03_Электричество

Сумма в числителе имеет смысл суммарного дипольного электрического момента всех молекул, содержащихся в объеме V . Ее называют суммарным дипольным электрическим моментом молекул в объеме V .

Поделив не объем, получим дипольный электрический момент молекул в единице объема диэлектрика.

Дипольный электрический момент единицы объема диэлектрика называется поляризованностью и обозначается большой буквой P

Pr =	1 ∑pri , Кл2 .
		N
	V i=1 м

Теперь выясним, чему равно P . Очевидно, что если дипольные моменты молекул направлены беспорядочно, то

N r	, P = 0 .
∑pi = 0

i=1

Очевидно также и то, что если молекулы не имеют дипольного электрического момента (неполярные), то поляризованность также равна нулю

r	,	N r	, P = 0 .
pi = 0		∑pi = 0

i=1

Если в отсутствие внешнего электрического поля поляризованность диэлектрика равна нулю, то диэлектрик неполяризован.

Поместим неполяризованный диэлектрик во внешнее электрическое поле

r

напряженностью E0 .

Рассмотрим сначала полярные молекулы. Под действием внешнего поля дипольные моменты всех молекул располагаются вдоль вектора E0 . Обозначим дипольный электрический момент таких молекул p0 .

51

Найдем поляризованность диэлектрика

Pr =	1 ∑pri = 1 Npr0 = N pr0 = npr0 ,
		N
	V i=1			V			V
			P = npr			0 ,

где n = VN - средняя концентрация молекул.

Очевидно, что в этом случае

P ≠ 0 .

Теперь пусть молекулы неполярные. Под действием внешнего электрического поля E0 отрицательные заряды молекулы немного смещаются против на-

правления напряженности поля, а положительные смещаются по направлению поля. В результате каждая молекула приобретает дипольный электрический момент p0 .

При этом поляризованность диэлектрика равна

P = npr0 .

Процесс, в результате которого поляризованность диэлектрика становится отличной от нуля, называется поляризацией диэлектрика.

Поляризация диэлектрика с неполярными молекулами называется электронной, а поляризация диэлектрика с полярными молекулами называется ориентационной.

В результате поляризации молекулы диэлектрика создают свое электрическое поле E′, которое накладывается не внешнее поле E0 . Напряженность поля в диэлектрике оказывается равной

E = E0 + E′.

Поле E называется также локальным полем. Опыт дает, что для большинства диэлектриков выполняется закон

P = κε0 E ,

где – диэлектрическая восприимчивость, безразмерная положительная величина.

52

Поляризационные (связанные) заряды

Вследствие поляризации в точках приповерхностных слоях диэлектрика возникают избытки заряда одного знака.

Избыточный заряд возникающий в результате поляризации называется поляризационным или связанным зарядом и обозначается q′,(τ′,ρ′) .

Связанные заряды входят в состав молекул диэлектрика и не могут перемещаться на большие расстояния.

Заряды, находящиеся в диэлектрике, но не входящие в состав молекул называются сторонними или свободными и обозначаются q, (τ,ρ) .

Теорема Гаусса для поляризованности (вектора P )

Пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает часть диэлектрика.

При включении внешнего поля E0 происходит поляризация диэлектрика. Положительные заряды при этом смещаются на l+ в направлении поля, а отрицательные на l− в противоположном направлении.

Построим косой цилиндр с основанием dS параллельным участку поверхности S , образующей (l+ + l− ) совпадающей с направлением векторов E и, следовательно, P . Найдем электрический заряд dq′в , который выходит через элемент поверхности dS объема, ограниченного S при поляризации диэлектрика.

Обозначим ρ′+ ,ρ′− - объемная плотность связанных положительных и отрицательных зарядов.

53

Очевидно, что

Обозначим

dV+ ,dV− - объем части цилиндра. Запишем

dq′+ dq′−

ρ′+ = ρ′− .

=ρ′+dV+ = ρ′+dSl+cosα,

=ρ′−dV− = ρ′−dSl−cosα,

где α- угол между нормалью к dS и векторам P .

Перенос отрицательного заряда dq′− внутрь объема, ограниченного S эквивалентен переносу положительного заряда dq′− наружу. Следовательно,

dq′в = dq′+ + dq′− = ρ+ l + dScosα + ρ′− l−dScosα = ρ′+ (l+ + l− )dScosα.

Обозначим

l = l+ + l− ,

где l - расстояние между положительным и отрицательным зарядом в молекуле вследствие их смещения под действием поля.

dq′в = ρ′+l dScosα.

Обозначим

q - положительный заряд диполя,

n - концентрация молекул (диполей). Тогда

ρ′+ = nq ,

dq′в = n q l dScosα = np0dScosα = PdScosα,

54

dq′в = P dS.

Проинтегрируем по всей поверхности S q′в = ∫P dS.

S

Величина q′в есть заряд, вышедший из объема диэлектрика, ограниченного поверхностью S остается избыточный заряд противоположного знака q′,

равный

q′ = −q′в , q′ = −∫P dS,

S

∫P dS = −q′.

S

Поток поляризованности (вектор P ) через замкнутую поверхность, проведенную в диэлектрике, равен с обратным знаком (минусом) алгебраической сумме связанных зарядов в объеме диэлектрика, ограниченном этой поверхностью.

Это теорема Гаусса для вектора P в интегральной форме. r Дифференциальную форму теоремы Гаусса для вектора P легко полу-

чить, если разделить обе части равенства на объем, ограниченный поверхностью S и перейти к пределу

lim	1	r	r		−	q′	,
	∆V ∫S	P dS = lim
∆V→0			∆V→0			∆V

divP = −ρ′.

Дивергенция вектора P равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в данной точке.

Объемная плотность связанных зарядов

Запишем

∫P dS = −q′,

r S

P = κε0 E , κ = const , κε0 ∫E dS = −q′.

S

По теореме Гаусса для вектора E имеем

55

r	r	1	∑qi ,
∫E dS =
S		ε0 i

где ∑qi - алгебраическая сумма всех зарядов внутри поверхности S , и сторон-

i

них q и связанных q′

∑qi = q + q′,

i

κε0 (q ε+0q′) = −q′,

κq + κq′ = −q′,

q′ = −1+κκ q .

Разделим на объем, ограниченный поверхностью и перейдем к пределу при ∆V → 0 . Получим

ρ′ = −1+κκ ρ,

где ρ′, ρ- объемная плотность связанных и сторонних зарядов соответственно. Если в диэлектрике отсутствуют сторонние заряды, то объемная плот-

ность связанных зарядов также равна нулю

ρ = 0 , ρ′ = 0 .

Электрическое смещение (вектор D )

Проведем в диэлектрике замкнутую поверхность S и запишем теорему Гаусса для вектора E

r	r	1	∑qi .
∫E dS =
S		ε0 i

В общем случае в диэлектрике могут находиться как связанные заряды q′ так и сторонние q

r	r	q′+q ,
∫E dS =
S		ε0

ε0 ∫E dS = q′+q ,

S

q′ = −∫P dS,

S

56

r

ε0 E

∫ε0 E dS + ∫P dS = q ,

S S

∫(ε0 E + P)dS = q .

S

Обозначим величину, стоящую в скобках

D = ε0 E + P .

Вектор D называется электрическим смещением

∫D dS = q . ( )

S

Поток вектора D через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Это теорема Гаусса для вектора D в интегральной форме.

Из ( ) легко получить теорему Гаусса для вектора D в дифференциальной форме

r

div D = ρ.

Дивергенция вектора D равна объемной плотности сторонних зарядов в данной точке. r

Вектор D является вспомогательным, равным сумме различных величин и P , но его применение упрощает изучение электрического поля в диэлек-

триках.

В случае изотропных и однородных диэлектриков

P = κε0 E ,

Dr = ε0 Er + P = ε0 E + κε0 E = ε0 (1 + κ)E ,

1+ κ = ε .

Безразмерно положительная величина ε называется диэлектрической проницательностью вещества.

Итак,

D= ε0εE , D = ε0εE .

Ввакууме отсутствуют молекулы вещества, поэтому

κ= 0,

ε=1,

r r

D = ε0 E.

Граничные условия

Пусть S - поверхность соприкосновения двух различных диэлектриков.

Если поместить систему во внешнее электрическое поле, то в общем случае вектора P1 , E1 , D1 , P2 , E2 , D2 будут различными.

57

Формулы, связывающие вектора по обе стороны границы двух сред называются граничными условиями.

1. Граничные условия для вектора P

Проведем вектор нормали n к границе раздела от 1-го диэлектрика во 2-й диэлектрик.

Построим замкнутую поверхность в виде цилиндра с основаниями ∆S параллельными границе раздела и расположенными по обе стороны от нее, и с образующей высотой h , перпендикулярной поверхности раздела.

Пусть ∆S настолько мала, что в ее пределах

P1 = const , P2 = const .

Обозначим τ′- поверхностная плотность связанных зарядов на поверхности раздела диэлектриков.

Запишем теорему Гаусса для P

∫P dS = −q′,

S

′

∫P1 dS + ∫P2 dS + ∫P1 dS + ∫P2 dS = −τ ∆S .

∆S

∆S

Sδ

Sδ

Пусть h → 0 , тогда

2

2

SБОК = 2πRh = 0 ,

P1dS = P1nr

1dS = P1 (−nr)dS = −P1 nrdS = −P1cosα1

nr

dS = −P1n dS ,

где P1n - проекция вектора P1

на направление вектора нормали n .

P2dS = P2 nr

2dS = P2 nrdS = P2cosα2

nr

dS = P2n dS ,

где P2n - проекция вектора P2

на направление вектора нормали n .

′

- ∫P1n dS + ∫P2n dS = −τ ∆S ,

∆S

∆S

′

- P1n ∆S + P2n ∆S = −τ ∆S ,

P2n

− P1n

= −τ′.

58

Пусть среда 2 является вакуумом. В этом случае, очевидно, что

P2 = 0 , P2n = 0 ,

-P1n = −τ′, P1n = τ′.

Обозначим

P1 = P , P1n = Pn = Pcosα,

τ′ = Pn , τ′ = Pcosα,

где P - модуль поляризованности диэлектрика, α- угол, между вектором P и нормалью nr, проведенный перпендикулярно поверхности диэлектрика из диэлектрика в вакуум, Pn = Pcosα - проекция вектора P на направление вектора нормали nr.

2. Граничные условия для вектора D

Построим прямой цилиндр, аналогичный рассмотренному выше.

Пусть на поверхности находится электрический заряд плотностью τ. Запишем теорему Гаусса для вектора D

∫D dS = q ,

S

∫D1dS + ∫D2dS + ∫D1dS + ∫D2 dS = τ∆S.

∆S	∆S	Sδ		Sδ
		2	2

В пределах ∆S

59

D1 = const , D2 = const .

Кроме того

n → 0 , Sδ = 2π Rh = 0 ,

D1dS = D1nr1dS = −D1nrdS = −D1n dS ,

D2 dS = D2 nr2 dS = D2 nrdS = D2n dS .

Здесь D1n , D2n - проекции векторов D1 и D2 на направление вектора n , проведенного из 1-й среды во 2-ю.

− ∫D1n dS + ∫D2n dS = τ∆S ,

∆S ∆S

- D1n ∆S + D2n ∆S = τ∆S ,

D2n − D1n = τ.

Вслучае, если сторонние заряды на поверхности границы отсутствуют, то

τ= 0 ,

D1n = D2n .

3. Граничные условия для вектора E

Построим прямоугольный контур abcd так, что две стороны, длиной l лежат по обе стороны границы раздела и параллельны поверхности раздела.

Две другие стороны длиной h перпендикулярны этой поверхности. Проведем вектор rτ параллельно поверхности как показано на рисунке. Зададим направление обхода контура как показано на рисунке.

Запишем условие потенциальности электростатического поля E .

∫Edl = 0 ,

∫E1dl + ∫E1dl + ∫E2dl + ∫E2dl = 0 ,

l

h

l

h

2

2

E1dl = E1rτ1dl = E1 (rτ)dl = E1rτdl = E1cosα1

rτ

dl = E1τdl ,

где E1τ - проекция вектора E1

на направление вектора τ, касательного к поверх-

ности.

E2 dl = E2 rτ2 dl = E2 (- rτ)dl = −E2 rτdl = −E2 cosα2

rτ

dl = −E2τdl ,

60