

Обозначим для положительных и отрицательных носителей соответст-

венно

q0+ , q0− - заряд носителя,

n + , n − - концентрация носителей,

U+ , U− - скорость упорядоченного движения носителей, µ+ ,µ− - подвижность носителей.

Плотность тока в жидкости равна

j = q0+n + U+ + q0− n −U− , U+ = µ+E , U− = µ−E ,

j = (q0+n + U+ + q0− n −U− )E .

Пусть выполняются условия

q0+ = q0− = q0 ,

n + = n − = n .

Тогда

j = q0 n(µ+ +µ− )E .

Обозначим

n0 - концентрация молекул вещества до растворения.

Отношение концентраций ионов (носителей тока) к концентрац3ии молекул растворенного вещества называется степенью диссоциации

α = n , n0

n = αn 0 ,

j = q0 (µ+ +µ− )αα0 E .

Электрический ток в газе

1. Газовый заряд

Прохождение электрического тока через газ называется газовым зарядом. Для существования электрического тока в газе необходимо наличие носителей тока. В обычном состоянии носителей тока в газе очень мало, поэтому их создают с помощью внешних воздействий: нагреванием или облучением. В результате воздействие от молекулы отрывается электрон и она превращается в ион. Такой процесс называется ионизацией.

114

Процесс возникновения ионов в газе называется ионизацией газа. Свободный электрон обычно захватывается нейтральными молекулами,

которые также превращаются в отрицательные ионы.

При встрече двух равномерно заряженных ионов они превращаются в нейтральные молекулы.

Процесс взаимного превращения двух ионов разного знака в нейтральные молекулы называется рекомбинацией.

Несамостоятельным называется газовый разряд, обусловленный носителями тока, возникающими в результате внешних воздействий, не связанных с наличием электрического поля в газе.

Самостоятельным называется газовый разряд, в котором носители тока возникают в результате действия электрического поля, созданного в газе.

2. Несамостоятельный газовый разряд

Обозначим

∆ni - число пар ионов, возникающих в 1 секунду в единице объема в результате внешнего воздействия,

∆n r - число пар ионов, рекомбинирующих в 1 секунду в единице объема, n + , n − - концентрация положительных и отрицательных ионов.

Величина ∆nr зависит от концентрации ионов

∆nr = r n+ n− ,

где r - коэффициент пропорциональности. Пусть в газе выполняется условие

n + = n − = n = const . ( )

Условие ( ) обеспечивает состояние динамического равновесия. Для выполнения ( ) необходимо, чтобы число ионов, возникающих в 1 секунду в единице объема было равно числу ионов рекомбинирующих в 1секунду в единице объема, т.е.

∆ni = ∆nr ,

115

∆ni = ∆nr = r n+n− = r n2 , n = ∆rni .

Пусть на электроны подано постоянное напряжение. Под его действием ионы движутся в поле, создавая электрический ток. Когда ион достигает соответствующего электрода, то происходит его нейтрализация и такой ион уже не может участвовать в создании электрического тока.

Обозначим

∆n j - число пар ионов в единице объема, попадающих в 1 секунду на электро-

ды.

В этом случае условие динамического равновесия имеет вид

∆ni = ∆nr + ∆n j .

Запишем для плотности тока в газе

j = (q0+n +µ+ + q0− n −µ− )E .

Пусть в газе выполняются условия

q0+ = q0− = q0 ,

n + = n − = n .

Тогда

j = q0 n(µ+ +µ− )E .

Здесь µ+ ,µ− - подвижности положительных и отрицательных ионов

µ+ =	U+		, µ− =	U −	.
	E
Подставим значение n				E
j = q0	∆ni (µ + + µ − )E .
	r

Различают случаи слабого и сильного поля.

Электрическое поле называется сильным, если практически все носители достигают электродов, не успевая рекомбинировать.

При этом

116

∆n r << ∆n j .

Следовательно

∆n i = ∆n r + ∆n j , ∆n i = ∆n j .

Обозначим I - сила тока в цепи,

l - расстояние между электродами, S - площадь каждого электрода.

Сила тока равна заряду, переносимому в единицу времени, следовательно

I = q0 ∆n j Sl , j = SI = q0 ∆n j l , ∆n j = qj0l .

Подставим в ( )

∆ni = qj0l ,

j = q0 ∆ni l . ( )

Плотность тока ( ) обусловлена всеми ионами, порождаемыми данным ионизатором. Следовательно, она максимальна при данной интенсивности ионизатора и расстоянии между электродами l .

Величина ( ) называется плотностью тока насыщения

jнас = q0∆ni l .

Зависимость j от E представлена на рисунке.

3. Самостоятельный газовый разряд

При достижении некоторого значения напряженности E начинается область резкого возрастания тока.

Электроны, порождаемые внешним ионизатором, успевают разогнаться в электрическом поле до энергии достаточной для того, чтобы при столкновении с молекулой, вызвать ее ионизацию. Возникающие при этом электроны в свою очередь вызывают ионизацию. Таким образом, происходит лавинообразное расположение ионов и усиление тока.

117

При дальнейшем увеличении E ионизацию могут вызвать не только электроны, но и ионы обоих знаков.

В этом случае процесс превращается в самостоятельный газовый разряд. Укажем основные процессы, приводящие к появлению носителей тока

при самостоятельном разряде:

а) столкновение электронов с молекулами; б) столкновение ионов с молекулами;

в) фотоионизация – ионизация молекулы при поглощении фотона электромагнитного излучения. Фотоны в свою очередь возникают при столкновении ионов с быстрыми электронами; г) испускание электронов поверхностью электродов: термоэлектронная эмис-

сия, вторичная электронная эмиссия, автоэлектронная эмиссия.

4. Газоразрядная плазма

Плазмой называется газ в сильно ионизированном состоянии, при котором суммарный заряд частиц в каждом элементарном объеме равен нулю.

Плазма представляет собой особое состояние вещества. Плазма, возникающая вследствие высокой температуры вещества, называется высокотемпературной.

Плазма, возникающая при газовом разряде называется газоразрядной плазмой.

Электроны в плазме участвуют в двух движениях: это хаотическое с некоторой средней скоростью υ и упорядоченное движение со средней скоро-

стью U . Расчет и опыт показывает, что

U << υ .

Из опыта известно также, что электроны в газоразрядной плазме имеют максвелловское распределение по скоростям. Концентрация носителей тока в плазме очень велика.

При этом

µэл ≈103 .

µкон

Поэтому ток в плазме создается в основном электронами.

Электрический ток в вакууме

Электрический ток в вакууме может существовать, например, если в вакууме присутствуют электроны.

Рассмотрим ток между двумя плоскими электродами. Электрод в токе x = 0 является источником электронов и называется катодом. Другой электрод называется анодом.

118

Обозначим

d - расстояние между катодом и анодом,

ϕ(0)= 0 - потенциал катода,

ϕ(d)= U - потенциал анода,

ϕ(x) - потенциал в точке x ,

n(x) - концентрация электронов. Запишем уравнение Пуассона

d2ϕ			= −		ρe		,
dx 2
					ε0
ρe = (−e)n ,
	d2ϕ		=	en		.		(1)
	dx 2
				ε0

Обозначим

V - скорость упорядоченного движения электрона в электрическом поле. Запишем

mэ2V2 = eϕ . (2)

Плотность тока в этой же точке

j = enV .

(3)

Граничные условия

ϕ(0)= 0 , ϕ(d)= U .

Решение уравнений (1)−(3) с граничными условиями дает результат

3

j = βU 2 ,

1

β= 4ε0 2l 2 .

9d2 me

Полученное выражение называется законом «трех вторых». Этот закон определяет нелинейную связь между силой тока и приложенным напряжением.

119

Расчет дает для потенциала зависимость, график которой представлен сплошной линией. Пунктиром показан ход зависимости в отсутствие электронов в области между электродами.

Литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1989.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. – М.: Наука, 1985.

3.Матвеев А.Н. Курс общей физики. – М.: Высшая школа, 1989.

120