4. Классификация по наличию или отсутствию связей между средним по аргументу t и средним по множеству реализа-

ций: а) эргодические; б) неэргодические.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если его вероятностные характеристики могут быть получены с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, в результате операции усреднения по времени одной реализации, достаточно большой (теоретически бесконечной) длительности.

5. Классификация по типу законов распределения.

По этому типу может быть выделено наибольшее количество различных законов, например: нормальные процессы, процессы с независимыми приращениями, винеровские, марковские и пуассоновские процессы, потоки событий (процессы массового обслуживания), процессы авторегрессии и скользящего среднего и т.п.

1.3. Конечномерные распределения случайного процесса

Пусть ξ(t), t T – действительный случайный процесс и зада-

	но некоторое	произвольное множество	моментов времени
	{t1,t2 ,...,tn } T.	Тогда соответствующий	набор случайных вели-
	чинξ(t1 ), ξ(t2 ),..., ξ(tn ) имеет n -мерную функцию распределения
	Fξ(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )= P{ξ(t1 )≤ x1, ξ(t2 )≤ x2 ,..., ξ(tn )≤ xn }=			(1.1)
	= P{(ξ(t1 )≤ x1 ) (ξ(t2 )≤ x2 ) ... (ξ(tn )≤ xn )},

которая называется n -мерной функцией распределения случайного процесса ξ(t).

Совокупность функций (1.1) для различных n =1,2,... и всех возможных моментов времени ti T называется семейством ко-

нечномерных распределений случайного процесса ξ(t).

Рассмотрим подробнее n -мерные функции распределения и

некоторые связанные с ними функции для n =1 и n = 2 . Одномерная функция распределения вероятностей непрерыв-

ного случайного процесса ξ(t) определяется в	соответствии с
формулой (1.1) как
Fξ(xi ,ti )= F(xi ,ti )= P{ξ(ti )≤ xi }.	(1.2)

7

Множество реализаций ξi (t) случайного процесса ξ(t) и оп-

ределение одномерной функции распределения по формуле (1.2) показаны на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Реализации случайного процесса с одномерной

функцией распределения

Свойства F(x,t) стандартны – это обычные свойства функции распределения:

1)	F(x,t)≥ 0, − ∞ < x < +∞ ;
2) 0 ≤ F(x,t)≤1;
3)	F(∞,t)=1, F(− ∞,t)= 0 ;
4)	F(x,t) – неубывающая функция по x .
Если процесс дискретен, то
	F(x, kT0 )= P{ξ(kT0 )≤ x}.	(1.3)

Плотность распределения вероятностей случайного процесса ξ(t) – функция fξ(x,t)= f (x,t) – представляет собой производную

по x от функции распределения, т.е.

f (x,t)=	∂F(x,t)	или	f (x,t)dx ≈ P{x < ξ(t)≤ x + dx}.	(1.4)
	∂x

Основные свойства функции плотности распределения:

8

1.f (x,t)≥ 0, − ∞ < x < ∞;

2.∫x f (x,t)dx = F(x,t);

−∞

3. ∞∫ f (x,t)dx =1 .

−∞

При решении многих задач используется характеристическая функция процесса ξ(t), которая может служить столь же эффе к-

тивной характеристикой, что и плотность вероятности:

ϕξ(α,t)= ϕ(α,t)= M [exp(iαξ(t))]= ∞∫exp(iαξ(t))f (x,t)dx , (1.5)

−∞

где α – аргумент характеристической функции. Видно, что характеристическая функция (1.5) является преобразованием Фурье от соответствующей плотности распределения вероятностей f (x,t).

Применение обратного преобразования Фурье к характеристической функции ϕ(α,t) приводит к выражению

f (x,t)=	1	∞∫exp(− iαξ(t))ϕ(α,t)dα .	(1.6)
	2π −∞

Основные свойства характеристической функции:

1) ϕ(0,t)= ∞∫ f (x,t)dx =1;

−∞

2)ϕ(α,t) ≤1;

3)ϕ (α,t)= ϕ(− α,t), где ϕ – комплексно сопряжённая функция

кϕ;

4)если X (t)= aξ(t)+ b , то ϕX (α,t)= ϕξ(aα,t)exp(ibα);

5) если X (t)= ∑n ξk (t), то ϕX (α,t)= ∏n ϕξ(α,t).

k =1

k =1

Аналогичным образом определяется и двумерная функция распределения вероятностей случайного процесса ξ(t). Одномер-

ные законы распределения случайного процесса в достаточной мере характеризуют его, когда значения ξ(t) в различные моменты

9

времени (в различных сечениях ансамбля реализаций) рассматриваются изолированно. Для решения задач, требующих рассмотрения совместно значений одной случайной функции при двух значениях аргумента t или двух различных случайных функций при одном и том же значении аргумента, пользуются двумерными законами распределения.

Двумерная функция распределения характеризует:

а) в случае одного процесса – вероятность того, что значения случайной функции ξ(t), описывающей процесс, в различные мо-

менты t1 и t2 , будут меньше уровней x1 и x2 (рис. 1.3);

б) в случае двух процессов– вероятность того, что значения случайной функции ξ(t), описывающей первый процесс в момент

t1 , будут меньше x , а значения другой случайной функции ζ(t), описывающей второй процесс в момент времени t2 , – меньше y :

F(x,t1, y,t2 )= P{ξ(t1 )≤ x, ζ(t2 )≤ y}.

(1.7)

Аналогично определяются двумерные плотности распределения:

f (x	,t	, x		,t		)=	∂2F(x	,t , x	2	,t	2	)	.	(1.8)
			2		2		1	1
1	1						∂x1∂x2

Рис. 1.3. Реализации случайного процесса

с двумерной функцией распределения

10

Определение n -мерной функции распределения случайного процесса ξ(t) дано формулой (1.1), из которой видно, что случай-

ный процесс ξ(t,ω) можно рассматривать как совокупность всех

его возможных сечений. Каждое сечение случайного процесса ξ(t,ω) при фиксированном t представляет собой n -мерный слу-

чайный вектор. В общем случае случайный процесс ξ(t,ω), t T

не может быть полностью определённым, так как он представим несчётной совокупностью своих сечений. Поэтому при решении различных задач, как теоретического, так и прикладного характера, приходится ограничиваться конечномерными законами распределения.

n -мерная функция распределения случайного процесса ξ(t)

обладает следующими свойствами:

1)

0 ≤ F(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )≤1

– условие нормировки;

2)

F(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )

–

неубывающая

функция

по переменным

xi ,

т.е.

∆1...∆n F(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )≥ 0 ,

где

∆i F = F(x1,t1,..., xi−1,ti−1, xi

+ hi ,ti ,..., xn ,tn )−

− F(x1,t1,..., xi−1,ti−1, xi ,ti ,..., xn ,tn ), а h1, h2 ,..., hn ≥ 0 произвольны;

3)

если

xi ,i =

,

что

xi → −∞,

то

1,n

F(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )→ 0 , если

же

xi ,i =

,

xi → ∞ ,

то

1, n

F(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )→1;

{k1, k2 ,..., kn }

4)

для любой

перестановки

индексов

F(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )= F(xk1 ,tk1 , xk2 ,tk2 ,..., xkn ,tkn ).

Условия 3-4 называются условиями согласованности семейства конечномерных распределений. Как видно, свойства функции, определённой формулой (1.2), являются частным случаем вышеприведённых свойств.

Аналогично (1.4) и (1.8) n-мерная функция плотности распределения вероятностей определяется как

f (x ,t , x

,t

,..., x

,t

)=

∂n F(x ,t , x

2

,t

2

,..., x

n

,t

n

)

, (1.9)

2

2

n

n

1 1

1 1

∂x1∂x2

...∂xn

а n-мерная характеристическая функция

11