ϕ(α1,t1, α2 ,t2 ,..., αn ,tn )
∞	∞
= ∫	... ∫ f (x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn
−∞	−∞

n

	n
= M	∏exp(iα jξj (t))		=
j =1

,t

n

α

ξ

...dx

(1.10)

n

)exp i

∑

j

j

(t) dx dx

n

.

1 2

j =1

Оперировать формулами (1.1), (1.9), (1.10) при больших значениях n крайне неудобно, к тому же объём экспериментального материала, необходимого для их получения, с увеличением числа сечений растёт чрезвычайно быстро. Поэтому на практике более чем двумерные законы распределения применяются крайне редко.

Плотности или функции распределения меньших порядков (k ≤ n) можно получить обычным способом, известным из теории

вероятностей:

	f (x1 ,t1 )	∞	(x1 ,t1 , x2 ,t2 )dx2 ,
		= ∫ f
		−∞
	fk (x1 ,t1 , x2 ,t2 ,..., xk ,tk )=			(1.11)
∞	∞
= ∫... ∫ fn (x1 ,t1 , x2 ,t2 ,..., xn ,tn )dxk +1dxk +2 ...dxn .
−∞	−∞

n−k

1.4.Моментные функции случайного процесса

Совокупность всех конечномерных законов распределения случайного процесса является его полной характеристикой.

Однако в ряде случаев для решения практически важных задач оказывается достаточным рассмотреть более простые характери-

стики, в частности моментные функции.

Моментами k -го порядка случайного процесса ξ(t) называют

соответствующие моменты его сечений. Различают начальные и центральные моменты.

Моментная функция mk1 ,k2 ,...,kn (t1,t2 ,...,tn ), зависящая от n несовпадающих аргументов t1,t2 ,...,tn , называется n -мерной на-

12

чальной моментной функцией k-го порядка (k = k1 + k2 +... + kn ). Её вид определяется формулой

mk ,k

2

,...,k

n

(t1,t2 ,...,tn )= M [ξk1 (t1 )ξk2 (t2 )...ξkn (tn )]=

1

=

∞ ...

∞

xk1 xk2

...xkn f (x ,t , x

2

,t

2

,..., x

n

,t

n

)dx dx

2

...dx

n

. (1.12)

∫

∫

1 2

n

1 1

1

−∞

−∞

n

Одномерная начальная функция первого порядка

m1(t)= M [ξ(t)]= ∞∫ xf (x,t)dx

(1.13)

−∞

называется математическим ожиданием (средним значением) случайного процесса ξ(t) (рис. 1.4). Часто используется также

двумерная начальная моментная функция второго порядка

∞	∞
m1,1(t1,t2 )= M [ξ(t1 )ξ(t2 )]= ∫	∫ x1x2 f (x1,t1, x2 ,t2 )dx1dx2 , (1.14)

−∞ −∞

называемая корреляционной функцией случайного процесса ξ(t).

Рис. 1.4. Графическая иллюстрация средней одномерного случайного процесса

13

Вместо моментных функций mk1 ,k2 ,...,kn (t1,t2 ,...,tn ) можно рассматривать n -мерные центральные моментные функции k-го порядка (k = k1 + k2 +... + kn ), которые определяются следующими соотношениями:

µk ,k

2

,...,k

n

(t1,t2 ,...,tn )= M [(ξ(t1 )

− m1 (t1 ))k1 (ξ(t2 )− m2 (t2 ))k2 ...

1

...(ξ(tn )− mn (tn ))kn ]= ∞∫

... ∞∫

(x1 − m1 (t1 ))k1 (x2 − m2 (t2 ))k2 ...

(1.15)

−∞

−∞

...(x

(t

))kn

f (x ,t

n

)dx dx

n

− m

n

n

, x

2

,t

2

,..., x

n

,t

n

2

...dx

n

.

1 1

1

Формула для

p -мерного центрального момента (p ≤ n)

запи-

сывается аналогично p = (k1 + k2

+... + kp ):

µk ,k

2

,...,k

р

(t1,t2 ,...,tn )= M [(ξ(t1 )

− m1 (t1 ))k1 (ξ(t2 )− m2 (t2 ))k2 ...

1

...(ξ(t р )− mр (t р ))k р ]= ∞∫

... ∞∫

(x1 − m1 (t1 ))k1 (x2 − m2 (t2 ))k2 ...

(1.16)

−∞

−∞

...(x

(t

))k р

f (x ,t

n

)dx dx

р

− m

р

р

, x

2

,t

2

,..., x

n

,t

n

2

...dx

р

.

1 1

1

Двумерная центральная моментная функция второго порядка

µ1,1(t1,t2 )= Kξ(t1,t2 )= M [(ξ(t1 )− m1(t1 ))(ξ(t2 )− m2 (t2 ))]=

∞

∞

(x1 − m1(t1 ))(x2 − m2

(t2 ))f (x1,t1, x2 ,t2 )dx1dx2

(1.17)

= ∫ ∫

−∞ −∞

называется ковариационной функцией случайного процессаξ(t). Для дискретных случайных процессов (1.17) превращается в

Kξ (n1,n2 )= ∑∑k k {(xi (n1 )− mx	(n1 ))(x j (n2 )− mx (n2 ))×	(1.17а)
i=1 j=1
× P{xi (n1 ), x j (n2 )}},

14

где xi (n1 ), x j (n2 ) – значения случайного процесса ξ(n) в моменты

появления i -го и j-го события.

Ковариационная функция представляет собой матричную функцию Kξ(t1,t2 ) размера n ×n двух скалярных переменных t1 и

t2 , значения которых при фиксированных t1,t2 T равны кова-

риации двух случайных векторов: ξ(t1,ω) и ξ(t2 , ω), т.е.

Kξ(t1,t2 )= cov[ξ(t1, ω), ξ(t2 , ω)].

Моментные функции могут быть определены из характеристической функции путём дифференцирования. Например, значение k-й производной от характеристической функции ϕ(α,t) при α = 0

даёт одномерную начальную моментную функцию k-го порядка:

	mk (ξ(t))=	1		∂k ϕ(α,t)			.	(1.18)
		ik		∂αk
							α=0

Аналогичная по математическому содержанию формула даёт значение k-й производной от n-мерной характеристической функции:

m

k

,k

,...,k

(t

,t

2

,...,t

n

)= i−(k1+k2 +...+kn ) ×

n

1

1

2

∂(k1+k2 +...+kk )ϕ(α

,t

,α

2

,t

2

,...,α

n

,t

n

)

(1.19)

×

1

1

,

∂αk1∂αk2

...∂αkn

1

2

n

α=0

где k = (k1 + k2 +... + kn ).

Итак, в общем случае математическое ожидание одномерного случайного процесса ξ(t) определяется формулой (1.13). У ста-

ционарных случайных процессов математическое ожидание не зависит от времени и постоянно. Если процесс не только стационарен, но и обладает эргодическим свойством, то у такого процесса среднее по ансамблю реализаций равно с вероятностью, близкой к единице, среднему по времени, определяемому по одной реализации, т.е.

	mξ(t)=			1	T∫ξ(t)dt .	(1.20)
		ξ(t)= lim
			T →∞ 2T −T

Если процесс дискретен, то

15

			mξ(kT0 )= ∞∫ xf (x, kT0 )dx	(1.21)
			−∞
и mξ(t)=	lim	1	∑N ξ(kT0 ) для эргодического	случайного
	Т→∞ 2N +1 k =−N

процесса.

Полагая в формуле (1.17) t1 = t2 = t , получим следующее значение одномерной центральной моментной функции второго порядка:

µ1,1(t)= M [(ξ(t)− mξ(t))2 ]= ∞∫(x − m(t))f (x,t)dx = Dξ(t). (1.22)

−∞

Это выражение определяет дисперсию случайного процесса ξ(t) (рис. 1.5). Таким образом, как математическое ожидание, так

и дисперсия случайного процесса определяются его одномерным законом распределения.

Рис. 1.5. Графическая иллюстрация дисперсии случайного процесса

Квадратный корень из дисперсии Dξ(t) называется средним квадратическим отклонением σξ(t) случайного процесса ξ(t):

σξ(t)=		.	(1.23)
	Dξ(t)

16

Ковариационная функция (1.17) характеризует степень линейной связи между значениями случайного процесса в различные моменты времени (между двумя случайными векторами – сечениями случайного процесса), а также разброс этих сечений относительно математического ожидания (рис. 1.6). Если случайный процесс стационарен хотя бы в широком смысле, ковариационная

функция является функцией лишь разности τ = t2 − t1 аргументов,

а не их значений, и принимает одно и то же значение при всех аргументах t1 и t2 , отличающихся друг от друга на одинаковую ве-

личину τ : Kξ(τ)= M [(ξ(t)− mξ )(ξ(t + τ)− mξ )] . При стационарных и

эргодических (по отношению к функции корреляции) случайных процессах ковариационная функция может быть определена по одной реализации процесса:

Kξ(τ)= lim	1	T∫(ξ(t)− mξ )(ξ(t + τ)− mξ )dt .	(1.24)
T →∞ 2T −T

Рис. 1.6. График ковариационной функции

Основные свойства ковариационной функции:

1. Ковариационная функция симметрична. Перестановка аргументов даёт выражение, комплексно сопряжённое с исходным, т.е.

Kξ(t1,t2 )= Kξ (t2 ,t1 ). Для действительного случайного процесса

17

Kξ(t1,t2 )= Kξ(t2 ,t1 ). При стационарных в широком смысле процессах Kξ(τ)= Kξ (− τ), а для действительных случайных процес-

сов Kξ(τ)= Kξ(− τ).

2.При t1 = t2 = t ковариационная функция равна дисперсии случайного процесса: Kξ(t,t)= Dξ(t).

3.Kξ (t1,t2 ) ≤ Dξ(t1 )Dξ(t2 ). Неравенство 3 является формой

неравенства Коши–Буняковского. Если записать евклидову норму ковариационной функции, то Kξ(t1,t2 ) ≤ Dξ(t1 )Dξ(t2 ).

4. Для стационарных эргодических случайных процессов

τ→∞lim Kξ (τ)= 0 .

В теоретических расчётах и практических исследованиях

часто пользуются нормированной

ковариационной

функ-

цией

rξ (t1,t2 )=

Kξ (t1,t2 )

Kξ (t1,t2 )

(1.25)

=

.

σξ (t1 )σξ (t2 )

D

ξ

(t

)D

ξ

(t

2

)

1

Свойства функции rξ(t1,t2 ) вытекают из её определения и того

факта, что коэффициент корреляции любых двух случайных величин по модулю не превосходит единицу.

В теории случайных процессов используется понятие интер-

вала корреляции

τ

=

∞

r (τ)

dτ =

1

∞

K

(τ)

dτ .

(1.26)

k

∫

ξ

ξ

σ2

∫

0

0

ξ

Эта величина даёт ориентировочное представление о том, на каких интервалах времени в среднем имеет место корреляция между сечениями случайного процесса. Геометрически это выража-

ется в виде рис. 1.7. Таким образом, τk – это длина основания (или половина длины основания) прямоугольника высотой Kξ(0), площадь которого равна площади под кривой Kξ(τ).

18

Рис. 1.7. Графическая интерпретация интервала корреляции

Пример 2. Построить семейство реализаций (траекторий) ска-

	лярного случайного процесса ξ(t,ω)=	1	u(ω), t T = [a,b], где
		1 + t2

u(ω) – скалярная случайная величина, распределённая по закону Пуассона с параметром λ = 0,5 . Найти математическое ожидание

и дисперсию этого случайного процесса.

Здесь, как и в примере 1, для получения траекторий достаточно знать (и задать конкретные значения) величины случайной пе-

ременной u(ω). Так как u(ω) распределена по закону Пуассона с

λ = 0,5 , то P(u = m)= λmm! e−λ, m = 0,1,2,...

Таким образом, u(ω) может принимать значения 0, 1, 2,… Следовательно, неслучайная функция ξω0 (t) – траектории процесса будут описываться формулой

ξ(t)= 1 +nt2 , n = 0,1,2,...

Найдём математическое ожидание процесса по определению

mξ(t)= M [ξ(t, ω)]= M	1		u(ω)	=		1		M [u(ω)]. Так как мате-
		2			1 + t		2
1 + t

матическое ожидание величины, распределённой по закону Пуас-

19

	сона, равно параметру этого закона λ , то mξ(t)=											λ		=			1				.
											1 + t2					2(1 + t2 )
	Аналогично с дисперсией
	D	(t)= D	1			u(ω)	=		1	D[u(ω)]		=			1				.
	ξ			+ t	2			(1	2				2(1				2
		1							+t2 )						+t2 )

Пример 3. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию, дисперсию, одномерный и двумерный законы распреде-

ления скалярного случайного процесса ξ(t,ω)= α(ω)t +β(ω)t2 , t T = [0,∞], где α(ω) и β(ω) – независимые скалярные случайные

величины, распределённые по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,25.

Выпишем характеристики случайных величин α(ω) и β(ω), mα = mβ = 0, Dα = Dβ = 0,25 . Функции плотности вероятности

обеих

случайных

величин

одинаковы

и

равны

e−2 y 2

fα(x)=

2

e−2x2

, fβ(y)=

2

. Тогда

π

π

mξ(t)= M [ξ(t,ω)]= M [α(ω)t +β(ω)t2 ]= tM [α(ω)]+t2 M [β(ω)]= 0,

Dξ(t)= D[ξ(t,ω)]= D[α(ω)t + β(ω)t2 ]= = t2 D[α(ω)]+ t4 D[β(ω)]= 0,25t2 (1 + t2 ).

По определению ковариационной функции,

Kξ (t1,t2 )= M [(ξ(t1, ω)− mξ (t1 ))(ξ(t2 , ω)− mξ (t2 ))] =

= M [ξ(t1, ω)ξ(t2 , ω)]= M [(α(ω)t1 + β(ω)t12 )(α(ω)t2 + β(ω)t22 )]= = M [(α(ω))2 t t + α(ω)β(ω)t 2t + α(ω)β(ω)t t 2 + (β(ω))2 t 2t 2 ] =

1 2		1	2	1 2	1	2
= t1t2 M [(α(ω))2	]+ t12t2 M [α(ω)β(ω)]+ t1t22 M [α(ω)β(ω)]+
+ t12t22 M [(β(ω))2		]= Dαt1t2 + Dβt12t22 = 0,25t1t2 (1 + t1t2 ),

так как α(ω) и β(ω) независимы и, следовательно, не коррелированы.

20

Случайный процесс ξ(t,ω) при любом фиксированном значе-

нии t представляет собой линейную комбинацию нормальных случайных функций и в силу этого также является нормальным. Тогда

1

−

(x −mξ (t))2

2x2

2

2Dξ (t)

f (x,t)=

e

2πD

ξ

(t)

=

πt2 (1 + t2 )exp

− t2

(1 + t2 ) .

Для написания формулы функции плотности двумерного закона распределения случайного процесса ξ(t,ω) следует вспом-

нить формулу функции плотности нормального закона на плоскости:

1

1

(x −m

2

f (x, y)=

)

exp −

2(1− r2

)

x

−

σ

2

2

2πσxσy 1− rxy

xy

x

(x − mx )(y − my )

(y −my )2

−

+

.

σxσy

σ

2y

При некоррелированности случайных величин

X

и Y

пре-

дыдущая формула упрощается:

1

1

(x

− m

2

2

f (x, y)

x

)

(y − my )

=

exp −

+

.

2

σ2x

σ2y

2πσxσy

В нашем случае α(ω) и β(ω) не коррелированы, т.е.

1

1

(x −m

ξ

(t

))2

f (x

,t , x

,t

)=

exp

−

1

1

+

2πσξ

(t1 )σξ(t2 )

2

σ2

(t

)

1 1

2

2

ξ

1

(x2 −mξ(t2 ))2

2

x2

x2

+

=

exp −

1

−

2

.

ξ

(t

2

)

πt1t2 (1

+t1

)(1+t2 )

t1

1+t1

t2 1+t2

σ2

2

2

2

2

21