03_Электричество

где (-dϕ) - убыль потенциала на элементарном перемещении.

Потенциальность электростатического поля

Проведем в электростатическом поле плоский замкнутый контур произвольной формы и обозначим его L .

Пусть из некоторой начальной точки 1 контура точечный заряд перемещается вдоль контура и оказывается в конечной точке 2, совпадающей с начальной точкой.

drl - элементарноеОбозначим перемещение заряда вдоль контура.

При элементарном перемещении над точечным зарядом q совершается элементарная работа r r

r

dA=F dl=qE dl ,

где E - напряженность электростатического поля в пределах элемента контура

drl .

Работа при перемещении по замкнутому контуру равна

A = ∫F dl = q∫E dl .

	r	L	L
		называется циркуляцией вектора E вдоль контура L .
	Величина ∫E dl
	L
	Запишем	A=q (ϕ1 −ϕ2 ),
			ϕ1 =ϕ2 ,
			A=0 ,
		q∫E dl = 0 ,
			L
		∫E dl = 0 . ( )
		L		r	по лю-
	В электростатическом поле циркуляция вектора напряженности
				E

бому замкнутому контуру равна нулю.

Условие ( ) есть необходимое и достаточное для того, чтобы поле было

электростатическим.

В математике известна теорема Стокса

31

∫ar dl = ∫rotar dS ,

L S

где ar - вектор, L - контур в поле вектора a , S - произвольная поверхность, ограниченная контуром L , rot ar- ротор вектора a .

В декартовых координатах

ri

rj

kr

r

∂a

∂ay

r

∂a

∂a

r ∂ay

∂a

r

∂

∂

∂

rot a=

= i

z −

− j

z

−

x

+k

−

x .

∂x

∂y ∂z

∂z

∂x

∂y

∂x

∂z

∂y

ax

ay

az

Для электростатического поля:

∫E dl =∫rotE dS,

L

S

∫rotE dS = 0 .

S

Для того, чтобы это равенство было справедливо для любой поверхности, необходимо, чтобы

rot E=0 .

Итак, для электростатического поля имеем

∫E dl = 0 ,

L

rot E=0 . ( )

Поле, удовлетворяющее условию ( ), называется потенциальным. Элек-

тростатическое поле является потенциальным. Потенциальность электростатического поля обусловлена тем, что кулоновские силы консервативны.

Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля

Точечный заряд q находится в точке (x,y,z) электростатического поля. Потенциальная энергия заряда равна

υ=qϕ(x,y,z) .

Сила, действующая на заряд со стороны поля равна

r

F=qE(x,y,z) .

С другой стороны

F= −grad υ = −grad (qϕ), F = −q grad ϕ(x, y,z),

32

q E(x, y,z)= −q gradϕ(x, y,z),

E = −gradϕ ,

E=Ex i+Ey rj+Ezkr ,

gradϕ=

∂ϕ r

∂ϕ r

∂ϕ r

∂x

i +

∂y

j +

∂z

k .

Отсюда

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

Ex = −

, E y

= −

,

Ez = −

,

∂x

∂y

∂z

E = E2x + E2y + Ez2 ,

E =

∂ϕ 2

∂ϕ

2

∂ϕ

2

∂x

+

∂y

+

.

∂z

Математические свойства потенциала

Из физического смысла потенциала, связи потенциала с напряженностью электростатического поля следует важное свойство потенциала.

Потенциал есть непрерывная и однозначная функция координат с конечными производными координатами.

Свойство непрерывности часто приходится использовать для определения неизвестных постоянных, возникающих при интегрировании уравнений при нахождении потенциала.

Пусть, например, в результате решения получены следующие функции для ϕ .

x ≤ a, ϕ1 (x)x ≥ a, ϕ2 (x) .

Из непрерывности потенциала следует, что

ϕ1 (a)=ϕ2 (a).

Эквипотенциальные поверхности

Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал.

ϕ(x,y,z)=const .

Пусть точечный заряд q совершает элементарное перемещение dl вдоль эквипотенциальной поверхности.

33

Элементарная работа, совершается над зарядом, равна dA = q(−dϕ) ,

ϕ = const , dϕ = 0 ,

dA = 0 .

С другой стороны,

dA = F dl = qE dl ,

где E - напряженность электростатического поля qE dl = 0 ,

q ≠ 0 , E ≠ 0 , dl ≠ 0 .

Отсюда следует, что

E dl , E dl = 0 .

Эквипотенциальная поверхность всегда перпендикулярна вектору напряженности (силовой линии электростатического поля).

Будем перемещать заряд q вдоль силовой линии на следующую эквипотенциальную поверхность:

ϕ + dϕ = const .

Запишем

qE dl = −qdϕ , E dl = −dϕ , E dl cosα = −dϕ ,

где α - угол между векторами E и dl	и он может быть равен 0 или π.
Пусть dϕ > 0 . Тогда E dl cosα < 0 ,	α = π.

В этом случае направление вектором dl и E противоположны и E направлен так, как показано на рисунке.

Пусть dϕ < 0 . Тогда E dl cosα > 0 , α = 0 .

В этом случае направления векторов dl и E совпадают.

34

Сформулируем вывод.

Вектор напряженности электростатического поля всегда перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям, проведенном в этом поле и направлен в сторону убывания потенциала.

Обычно эквипотенциальные поверхности проводят таким образом, чтобы разность потенциалов двух соседних поверхностей имела одно и тоже значение. При этом по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля.

Вычисление потенциалов электростатических полей

1. Равномерно заряженная сферическая оболочка

Заряд q равномерно распределен по поверхности сферической оболочки радиуса R . Эквипотенциальные поверхности имеют вид концентрических сфер, центр которых совпадает с центром оболочки.

Обозначим E - напряженность электростатического поля оболочки. Силовые линии представляют собой радиальные прямые проходящие че-

рез центр сферы O .

Проведем ось r , начало которой совпадает с центром O . Пусть точечный заряд q0 перемещается вдоль оси r между двумя эквипотенциальными поверх-

ностями с потенциалами ϕ и (ϕ +dϕ). Запишем для него

r r	= −q0dϕ ,	r	= −dϕ ,
q0 Edr		E dr
			35

E drcosα = −dϕ , Ecosα = Er ,

	Er dr = −dϕ , Er = −	dϕ	,
		dr

где Er - проекция вектора напряженности электростатического поля на направ-

ление вектора элементарного перемещения dr , а значит, и на направление оси

r .

Область r ≥ R .

В этом случае вектор E направлен вдоль оси r , в направлении этой оси, если заряд оболочки положительный и противоположно оси, если заряд отрицательный. Найдем проекцию вектора E на ось r .

q > 0,

,

Er

=

E

=

q

=

q

,

q

= q

4πε0 r2

4πε

0 r2

q < 0

q

-

q

q

,

Er = −

E

= −

=

=

.

q=-

q

4πε r2

4πε

r2

4πε r2

0

0

0

Итак

Er = 4πεq0 r2 ,

где q - заряд сферической оболочки. Подставим

q	dr = −dϕ ,
4πε0 r2

∫dϕ = − 4πqε0 ∫drr2 ,

ϕ= 4πqε0r +const .

Условие нормировки потенциала

r = ∞ , ϕ = 0 .

Отсюда

const=0 , ϕ = 4π1ε0 qr .

Область r ≤ R .

В этой области

E=0 , Er = 0 .

Следовательно,

0 = −dϕ , dϕ = 0 , ϕ = const , ϕ0 = const .

Используем условие непрерывности потенциала, найдем значение ϕ в точке r=R .

ϕ(R)= 4π1ε0 Rq .

36

Значение ϕ0 равно const везде, в том числе и на поверхности оболочки,

т.е.

ϕ0 (R)=const .

Из непрерывности потенциала запишем

ϕ0 (R)=ϕ(R),

ϕ0 (R )= 4π1ε0 Rq , ϕ0 = 4π1ε0 Rq .

Потенциал во всех точках внутри сферической заряженной оболочки имеет одно и то же значение, равное потенциалу оболочки.

2. Равномерно заряженный шар

Шар радиусом R заряжен равномерно с постоянной объемной плотностью заряда ρ .

Запишем формулу, полученную ранее

Er dr = −dϕ .

Область r ≥ R .

Er = 4πqε0r2 , q=ρ 43 π R3 ,

37

				q
						dr = −dϕ ,
			4πε0 r2
		∫dϕ = −				q	∫drr2 ,
						4π ε0
	ϕ =	1		q +const , const=0 ,
		4π ε0
				r

ϕ = 4π1ε0 qr ,

q=ρ 43 π R3 ,

ϕ(R )= 4π1ε0 Rq .

Область r ≤ R .

Er = 3ρεr0 ,

ρr	dr = −dϕ ,	∫dϕ=-	ρ		∫rdr ,
3ε0			3ε	0

ϕ = − ρr2 + const , 6ε0

ϕ(R)= −ρR 2 + const . 6ε0

Используем условия непрерывности потенциала

4

3

1

ρ 3

π R

= -

ρR2

+const ,

4π ε

0

R

6ε0

ρ R2

= -

ρR2

+const ,

3ε0

6ε0

const=

ρ R2

=

3ρR2

,

2ε0

6ε0

ϕ(r)= −

ρr2

+

3ρρ 2

,

6ε0

6ε0

ϕ(r)=

3ρR

2

r

2

ρR

2

r

2

−

=

−

2

2

1

3R

1

3R

.

6ε0

2ε0

3. Равномерно заряженный бесконечно длинный цилиндр.

Бесконечно длинный цилиндр радиуса R равномерно заряжен по боковой поверхности так, что линейная плотность заряда равна λ.

Поле цилиндра, как и поле тонкой нити, обладает радиальной симметрией.

38

Эквипотенциальные поверхности имеют вид коаксиальных (имеющих общую ось) цилиндров, ось которых совпадает с осью заряженного цилиндра.

Ось r перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям. Вектор напряженности электростатического поля направлен по оси, если λ>0 и противоположно оси, если λ<0 .

Область r ≤ R .

Внутри цилиндра заряд отсутствует и из теоремы Гаусса следует, что напряженность поля равна нулю

E=0 .

Запишем

Erdr=-dϕ ,

E=0 , Er =0 , −dϕ = 0 , ϕ = const =ϕ0 ,

ϕ =ϕ0 , ϕ(R)=ϕ0 .

Все точки внутри цилиндра, включая его поверхность, имеют один и тот же потенциал.

Область r ≥ R .

В таком случае, как и для нити

E =

λ

.

r

2πε0 r

равна

Проекция E на ось r

λ

Er =

,

2πε0 r

λ

dr = −dϕ ,

2πε0 r

λ

dr

∫dϕ = −

∫

,

2πε0

r

λ

ϕ = −

ln r + const ,

2πε

0

39

ϕ(R)= − 2πλε0 ln R + const .

Условие нормировки потенциала

ϕ(R)= 0 ,

0 = - 2πλε0 ln R+const , const= 2πλε0 ln R .

Подставляем в выражение для ϕ и получаем

ϕ = - 2πλε0 ln r+ 2πλε0 ln R , ϕ = - 2πλε0 ln Rr .

Из непрерывности потенциала получим

ϕ0 =ϕ(R)= 0 .

Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа

Запишем известные нам выражения

div E=r ρ ,

ε0

E = −gradϕ ,

div(−gradϕ) = ρ ,

ε0

−div gradϕ =		ρ		,
		ε0
div gradϕ = −		ρ	.
		ε0

Полученное выражение называется уравнением Пуассона. В случае, когда ρ=0 , оно переходит в уравнение Лапласа.

div gradϕ = 0 .

Вместо записи div grad используют следующее обозначение

2 =div grad , ( )

2ϕ = - ρ ,

ε0

2ϕ = 0 .

Выражение ( ) называется оператором Лапласа или лапласианом. В декартовых координатах

2	=	∂2	+	∂2		+	∂2		,
		∂x 2		∂y2
							∂z2
∂2ϕ	+	∂2ϕ	+	∂2ϕ		= −		ρ		,
∂x 2		∂y2		∂z2
								ε0

40