03_Электричество

При перемещении сегнетоэлектрика во внешнее электрическое поле происходит как ориентация дипольных моментов, так и изменение размеров и границ самих доменов.

4. Пьезоэлектрики

Пьезоэлектриками называются кристаллические диэлектрики, по поверхности которых при деформациях возникают электрические заряды.

Пьезоэлектрическими свойствами обладают только ионные кристаллы. Кристаллическую решетку в этом случае можно рассматривать как две подрешетки: положительную и отрицательную, состоящие из положительных и отрицательных ионов.

Электрические заряды на поверхности возникают в том случае, если при воздействии внешних сил подрешетки деформируются в разной степени. Между разноименно заряженными поверхностями возникает разность потенциалов, которую можно измерить.

71

Глава 3. Электростатическое поле при наличии проводников

Под проводниками будем понимать металлические тела (или металлы). В металлах имеются т.и. свободные электроны, которые могут переме-

щаться на любые расстояния в пределах всего объема металла под действием сколь угодно малой силы. В обычном состоянии в отсутствие электрического поля электроны равномерно распределены по объему так, что суммарный заряд электронов и положительных ионов в любом физически малом объеме металла равен нулю.

qV = qэ + qа = 0 .

Электростатическое поле внутри и снаружи проводника

Из опыта известно, что напряженность электростатического поля внутри проводника всегда равно нулю

		Eвнутри = 0 .
	r	Поместим металлический образец во внешнее электростатическое поле
		. Под его действием электроны металла очень быстро переместятся против
	E0

вектора E0 . В результате внутри проводника появляется поле, напряженность E′ которого направлена против вектора E0 .

При этом оказывается, что

E = E0 + E′ = 0 .

72

В тонких приповерхностных слоях проводника появляются избыточные заряды.

Разделение электрических зарядов в веществе под действием электрического поля называется электростатической индукцией, а заряды, возникающие при этом, называются индукционными.

Запишем для области внутри проводника:

E = 0, ρ = 0,

divEr = ρ ,

ε0

E(x, y,z)= 0 , ρ(x, y,z)= 0 .

Внутри проводника избыточные заряды отсутствуют. Если проводник заряжен, то заряд находится не его поверхности.

Избыточный заряд может появиться только в очень тонком слое провод-

ника.

Запишем для точек внутри проводника.

E = −gradϕ ,

E = 0 , gradϕ = 0 , ϕ = const .

Все точки проводника, включая и его поверхность, имеют один и тот же потенциал.

Потенциал любой точки проводника называется потенциалом проводни-

ка.

Пусть проводник находится во внешнем электрическом поле. Поскольку поверхность проводника эквипотенциальна, то силовые линии вектора E перпендикулярны поверхности проводника в любой его точке

E = En , Eτ = 0 .

Линия напряженности электростатического поля вблизи поверхности проводника направлена перпендикулярно поверхности в каждой ее точке.

Пусть заряженный проводник находится в однородном диэлектрике с проницаемостью ε.

73

Построим прямой цилиндр как показано на рисунке и запишем для векто-

ра D

∫D dS = q , D = ε0εE ,

r	Sr	r	r	r	r
∫D	dS +	∫D	dS + ∫	D dS = τ∆S ,
∆S(диэл)		∆S(пров)	Sδ

где τ - поверхностная плотность заряда

h → 0, Sδ → 0, D(пров)= 0 ,

D dS = Dn dS , ∫Dn dS = τ∆S,

∆S(диэл)

Dn ∆S = τ∆S ,

Dn = τ,

ε0εEn = τ, En = ετ0ε .

Итак, вне проводника

D = Dn = ετ0 ,

E = En = ετ0 ε .

Замкнутая проводящая оболочка

Рассмотрим заряженный проводник, из которого удалена внутренняя часть. Такой проводник называется проводящей оболочкой.

Проведем поверхность S , охватывающую полость и целиком проходящую в проводнике.

74

Запишем теорему Гаусса

r	r	q	,
∫E dS =		ε0
S

E = 0, q = 0 .

Однако q представляет суммарный заряд внутри поверхности S .

Предположим, что на поверхности полости имеются заряды разных знаков, так что выполняется условие

q = 0 .

Проведем контур L , как показано на рисунке: в полости часть контура совпадает с силовой линией. Запишем условие потенциальности электростатического поля

∫E dl = 0 . ( )

L

Это условие справедливо для любого контура, в том числе и для выбранного. Однако в этом случае выражение ( ) не будет равно нулю за счет участка контура внутри полости. Следовательно, предположение о том, что на поверхности полости имеются заряды, оказывается невозможным.

Внешние электрические заряды, в том числе и на поверхности проводника не создают в полости внутри проводника электрическое поле.

Электрическое поле внутри проводящей оболочки всегда равно нулю.

Поместим внутрь полости заряд q .

75

( )

Обозначим

S - поверхность полости.

Пусть проводник не заряжен, т.е. отсутствует избыточный заряд. Запишем для этой поверхности

r	r	1	∑qi .
∫E dS =
S		ε0 i

Если поверхность проходит в проводнике, то

E = 0 ,

∑qi = 0 . ( )

i

для выполнения равенства ( ) необходимо, чтобы на поверхности находился заряд qпов , такой что

∑qi = q + qпов = 0 ,

i

qпов = −q .

Проведем поверхность S , охватывающую весь проводник

r	r	1	∑qi .
∫E1	dS =
S		ε0 i
1

Так как проводник не заряжен, то

∑qi = q ,

i

∫E1 dS = q . ( )

S1

Отсюда следует, что в общем случае вне полости

E ≠ 0 .

Кроме того, выражение не зависит от местоположения зарядов q внутри полости.

Соединим внешнюю поверхность оболочки проводником с очень большим удаленным проводящим телом. Обычно таким телом является Земля, поэтому такое соединение называется «заземлением». Все заряды с внешней поверхности уйдут на бесконечность, и останется заряд внутри полости и на внутренней поверхности полости. Напряженность поля в среде окружающей оболочку будет равна нулю.

76

Метод изображений

Для нахождения электростатического поля в некоторой области достаточно решить уравнение Пуассона с граничными условиями

2ϕ = − ρ , Гр.Усл. ( )

ε0

известно, что уравнение ( ) с заданными граничными условиями имеет единственное решение. Этот факт называется теоремой единственности.

Теорема единственности позволяет искать решение задачи любым способом. Например, вместо поля данного искомого распределения зарядов можно рассматривать другое распределение зарядов при условии, что электрическое поле, создаваемое обоими распределениями будет одинаковым и, следовательно, единственным для данного распределения зарядов.

Поле точечного заряда хорошо известно. Можно подобрать такую систему точечных зарядов, суммарное поле которых удовлетворяет всем условиям задачи. Из теоремы единственности следует, что это поле является искомым решением.

77

Пусть точечный заряд (+ q) находится на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости. Вследствие электростатической индукции на поверхности плоскости появляются отрицательные заряды (−qпл ). Силовые линии E перпендикулярны плоскости, т.к. она эквипотенциальна.

Пусть имеются два точечных заряда (+ q) и (−q), расположенных на расстоянии 2l друг от друга. Проведем эквипотенциальную поверхность ϕ0 = 0 ,

как показано на рисунке. Расчет показывает, что электростатическое поле двух зарядов q и (−q) над поверхностью точно такое же, как электростатическое поле создаваемое зарядом q и проводящей плоскостью. В то же время решить задачу о нахождении поля двух точечных зарядов гораздо легче.

Заряд (−q), расположенный за плоскостью на таком же расстоянии l , что и заряд q называется изображением заряда q . Способ решения называется методом изображений.

Электрическая емкость уединенного проводника

Проводник называется уединенным, если можно пренебречь электрическим полем тел, окружающих проводник.

78

Сообщим проводнику заряд q , при этом проводник приобретает потенциал ϕ .

Положительная скалярная величина, равная отношению электрического заряда проводника к его потенциалу называется электрической емкостью уединенного проводника

С = ϕq , КлВ = Ф.

Найдем электроемкость проводящего шара радиусом R в однородной диэлектрической среде с проницаемостью ε. Сообщим шару заряд q .

Потенциал шара равен

ϕ = 4π1ε0ε Rq .

Электрическая емкость шара равна

C = ϕq = 4πε0 εR ,

C = 4πε0 εR .

Очевидно, что заряд уединенного проводника равен q = Cϕ .

Электрическая емкость конденсатора

Конденсатором называется система из двух проводников с одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами. Проводники при этом называются обкладками конденсатора.

79

Заряд положительной обкладки называется зарядом конденсатора. Обозначим

ϕ1 - потенциал положительной обкладки. ϕ2 - потенциал отрицательной обкладки.

Разность потенциала положительной и отрицательной обкладок конденсатора называется напряжением между обкладками.

U =ϕ1 −ϕ2 , В.

Положительная величина, равная отношению заряда конденсатора к напряжению между обкладками называется электрической емкостью конденсатора

С= ϕ1 −qϕ2 , Ф

С= Uq .

Заряд конденсатора равен

q = CU .

1. Электрическая емкость сферического конденсатора

Сферический конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами радиусами R1 и R 2 (R1 < R 2 ). Область между обкладками заполнена диэлектриком с проницаемостью ε.

Пусть внутренняя сфера имеет заряд q . Запишем

E = − ddrϕ , −dϕ = Edr ,

80