03_Электричество

∂2ϕ	+	∂2ϕ	+	∂2ϕ	= 0 .
∂x 2		∂y2		∂z2

В общем случае

ϕ=ϕ(x, y,z),

ρ= ρ(x, y,z).

Для нахождения потенциала из уравнения Пуассона или уравнения Лапласа необходимо задать т.п. граничные условия, т.е. значение потенциалов на некоторых поверхностях.

Потенциал поля двух параллельных разноименно заряженных пластин

Две параллельные бесконечно большие пластины заряжены равномерно разноименными зарядами, равными по модулю.

Обозначим ϕ+ - потенциал положительной пластины,

ϕ− - потенциал отрицательной пластины,

d - расстояние между пластинами.

Запишем уравнения Лапласа для области между пластинами и граничные условия.

Очевидно, что ϕ зависит только от расстояния x , отсчитываемое от положительной пластины

		ϕ =ϕ		(x), 2 =					d2	,
				2ϕ = 0 ,					dx2
					d2ϕ		= 0 ,
					dx2
		ϕ(0)=ϕ+ , ϕ(d)=ϕ− ,
d dϕ				,		dϕ			, c1 =const ,
			= 0					= c1
						dx
dx dx
		dϕ = c1dx , ∫dϕ = ∫c1dx ,
		ϕ = c1x + c2 ,						c2 =const ,

41

ϕ = с1x + с2

(d)=ϕ

,

ϕ(0)=

ϕ

+

, ϕ

−

x=0 , ϕ+ = c2 ,

c2

=ϕ+ ,

x=d , ϕ−

= с1d +ϕ+ , c1

=

ϕ− −ϕ+

,

d

ϕ

ϕ

−ϕ

=

−

d

+

x +ϕ+ ,

ϕ =ϕ+

ϕ

−ϕ

−

+

d

− x .

Обозначим

(ϕ+ −ϕ− )= U ,

где U - разность потенциалов положительной и отрицательной пластин или напряжение между пластинами

ϕ =ϕ+ − Ud x .

Найдем напряженность электростатического поля между пластинами

E=-gradϕ , gradϕ = ddxϕ ri ,

	r	dϕ r		,		dϕ	,		dϕ		,
	E = −		i		Ex = −			E =
		dx				dx			dx

ddxϕ = − Ud , Ex = Ud .

Получим Ex > 0 , следовательно, вектор E и силовые линии направлены от

положительной пластины к отрицательной.

Модуль напряженности электростатического поля между пластинами ра-

вен

E = Ud , мВ .

Эта формула справедлива и в отсутствие пластин, но только для однородного электростатического поля.

42

В этом случае

U =ϕ1 −ϕ2 ,

где ϕ1 и ϕ2 - потенциалы двух эквипотенциальных поверхностей, причем ϕ1 >ϕ2 ,

d - кратчайшее расстояние между этими же эквипотенциальными поверхностями.

Электрический диполь

Электрическим диполем называется система из двух одинаковых по величине разноименных зарядов жестко связанных между собой и находящихся на малом расстоянии друг от друга.

Прямая, проходящая через оба заряда диполя, называется осью диполя. Пусть l - расстояние между зарядами диполя.

Введем вектор rl , модуль которого равен расстоянию между зарядами, а направлен вектор вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному.

Электрическим моментом диполя называется вектор, равный p=qr l , p=q l , Кл м.

Здесь q - положительный заряд диполя.

Вычислим потенциал электростатического поля в некоторой точке M находящейся на большем расстоянии r от диполя r>>l .

Положение точки M определяется также углом θ между радиусом – вектором, проведенным в эту точку и осью диполя.

43

Запишем

1

(

-q

)+

1

q

q

ϕ =

=

r1-r2

,

4π ε

r1

4π ε

r2

0

0

4π ε0 r1r2

r ≈ r ≈ r , r r r2 ,

1

2

1

2

r1 = r +

l

cosθ,

r2

= r −

l

cosθ ,

2

2

l

l

= lcosθ,

r1 − r2

= r +

cosθ

−

r −

cosθ

2

2

ϕ =

q

lcosθ

=

qlcosθ

,

4πε0

r2

4πε0 r2

ql=p ,

ϕ =

1

pcosθ

.

4πε0

r2

Пусть напряженность поля, создаваемого диполем в некоторой точке M r

равна E . Расстояние до этой точки от диполя равно r . Ось диполя и направление на точку образуют угол θ.

r

r Разложим вектор E на две составляющие

Er - составляющая параллельная радиусу - вектору, r проведенному из диполя в точку M ,

44

r

Eθ - составляющая перпендикулярная вектору r и вектору E . Очевидно, что

E = Er

+ Eθ ,

E =

Er2 + Eθ2 .

Пусть точечный заряд q0 совершает элементарное перемещение вдоль

радиуса - вектора rr . Обозначим это перемещение drr

, причем dr =dr .

Запишем очевидное соотношение

r

r

r

r

r

r

Edr cosα=q

E

dr ,

dA=F dr =q

0

Edr =q

0

r

r

0

r

r

dA = −q0dϕ ,

q0 Er dr = −q0dϕ ,

Er

= −

dϕ

,

Er

= −

∂ϕ

.

dr

∂r

После дифференцирования, получим

d

1

1

2pcosθ

Er = −

pcosθ

=

,

dr

r

2

4πε0

r

3

4πε

0

Er =

1

2pcosθ

.

4πε0

r3

Теперь будем перемещать q0

в направлении, перпендикулярном r . Эле-

ментарное перемещение обозначим drr

r

r

Θ

r

= q0 Edrθcosβ = q0 Eθdrθ ,

dA = F drθ = q0 Edrθ

drθ = rdθ,

dA = q0 Eθrdθ,

dA = −q0dϕ ,

q0 Eθrdθ = −q0 dϕ ,

Eθ

= −

dϕ

,

Eθ

= −

∂ϕ

,

rdθ

r ∂θ

Eθ

=

1

psinθ

,

4πε

0

r3

E =

1

p

4cos2θ+sin

2θ =

1

p

1+3cos2θ ,

4πε0

r3

1

p

4πε

0

r3

E =

1 +3cos2θ .

При θ = 0

4πε0

r3

получим напряженность поля на оси диполя

E

=

1

2p

.

0

4π ε0

π

r3

При θ =

получим напряженность поля в направлении, перпендикуляр-

2

ном оси диполя.

1

p

E =

.

4π ε0

r3

45

Диполь в электрическом поле

1. Сила, действующая на диполь

Пусть диполь находится в неоднородном электрическом поле.

	r	Обозначим
		- сила, действующая на положительный заряд диполя,
	F+
	r	- rсила, действующая на отрицательный заряд диполя,
	Fr-
	E+ , E- - напряженности внешнего поля в точках, где расположены положитель-
	ный и отрицательный зарядыrдиполя.
		Результирующая сила	F , действующая на диполь равна,
							r	,
					F=F +F
			F+		r	+	-		r
				=+qE+		,	F-	=-qE-
			r	r	r			r	r
		r	F=qE+		-qE	- =q(E+			-E- ) .
			и E-	и запишем
		Изобразим векторы E+
						r	r	+ ,
				E-r+∆E=Er
			∆E=E+ -E- ,					(*).

Разность ( )	есть приращение ∆E вектора напряженности электрического
r		r
поля E на отрезке равном длине диполя l в направлении вектора		l .

Вследствие малости отрезка l можно записать

46

	r r r	∆E		∂E	l ,
	∆E = E+ − E− =		l =
		l		∂l

Fr = q∆Er = ql ∂∂El = p ∂∂El , p = ql ,

F = p ∂∂El . ( )

Входящая в выражение ( ) производная называется производной векто-

ра по направлению. Знак частной производной указывает, что она вычисляется по определенному направлению.

Для проекций силы на оси декартовой системы координат можно запи-

сать

F =p	∂E	x	, F =p	∂Ey	, F =p	∂E	z	.
x	∂l		y	∂l	z	∂l

Пусть внешнее поле будет однородным

E=const ,

∂∂El = 0 ,

F=0 .

В однородном электрическом поле результирующая сила, действующая на диполь, равна нулю.

2. Момент сил, действующих на диполь

Рассмотрим поведение диполя во внешнем электрическом поле в системе, связанной с центром масс диполя (точка С).

Найдем момент внешних сил относительно центра масс (точки С).

	M = M+ + M− = [rr+F+ ]+[rr−F− ]= [rr+qE+ ]−[rr−qE− ],
где	rr , rr - радиусы – векторы зарядов +q и -q относительно точки C .
	+ -
	При достаточно малом расстоянии между зарядами можно полагать, что
	r	r
	E+ ≈ E-	≈ E ,
	M = q[(rr+ − rr− )E],
	rr+ − rr−	= l ,
	M = q[lE]= [qlE]= [prE],

M = [pr×E],

47

M = pEsinα,

где α- угол между векторами электрического момента диполя и напряженно-

стью внешнего поля E .

Момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент p установился по направлению внешнего поля E .

3. Энергия диполя в поле

Энергия диполя в поле во внешнем электростатическом поле равна сумме потенциальной энергии υ+ положительного заряда и υ− отрицательного заряда

υ= υ+ + υ− ,

υ+ = q+ϕ+ ,

υ− = q−ϕ− ,

υ= q+ϕ+ + q−ϕ− = qϕ+ −qϕ− = q(ϕ+ −ϕ− ),

где ϕ+ , ϕ− - потенциал внешнего поля в точках расположения зарядов + q и −q .

При малой величине l можно записать

ϕ+ −ϕ− = ∆ϕ =

∆ϕ

l =

∂ϕ

l ,

∂ϕ

l

∂l

где

- производная потенциала по направлению вектора l

∂l

∂ϕ

υ = ql

,

∂l

ql = p , El = −

∂ϕ

,

∂ϕ

= −El ,

∂l

∂l

где El

υ = −pEl ,

- проекция вектора E на направление вектора l или p .

Далее запишем

pEl = pEcosα = pr E , υ = −pr E , υ = −pEcosα.

где α - угол между векторами pr и E .

48

Диполь имеет минимальную энергию в положении устойчивого равновесия, когда pr ↑↑ E

α= 0 , cosα =1 ,

υмин = −pE .

49

Глава 2. Электрическое поле при наличии диэлектриков

Диэлектриком называется вещество, в котором электрические заряды, входящие в состав молекул диэлектрика под действием электрического поля могут смещаться на малые (атомные) расстояния в пределах молекул, но не могут перемещаться на большие расстояния.

Поляризация диэлектрика

Диэлектрик состоит из молекул, электрический заряд которых равен ну-

лю

qм = 0 .

Такие молекулы называют электрически нейтральными. В то же время молекула содержит как положительные, так и отрицательные заряды, следова-

тельно

qм = q(м+) + q(м−) = 0 .

В зависимости от распределения электрических зарядов внутри молекулы различают полярные и неполярные молекулы.

Полярными называются молекулы, обладающие в отсутствие внешнего электрического поля дипольным электрическим моментом.

Молекулы, не имеющие дипольный электрический момент в отсутствие внешнего электрического поля, называются неполярными.

Диэлектрик с полярными молекулами называется полярным диэлектриком. Диэлектрик с неполярными молекулами называется неполярным диэлектриком.

Выделим в диэлектрике объем V , в котором содержится большое число молекул N .

Пусть все молекулы одинаковые и полярные. Обозначим дипольный электрический момент i −й молекулы pi . Очевидно, что модуль дипольных электрических моментов молекул имеет одно и то же значение, но направление моментов различно. Сложим дипольные электрические моменты всех молекул в объеме V и разделим эту величину на объем V .

		N	r
	Pr =	∑pi		,	Кл м	=	Кл	. ( )
		i=1
		V			м3		м2

50