lim 1	∫l [ξ(t,ω)−mξ ]2dt =Dξ .	(2.7)
l→∞ l	0

Необходимым и достаточным условием эргодичности ξ(t) по

отношению к дисперсии является формула (2.5), а достаточным условием – (2.6).

Обычно стационарный случайный процесс бывает неэргодическим, когда он протекает неоднородно. Например, неэргодичность

ξ(t) может быть вызвана тем, что в нём в качестве слагаемого присутствует случайная величина X с характеристиками mx и Dx . Тогда, так как ξ1(t)= ξ(t)+ X , то mξ1 = mξ + mx , Kξ1 (τ)= Kξ(τ)+ Dx

иτ→∞lim Kξ1 (τ)= τ→∞lim [Kξ(τ)+ Dx ] = τ→∞lim Kξ(τ)+ τ→∞lim Dx = Dx ≠ 0 .

2.2. Спектральное разложение стационарного случайного процесса и преобразование Фурье. Спектральная плотность

Основная идея спектрального представления случайных процессов заключается в том, что их можно изобразить в виде суммы некоторых гармоник. Такое представление даёт возможность сравнительно просто проводить различные, как линейные, так и нелинейные, преобразования над случайными процессами. Можно, например, исследовать, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. Использование подобной информации составляет существо спектральной теории стационарных случайных процессов.

Спектральная теория позволяет использовать в расчётах изображение по Фурье случайного процесса. В ряде случаев это существенно упрощает выкладки и широко применяется, особенно в теоретических исследованиях.

Стационарный случайный процесс ξ(t) может быть задан сво-

им каноническим или спектральным разложением:

ξ(t)= mξ + ∑∞ (xk cos ωk t + yk sin ωk t),	(2.8)
k =0

26

где M [xk ]= M [yk ]= 0 ,	D[xk ]= D[yk ]= Dk ,	M [xk yk ]= M [xi x j ]=
= M [yi y j ]= M [xi y j ]= 0 ,	i ≠ j . При этом	его ковариационная
функция
Kξ(t1,t2 )= ∑∞ Dk cos ωk (t2 − t1 )=
	k =0
= ∑∞ Dk (cos ωk t1 cos ωk t2 + sin ωk t1 sin ωk t2 )=			(2.9)
k =0
∞
= ∑Dk cos ωk τ =Kξ(τ).
k =0
Выражение (2.8) может быть представлено в виде
	∞
ξ(t)= mξ + ∑zk cos(ωk t − ψk ),			(2.10)

k =0

где ψk – фаза гармонического колебания элементарного случай-

ного процесса, представляющая собой случайную величину, распределённую равномерно в интервале в интервале (0,2π), zk – ам-

плитуда гармонического колебания элементарного случайного процесса, причём zk – также случайная величина с некоторыми

mz и Dz .

Действительно, пусть ξk (t)= xk cos ωk t + yk sin ωk t , тогда mξk = 0 ,

Kξk (t1,t2 )= M [(xk cosωk t1 + yk sin ωk t1 )(xk cosωk t2 + yk sin ωk t2 )]=

=M [xk2 cos ωk t1 cos ωk t2 + xk yk (sin ωk t1 cos ωk t2 +

+cos ωk t1 sin ωk t2 )+ yk2 sin ωk t1 sin ωk t2 ]=

=M [xk2 ]cos ωk t1 cos ωk t2 + M [yk2 ]sin ωk t1 sin ωk t2 =

=Dk cos ωk (t2 − t1 )= Dk cos ωk τ.

	Если же	теперь	положить	ξk (t)= zk cos(ωk t −ψk ),
где	ψk R(0,2π),	ωk –	неслучайная величина, а		zk – случай-
ная	величина	с	известными	mz	и	Dz ,
то	ξk (t)= zk cosψk cos ωk t + zk sin ψk sin ωk t					и

27

	M [cosψk ]=	1	2π					M [sin ψk ]=		1	2π
			∫cos xdx = 0				,				∫sin xdx = 0 ,
		2π								2π
			0								0
	D[cos ψk ]= M [cos2 ψk ]=			1			2π
							∫cos2 xdx = 1		,
					2π
							0	2
	D[sin ψk ]= M [sin2 ψk ]=
				1		2π		1 ,	D[sin ψk cosψk ]= 0 .
							∫sin2 xdx =
				2π
							0	2

Отсюда mξk = M [zk cosψk sin ωk t + zk sin ψk sin ωk t]= 0 ,

Kξk (t1,t2 )= M [(zk cosψk sin ωk t1 + zk sinψk sin ωk t1 )× ×(z cosψ cosω t + z sinψ sin ω t )]=

=M [zk2 ]{M [cos2 ψk ]cosωk t1 cosωk t2 +

+M [sinψk cosψk ]sin ωk t1 cosωk t2 +

+M [cosψk sinψk ]cosωk t1 sin ωk t2 +

+M [sin2 ψk ]sin ωk t1 sin ωk t2 }= Dzk +2 mzk cos(t2 −t1 ).k k k 2 k k k 2

Таким образом, при сделанных в формулах (2.8) и (2.10) предположениях о свойствах, входящих в эти формулы случайных величин, представления (2.8) и (2.10) эквивалентны. При этом слу-

чайные величины zi и ψi ,i =1, ∞ зависимы, так как, очевидно, имеют место соотношения

	zk cosψk = xk , zk sinψk = yk ,	Dzk + mz2k	= D[xk ]= D[yk ]= Dk .
		2

Поскольку ковариационная функция стационарного случайного процесса – чётная функция, то её на интервале (−T ,T ) можно раз-

ложить в ряд Фурье по косинусам, т.е. Kξ(τ)= ∑∞ Dk cos ωk τ ,

k =0

ω

= kω

, ω =

π

,

D =

1

T K

(τ)dτ ,

D

=

1

T

K

(τ)dτ . Полагая

k

1

1

T

0

2T

∫

ξ

k

T

∫

ξ

−T

−T

τ = 0 , получим

∞

∞

Kξ(0)= Dξ = ∑Dk cos ωk 0

= ∑Dk .

(2.11)

k =0

k =0

28

Поскольку ωk можно интерпретировать как гармоники спек-

трального разложения стационарного случайного процесса (2.8), то общая дисперсия стационарного случайного процесса, представленная своим каноническим (спектральным) разложением, равна сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения. На рис. 2.1

показан набор дисперсий Dk , соответствующих различным гармоникам ωi . Чем более длинный интервал разложения по формуле

(2.9) будет взят, тем точнее будет разложение по этой формуле. Если взять T ′ = 2T , то спектр дисперсии разложения спектрального

процесса ξ(t) на интервале (0,T ′)

будет содержать в два раза боль-

ше составляющих (см. рис. 2.1, частоты ω/ ).

i

Dk

D2

D3

D1

D

/ D4/

/

D4

D/

/

D3

D5 D6/

D5

2

D7/

/

1

D8

D2/k

Dk

ωk

ω1/

ω1 3ω1/ 2ω1 5ω1/ 3ω17ω1/ 4ω1

kω1

Рис. 2.2. «Спектр дисперсий» стационарного случайного процесса

Перепишем (2.9) в несколько ином виде:

∞

∞

D

(cos k∆ωτ)∆ω,

∑Dk

cos ωk τ = ∑

k

∆ω

k =0

k =0

где ∆ω = ω1

есть интервал между соседними частотами. Если по-

ложить

Dk

= Dk = S

ξ

(ω ),

(2.12)

∆ω

ω1

k

29

то

	∞		∞	D
	Kξ(τ)= ∑Dk cos ωk τ =	lim	∑	k	(cos k∆ωτ)∆ω =
				∆ω
	k =0	∆ω→	0 k =0		(2.13)
	= ∞∫Sξ(ω)cos ωτdω.
	0

Величина Sξ(ωk )∆ω = Dk представляет собой часть общей

дисперсии стационарного случайного процесса ξ(t), приходящуюся на k-ю гармонику. При T → ∞ (или при ∆ω→ 0 ) функция Sξ(ωk ) будет неограниченно приближаться к кривой Sξ(ω), кото-

рая называется спектральной плотностью стационарного случай-

ного процесса ξ(t) (рис. 2.2). Из (2.13) следует, что функции Kξ(τ) и Sξ(ω) связаны между собой косинус-преобразованием Фурье. Таким образом,

Sξ(ω)=	2	∞∫Kξ(τ)cos ωτdτ .	(2.14)
	π
	0

Рис. 2.2. Графики функций Sξ(ωk ) и Sξ(ω)

Спектральная плотность по аналогии с функцией плотности вероятности обладает следующими свойствами:

30

1.Sξ(ω)≥ 0.

2.∞∫Sξ(ω)dω = ∞∫Sξ(ω)cos(0 ω)dω =Kξ(0)= Dξ.

0 0

Если ввести функцию S ξ (ω), определённую следующим образом:

Sξ (ω)= Sξ2(ω), ω≥ 0,

Sξ (ω)=	Sξ(−ω)		, ω< 0,
	2

называемую спектральной плотностью стационарного случайного процесса в комплексной форме, то эта функция помимо двух приведённых свойств обладает ещё третьим свойством – свойством чётности (рис. 2.3).

3. Sξ (ω)= Sξ (− ω).

Рис. 2.3. Графики функции спектральной плотности

Перепишем (2.8) в следующем виде:

	∞	xk		yk
	ξ(t)= mξ + ∑		(cos k∆ωt)∆ω+		(sin k∆ωt)∆ω .
				∆ω
	∆ω
	k =0

31

Пусть lim	xk	= X (ω),	lim	yk	= Y (ω), тогда при	T → ∞
∆ω→0	∆ω		∆ω→0	∆ω

можно получить интегральное каноническое представление ста-

ционарного случайного процесса:

ξ(t)= mξ + ∞∫ X (ω)cos ωtdω+	∞∫Y (ω)sin ωtdω,	(2.15)
0	0
где случайные функции X (ω) и Y (ω)	представляют так называе-

мый «белый шум» (см. подразд. 2.4). Статистические характери-

стики

этих

функций

следующие:

M [X (ω)]= M [Y (ω)] = 0 ,

K X (ω1, ω2 )

= KY (ω1, ω2 )= Sξ (ω)δ(ω2 − ω1 ), где δ(x) –

дельта-

функция.

eix + e−ix

eix −e−ix

Так

как

cos x =

,

sin x =

,

то

2

2i

ξ

k

(t)= x

k

cos ω t + y

k

sin

ω t =

xk −iyk

eiωkt

+

xk

+iyk

eiωkt .

Если

k

k

2

2

xk − iyk

xk + iyk

ξ(t)= zk eiωk t +

,

обозначить zk =

,

=

, то

zk eiωk t

zk

2

2

где знак

означает комплексную сопряжённость. Следовательно,

спектральное разложение стационарного случайного процесса в комплексной форме имеет вид

∞		iωk t						∞	iωk t
			+ zk e		iωk t		= mξ +			.	(2.16)
ξ(t)= mξ + ∑	zk e							∑zk e
k =0								k =−∞

Аналогичные действия можно провести с ковариационной функцией, представленной в виде (2.9), и получить

Kξ(τ)= ∑∞ Dk eiωk t .

k =−∞

Формулу (2.13) с учётом введения функции реписать в следующем виде:

(2.17)

Sξ (ω) можно пе-

32

Kξ(τ)= ∞∫Sξ (ω)eiωtdω,			(2.18)
	−∞
а функцию Sξ (ω) – как
Sξ (ω)=	1	∞∫Kξ(τ)e−iωτdτ.	(2.19)
	2π −∞

Формулы (2.18) и (2.19) представляют собой преобразование Фурье спектральной плотности Sξ (ω) и ковариационной функции Kξ(τ) в комплексной форме.

Поскольку спектральная плотность Sξ(ω) представляет собой

плотность распределения дисперсии случайного процесса по частотам его гармоник, то в некоторых приложениях теории случай-

ных процессов Kξ(0)= Dξ(t) интерпретируют как энергию стационарного случайного процесса, а Sξ(ω) – как плотность этой

энергии на единицу частоты. Эта трактовка появилась после применения теории стационарных случайных процессов в электротехнике.

Пример 5. Найти спектральную плотность Sξ (ω) элементарного случайного процесса ξk (t)= xk cos ωk t + yk sin ωk t .

Ранее было показано, что

mξk = 0 ,

Kξk (t1,t2 )= Dk cos ωk τ,

где

M [xk ]= M [yk ]= 0 ,

D[xk ]= D[yk ]= Dk ,

τ = t2 − t1 .

По формуле (2.14)

S

ξk

(ω)=

2

∞K

ξk

(τ)cos ωτdτ =

2

∞D

cos ω

τcos ωτdτ =

π

∫

π

∫

k

k

0

0

=Dk ∞∫[cos(ω− ωk )τ + cos(ω+ ωk )τ]dτ =

π0

=Dk ∞∫[ei(ω−ωk )τ + e−i(ω−ωk )τ + ei(ω+ωk )τ + e−i(ω+ωk )τ ]dτ,

2π 0

	так как по формуле Эйлера cos ωτ =	eiωτ + e−iωτ	. Далее,
		2

33

D

∞

∞

Sξk (ω)=

−i(ω−ωk )τd (− τ)+ ∫ei(ω−ωk )τdτ +

k (−1)∫e

2π

0

0

∞

∞

=

+ (−1)∫e

−i(ω+ωk )τd (− τ)+ ∫ei(ω+ωk )τdτ

0

0

=

D

0

∞

0

k ∫

ei(ω−ωk )(−τ)d (− τ)+ ∫ei(ω−ωk )τdτ + (−1) ∫ei(ω+ωk )(−τ)d (− τ)+

2π −∞

0

−∞

∞

=

D

∞

∞

=

+ ∫ei(ω+ωk )τdτ

k ∫ ei(ω−ωk )τdτ +

∫ei

(ω+ωk )τdτ

0

2π −∞

−∞

= Dk [δ(ω− ωk )+ δ(ω+ ωk )],

где δ(ω)= 1 ∞∫eiωτdτ – интегральное представление в виде пре-

2π −∞

образования Фурье δ-функции Дирака. Выражение для Sξk (ω)

можно было таким и оставить, но для полож ительных ω (так как ωk > 0 ), принимая во внимание свойства δ-функции, (см. табл. 6

на с. 141), δ(ω+ ωk )≡ 0 . Таким образом, Sξ(ω)= Dk δ(ω− ωk ).

Тогда Sξk (ω)= 12 Sξk (ω)= D2k [δ(ω− ωk )+ δ(ω+ ωk )].

Найдём теперь заданную спектральную плотность в комплексной форме. Функции Sξ (ω) и Sξk (ω) – действительные не-

отрицательные функции. Sξk (ω) – чётная функция, определённая на интервале (− ∞, ∞), Sξ (ω) – определена на интервале (0, ∞), и

на этом интервале Sξk (ω)= 12 Sξk (ω) (см. рис. 2.3). По формуле (2.19)

S	(ω)=	1	∞ K	ξk	(τ)e−iωτdτ =	1	∞D		cos ω τe−iωτdτ =
ξk			∫				∫	k	k
		2π −∞				2π −∞

34