03_Электричество

E =

q

,

4πε0εr 2

ϕ

q

R

dr

− ∫2 dϕ =

∫2

,

4πε0

ε

2

ϕ

R

1

r

1

−(ϕ2 −ϕ1 )

=

q

−

1

R 2

,

4πε0 ε

r

R1

q

1

1

,

ϕ1 −ϕ2

=

−

R1

4πε0ε

R 2

q

1

1

С =

= 4πε0 ε

−

ϕ1

−ϕ2

.

R1

R 2

2. Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

Обкладки образованы двумя металлическими коаксиальными цилиндрами радиусами R1 и R 2 и образующей длиной l . Между обкладками находится диэлектрик с проницаемостью ε.

		E = −				dϕ	,
						dr
− ∫dϕ = ∫Edr ,
E =		λ				,	λ =		q	,
		2πε		0 εr					l
					q
	E =							,
			l2πε0 εr

81

ϕ

q

R

dr

∫2 dϕ =

∫2

,

l2πε0

ϕ

ε

R

1

r

1

ϕ1 −ϕ2 =

q

ln

R 2

,

2πε0εl

R1

C =

q

=

2πε0 εl

.

ϕ1

−

ϕ

2

ln

R 2

R1

3 Электрическая емкость плоского конденсатора

Обкладки плоского конденсатора - две плоские параллельные пластины, площадью S каждая. Расстояние между пластинами d . Между ними находится диэлектрик с проницаемостью ε.

Пусть обкладки заряжены с зарядами + q и −q и с поверхностной плотностью

τ = Sq , - τ = −Sq .

Между обкладками создается однородное электрическое поле напряженностью

E = ϕ1 −dϕ2 ,

82

E

=

τ

=

q

,

ε0ε

Sε0ε

ϕ1 −ϕ2

=

q

,

d

ε0 εS

C =

q

=

ε0εS

,

ϕ1

−ϕ2

d

C =

ε0εS

.

d

Соединение конденсаторов

1. Параллельное соединение

Напряжение на обкладках всех конденсаторов имеет одно и то же значе-

ние

U1 = U2 = ... = Ui = ... = UN = U .

Заряд конденсаторов равен

q = q1 + q2 +... + qi +... + q N .

Систему конденсаторов можно заменить одним конденсатором с напряжением U на обкладках и емкостью C , равной

N

C = ∑Ci .

i=1

83

2. Последовательное соединение

Все конденсаторы имеют одинаковый заряд q1 = q2 = ... = qi = ... = q N = q .

Систему конденсаторов можно заменить одним конденсатором, для которого

	1	N	1
		= ∑			,
	C
		=	C	i
		i 1

N

U = ∑Ui ,

i=1

C = C1 C2 . C1 + C2

84

Глава 4. Энергия электростатического поля

Энергия взаимодействия точечных зарядов

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов q1 и q2 . Пусть заряд q2 находится в начале декартовой системы координат. Положение заряда q1 определяется радиусом – вектором z . Пусть q1 медленно удаляется на бесконечно большое расстояние.

Силы поля при этом совершают работу:

r r

1

q q

2

rrdrr

∞

1

q q

q

q

2

1

∞

q

q

2

,

A1 = ∫F1dr

= ∫

1

= ∫

1 2

dr =

1

−

=

1

2

2

4πε0

r

r

r

4πε0

r

4πε0

r

r

4πε0 r

A1 =

1

q1q2

. ( )

4πε0

r

Свяжем систему отсчета с зарядом q1 и рассмотрим

аналогичное пере-

мещение заряда q2 .

Работа сил поля при этом равна

A2 = A1 .

Работа совершается силами электростатического поля за счет энергии, которая называется энергией взаимодействия точечных зарядов Wвз .

Wвз = A1 = A2 .

Запишем

1

1

1

q2

1

1

1

r

Wвз =

(A1

+ A2 )=

+ q2

q1

=

(q1ϕ1

+ q2ϕ2 )=

∑qiϕi ,

q1

2

2

4πε0

r

4πε0

r

2

2

i=1

где ϕ1 - потенциал поля в точке нахождения заряда q1 , созданный зарядом q2 , ϕ2 - потенциал поля в точке нахождения заряда q2 , созданный зарядом q1 .

Пусть имеется система N точечных зарядов. В этом случае

Wвз = 1 ∑N qiϕi ,

2 i=1

где ϕi - потенциал поля в точке, где расположен точечный заряд qi , создаваемый всеми остальными зарядами системы.

Очевидно, что

N

ϕi = ∑ϕik .

k=1 k≠i

85

ρ(x, y,z)

Потенциал ϕi равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в точке нахождения заряда qi всеми остальными зарядами системы.

Энергия взаимодействия непрерывного распределения зарядов

Пусть электрический заряд распределен в некотором объеме V , ограниченном поверхностью S с объемной плотностью и поверхностной плотностью τ(x, y,z). Разобьем все пространство на элементарные объемы dVi , а участки поверхности на элементарные кусочки dSj . Запишем:

dqi = ρi dVi , dq j = τjdSj ,

1

N

1

N j

1

N

1

N j

Wвз =

∑i

dqiϕi +

∑dq jϕj

=

∑i ρi dViϕi +

∑τjdSjϕj ,

2

2

2 i=1

j=1

2 i=1

j=1

Ni → ∞ ,

N j

→ ∞,

Wвз

=

1

∫ϕρdV +

1

∫ϕτdS ,

2

2 V

S

здесь ϕ =ϕ(x, y,z)- потенциал, создаваемый всеми зарядами в точке (x, y,z), где находится заряд с объемной плотностью ρ(x, y,z) или с поверхностной плотностью τ(x, y,z). Интегрирование проводится по всему объему и всей поверхности, где имеются заряды.

Энергия системы заряженных тел

Пусть имеется система N заряженных тел. Обозначим

Wвзi - энергия взаимодействия зарядов i -го тела со всеми зарядами системы, в

том числе и с зарядами самого i -го тела.

Wвзi = 12 V∫i ϕiρi dVi + 12 S∫i ϕi τi dSi .

Энергией системы заряженных тел или полной энергией электростатического поля называется величина равная сумме энергий взаимодействия тел системы

				N
				W = ∑Wвзi	,
				i=1
	N	1		N		1
	W = ∑i=1		V∫	ϕiρi dVi + ∑i=1			S∫ϕi τi dSi .
		2				2
			i				i

Здесь ϕi - потенциал создаваемый в точке (x, y,z) i -го тела всеми зарядами

данной системы, в том числе и зарядами самого i -го тела.

86

Энергия системы заряженных проводников

В заряженных проводниках избыточные заряды находятся только на поверхностях проводника

τ(x, y,z)= 0 .

Полная энергия системы N заряженных проводников равна

N

1

1

N

1

W = ∑

∫

ϕiρi dVi +

∫

ϕi τi dSi

= ∑

∫

ϕi τi dSi .

2

2

2

i=1

i=1

V

S

i

S

i

i

Для любого проводника

ϕi

= const ,

N

1

N

1

W = ∑i=1

ϕi

∫τi dSi = ∑i=1

ϕi qi .

2

2

Si

Здесь

ϕi - потенциал i -го проводника, qi - заряд i -го проводника. Окончательно заишем

W= 1 ∑N qiϕi . 2 i=1

Энергия уединенного заряженного проводника

N =1 , W = q2ϕ .

Запишем

q = c ϕ , ϕ = qc ,

W = qϕ2 2 ,

W = q2 . 2c

Здесь

q,ϕ, c - заряд, потенциал, электрическая емкость проводника.

Энергия заряженного конденсатора

N = 2 ,

87

q1 = q , q2 = −q ,

W =

1 ∑qiϕi = 1

ϕ1 −ϕ2

= U ,

(q1ϕ1 + q2ϕ2 )= 1 (qϕ1 − qϕ2 )= q(ϕ1 −ϕ2 ),

N

2 i=1

2

2

2

W =

qU

,

q

2

q = c U ,

U =

,

c

W =

cU2

,

2

W =

q2

.

Здесь

2c

q, U, c - заряд конденсатора, напряжение на обкладках конденсатора, электрическая емкость конденсатора.

Полная энергия электростатического поля

Пусть заряд распределен по объему V с объемной плотностью ρ. Полная энергия поля зарядов равна

W = 1 ∫ϕρdV . 2 V

Запишем

divD = ρ,

1 r

W = 2 V∫ϕdivDdV .

Известна формула

div(ϕD)=ϕdivD + Dgradϕ .

Отсюда

ϕdivD = div(ϕD)− Dgradϕ = div(ϕD)+ (−gradϕ)D = div(ϕD)+ E D ,

		1		r		1		r r
	W =		∫div(ϕD)dV +				∫E DdV .
		2 V				2 V
	По теореме Остроградского – Гаусса преобразуем первый интеграл
		∫div(ϕD)= ∫ϕD dS ,
		V		S
	где S - замкнутая поверхность, охватывающая объем V .
	W =		1	r	1		r	r
				∫ϕD dS +		∫E		DdV .
			2	S	2 V

Пусть заряды расположены в конечной области пространства. Проанализируем выражение для w на далеких расстояниях r от зарядов.

88

При удалении поверхности интегрирования S на бесконечность первый интеграл стремится к нулю. Следовательно, имеем

	1	r r	( )
W =		∫E DdV .
	2 V

Объемной плотностью энергии называется величина w = dwdV , Джм3 .

Здесь

dw - энергия, заключенная в объеме пространства dV . Запишем

dw = wdV , w = ∫wdV . ( )

V

Сравнивая ( ), получим

w = E2D , ( )

D = ε0εE ,

w = ε0 ε2E2 . ( )

Здесь

w - объемная плотность энергии электростатического поля.

Энергия диэлектрического тела во внешнем электрическом поле

Пусть электрическое поле создается фиксированными зарядами, распо-

ложенными в вакууме. Запишем для вакуума r

E0 , D0 = ε0 E0 ,

		1	r	r
W0	=		∫E0	D0dV ,
		2 V

где W0 - энергия электрического поля в объеме V . Предположим, что этот объем заполняется диэлектриком с проницаемостью ε. Теперь в диэлектрике

r

E

0

, D

= D0 ,

E =

= ε0εE = ε0 E0

ε

1

r r

W =

∫E DdV .

Энергия диэлектрика равна

2 V

1

r r

r

r

Wd = W − W0 , Wd =

∫(E D

− E0

D0 )dV ,

2 V

(E D −rE0r D0 )=rErε0 E0 − E0 ε0 E0 = (E − E0 )ε0 E0 = (E −εE)ε0 E0 = −(ε −1)Eε0 E0 = = −ε0 κE E0 = −P E0 ,

1 r r

Wd = − 2 V∫P E0dV .

89

Глава 5. Постоянный электрический ток

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Заряженные частицы, упорядоченное движение которых приводит к электрическому току, называется носителями заряда.

Носитель заряда характеризуется зарядом q0 , скоростью упорядоченного r

движения U и массой m .

Сила тока

Пусть через некоторую поверхность S за время dt переносится суммарный положительный заряд dq .

Силой тока называется положительная величина, равная

	I =	dq	,	Кл	= А.
		dt		с

Электрический ток характеризуется направлением.

За направление протекания тока принимается направление движения носителей заряда положительного знака.

Ток, направление и сила которого не изменяется со временем, называется постоянным током.

I = const .

Для постоянного тока справедливо соотношение dq = Idt ,

q = ∫t Idt = It ,

0

I = qt , I = const .

Тело, в котором существует электрический ток, называется проводником. Рассмотрим проводник, по которому течет постоянный ток. Пусть про-

водник имеет переменное сечение.

90