фа состояний (см. рис. 2.15). Система алгебраических уравнений

для финальных вероятностей имеет вид λp1 = µp2 , Добавляя ус-

µp2 = λp1.

ловие нормировки p1 + p2 =1, получим p1 = λ µ+ µ и p2 = λ λ+ µ .

3.СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

ИЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ

СИСТЕМОЙ

3.1. Действительная форма спектрального разложения стационарного случайного процесса

Рассмотрим элементарный случайный процесс

ξ(t) = Acosωt + Bsin ωt ,

(3.1)

для которого случайные величины A и B имеют нулевые математические ожидания и равные дисперсии так, что

M[A] = M[B] = 0 и M[A2 ] = M[B2 ] = d .

(3.2)

Определим, какие дополнительные ограничения нужно наложить на случайные величины A и B , чтобы элементарный случайный процесс (3.1) был с тационарным в широком смысле, т.е. чтобы его ковариационная функция Kξ (t1,t2 ) зависела только от раз-

ности моментов времени	t2 −t1 = τ. Случайные	величины
ξ(t1) = Acosωt1 + Bsin ωt1 и	ξ(t2 ) = Acosωt2 + Bsin ωt2 ,	которые

являются значениями процесса (2.8) в моменты времени t1 и t2 ,

имеют нулевые математические ожидания, поэтому их ковариация равна математическому ожиданию их произведения:

Kξ (t1,t2 ) = M[ξ(t1)ξ(t2 )] .

(3.3)

Преобразуем

произведение

этих

случайных

величин:

ξ(t )ξ(t

2

) = A2 cos

ωt

cosωt

2

+ AB cosωt sin ωt

2

+ ABsin ωt

cosωt

2

+

1

1

1

1

+ B2 sin ωt1 sin ωt2 . Далее, применяя формулу для синуса суммы двух углов, придём к выражению

71

ξ(t )ξ(t	2	)	= A2 cosωt cosωt			2	+
1					1					(3.4)
+ B2 sin ωt			sin ωt		+ ABsin ω(t +t				).
				2				2
		1				1
Подставляя (3.4) в (3.3) и вспоминая формулу для косинуса
разности двух углов, получим с учетом (3.2)
Kξ (t1,t2 ) = d cosω(t2 −t1) + M[AB]sin ω(t1 +t2 ) .										(3.5)
Если M[AB] = 0 , то
Kξ (t1,t2 ) = d cosω(t2 −t1) .										(3.6)

Таким образом, для того чтобы элементарный случайный процесс (3.1) был стационарным, достаточно к условию (3.2) добавить условие некоррелированности случайных величин A и B , т.е. условие M [AB]= 0 .

Пусть теперь случайный процесс есть конечная сумма элементарных случайных процессов вида (3.1) (см. также формулу(2.8)):

n
ξ(t) = mξ + ∑(Al cosωlt + Bl sin ωlt) .	(3.7)

l=1

Круговые частоты ω1,ω2 ,...ωn выбраны произвольно. Случайные величины Al , Bl (l =1,2,...n) удовлетворяют условиям

M[Al ] = M[Bl ] = 0 , M[Al2 ] = M[Bl2 ] = dl ,

M[Al Ak ] = 0,l ≠ k , M[Bl Bk ] = 0,l ≠ k , M[Al Bk ] = 0 ,

при выполнении которых слагаемые в сумме (3.7) некоррелированны. Ковариационная функция суммы некоррелированных слагаемых равна сумме ковариационных функций (3.6) этих слагаемых:

n
Kξ (t1,t2 ) = ∑dl cosωl (t2 −t1) .	(3.8)

l=1

Таким образом, ковариационная функция случайного процесса (3.7) зависит только от разности t2 −t1 , что говорит о стационар-

ности этого процесса. Обозначая разность t2 −t1 = τ, перепишем

(3.8) в виде

n
Kξ(t1,t2 ) = ∑dl cosωl τ .	(3.9)

l=1

72

Выберем теперь спектр частот ω1,ω2 ,...ωn случайного процесса (3.7) специальным образом:

ωl =	πl	(l =1,2,...) .	(3.10)
	T

Этот дискретный спектр частот процесса будет бесконечным и

∆ω = ωl+1 −ωl	=	π	,	(3.11)
		T
где T – положительное число. Формулы (3.7) и (3.9) принимают
вид
∞
ξ(t) = mξ + ∑(Al cosωlt + Bl sin ωlt) ,				(3.12)
l=1
∞
Kξ (τ) = ∑dl cosωl τ .				(3.13)
l=1
Предположим, что дисперсии dl	случайных величин Al			и Bl

убывают достаточно быстро, так что ряд с положительными чле-

∞

нами ∑dl сходится. Эта сходимость обеспечивает абсолютную

l=1

сходимость ряда (3.13) и конечность дисперсии случайного процесса (3.12), так как

∞
Dξ = Kξ (0) = ∑dl .	(3.14)

l=1

Формула (3.13) дает разложение в ряд Фурье по косинусам четной 2T -периодической функции Kξ (τ) . Коэффициенты dl этого ряда

Фурье связаны с функцией Kξ (τ) формулой

			1	T
	dl	=		∫Kξ(τ)cosωl τdτ (l =1,2,...) .	(3.15)
			T
				−T

Подынтегральная функция в правой части (3.15) четная, а промежуток интегрирования симметричен, поэтому

			2	T
	dl	=		∫Kξ(τ)cosωl τdτ (l =1,2,...) .	(3.16)
			T
				0

73

Если увеличивать T , уменьшая соответственно промежуток ∆ω = πТ между частотами, то число слагаемых на любой фикси-

рованный интервал частот (ωa ,ωb ) в разложении (3.12) растет

обратно пропорционально ∆ω. Чтобы составляющая случайного процесса (3.12), приходящаяся на этот интервал частот, не возрастала бесконечно, должны выполняться условия

Al = AT (ωl )∆ω, Bl = BT (ωl )∆ω dl = ST (ωl )∆ω.

(3.17)

Перепишем формулы (3.12), (3.13) и (3.16) с учетом обозначений (3.17) и равенства (3.11):

∞
ξ(t) = mξ + ∑(AT (ωl )cosωlt + BT (ωl )sin ωlt)∆ω,					(3.18)
l=1
∞
Kξ (τ) = ∑ST (ωl )cosωl τ∆ω,					(3.19)
l=1
	d	2
ST (ωl ) =	l	=		∫Kξ (τ)cosωl τdτ.	(3.20)
	∆ω		π

При стремлении ∆ω к нулю и соответственно T → ∞ спектр случайного процесса (3.18) из дискретного превращается в непрерывный, а представление его рядом переходит в интегральное представление:

∞
ξ(t) = mξ + ∫(A(ω)cosωt + B(ω)sin ωt)dω.	(3.21)
0

При этом формулы (3.19) и (3.20) принимают соответственно вид

∞
Kξ (τ) = ∫Sξ (ω)cosωτdω,	(3.22)
0

Sξ (ω) = 2 ∞∫Kξ(τ)cosωτdτ

π 0

(см. также формулу (2.14)).

Равенство (3.21) представляет стационарную функцию ξ(t) , аргументом которой является время

(3.23)

случайную t , через две

74

другие случайные функции A(ω) и B(ω) , аргументом которых является круговая частота ω. Исходя из свойств функций (3.17)

A

(ω

) =

Al

,

B (ω

) =

Bl

и S

(ω ) =

Dl

.

(3.24)

∆ω

∆ω

T

l

T l

T

l

∆ω

Отсюда можно получить представление о свойствах случайных функций A(ω) и B(ω) .

Функции AT (ωl ) и BT (ωl ) не коррелированы, и значения ка-

ждой из них при различных значениях аргумента не коррелированы, так что

M[AT (ωl )BT (ωl )] = 0,

M[AT (ωl )AT (ωk )] = M[BT (ωl )BT (ωk )] = 0 при ωl ≠ ωk .

Ввиду этого заключаем, что случайные функции A(ω) и B(ω)

не коррелированы и их значения при любых сколь угодно близких, но различных значениях аргумента ω не коррелированы.

Перейдем к рассмотрению дисперсий, помня, что константа выносится из-под знака дисперсии в квад-

рате: D[A

(ω

)] = D

Al

=

D[Al ]

=

dl

=

ST (ωl )

,

2

T

l

∆ω

2

∆ω

∆ω

∆ω

D[Al ]= M [Al2 ] = dl . Аналогично находим

D[AT (ωl )] = D[BT (ωl )] = ST∆ω(ωl ) .

так как

(3.25)

Из		(3.25)		следует, что дисперсии случайных		функций
	A(ω)		и	B(ω) бесконечны.	Из того, что	ковариация
	K A	(ωl ,ωk ) = M[AT (ωl )AT (ωk )]			равна нулю при ωl ≠ ωk и равна
	T
	ST (ωl )		при	ωl = ωk , следует:
	∆ω
				∞
				∑K AT (ωl ,ωk )∆ω = ST (ωl ).		(3.26)
				k=1
При ∆ω→ 0 формула (3.26) принимает вид
				∞
				∫K A (ω1,ω2 )dω2 = Sξ (ω1) ,		(3.27)
				0

75

откуда заключаем, что

K A (ω1,ω2 ) = Sξ (ω1)δ(ω2	−ω1).	(3.28)
Аналогично для ковариационной функции KB (ω1,ω2 )		случайной
функции B(ω) от частоты ω имеем равенство
KB (ω1,ω2 ) = Sξ (ω1)δ(ω2	−ω1).	(3.29)
Таким образом, случайные функции	A(ω) и B(ω)	от частоты

ω в спектральном разложении (3.21) стационарного случайного процесса с непрерывным спектром имеют ковариационные функции, пропорциональные δ-функции. Формула (3.23), полученная предельным переходом при ∆ω→ 0 из равенства (3.20), представ-

ляет спектральную плотность S (ω)		дисперсии стационарного
случайного процесса	(3.21). Если в	(3.22)	положить τ = 0 и
∞
Dξ = K(0) = ∫Sξ (ω)dω,	то можно убедиться,		что дисперсия про-
0

цесса (3.21) равна площади под графиком его спектральной плот-

ности Sξ (ω) .

Если мы выделим аддитивную часть случайного процесса (3.21), соответствующую промежутку частот (ω1,ω2 ) в его спе к-

тре, то получим стационарный процесс

	ω2
ξω1,ω2	(t) = ∫(A(ω)cosωt + B(ω)sin ωt)dω,	(3.30)
	ω1

дисперсия которого определяется интегралом от спектральной плотности Sξ (ω) по промежутку [ω1,ω2 ] :

ω2
D[ξω1,ω2 (t)] = ∫Sξ (ω)dω.	(3.31)
ω1

Если весь интервал (0,∞) частот разбить на отдельные подынтер-

валы, то случайный процесс (3.21) будет представлен суммой некоррелированных слагаемых вида (3.30), а дисперсия этого процесса – суммой дисперсий этих слагаемых, вычисляемых по (3.31).

76