D		∞	D	∞ eiωk τ + e−iωk τ
=		k	∫cosωk τe−iωτdτ =	k	∫
						2
	2π −∞			2π −∞

=	D		∞		=
		k	ei(ω−ωk )τdτ + e−i(ω+ωk )τdτ
	4π −∞∫

e−iωτdτ =

=	Dk	(−1)		∞	ei(ω−ωk )(−τ)d (− τ)+ (−1)	∞ei(ω+ωk )(−τ)d (− τ)		=
				∫		∫
	4π		−∞		−∞

=	D	∞	∞		=	D	k [δ(ω−ωk )+ δ(ω+ ωk )].
		k ∫ ei(ω−ωk )τdτ+	∫ei(ω+ωk )τdτ
	4π −∞		−∞			2

Пример 6. Найти спектральную плотность случайного процесса, если его ковариационная функция Kξ(τ)= De−α τ .

По формуле (2.19)

Sξk (ω)=

1

∞

Kξk (τ)e−iωτdτ =

1

∞

∫

∫De−α

τ

e−iωτdτ =

2π

2π

−∞

−∞

=

D

∞

(

τ

i

)dτ =

D

0

∞

=

∫e

∫ eατ−iωτdτ + ∫e−ατ−iωτdτ

− α

+ ωτ

2π

−∞

2π

−∞

0

=

D

1

e

ατ−iωτ

0

+

1

e

−ατ−iωτ

∞

=

2π

α − iω

− α − iω

−∞

0

=

D

1

+

1

=

D

2α

=

D

α

.

2π

α

2

+ ω

2

π

α

2

+ ω

2

2π α − iω

α + iω

Более подробно вопросы спектрального представления стационарных случайных процессов и соответствующие формулы, выражающие характеристики этих процессов, рассмотрены в под-

разд. 3.1 – 3.3.

2.3. Нормальные случайные процессы

Случайный процесс ξ(t, ω),t T R называется нормальным

или гауссовским процессом, если любые его конечномерные законы распределения являются нормальными, т.е. случайный вектор

35

(ξ(t1 ), ξ(t2 ),..., ξ(tn ))T имеет нормальное распределение при любых

t1,t2 ,...,tn T .

Нормальные случайные процессы являются одними из самых распространённых при решении технических задач. Согласно центральной предельной теореме любые случайные процессы приобретают свойство нормальных, если они возникают вследствие смешения большого числа малых воздействий. Кроме того, отклики узкополосных линейных систем также имеют нормальный характер, даже если на вход системы подаётся случайный процесс с негауссовским распределением.

Рассмотрим одномерное сечение нормального случайного процесса. В этом случае функция плотности вероятности будет иметь вид

			1		e−	(ξ1 −mξ )2		N (m	, D ).
f (ξ	,t )=					2Dξ , т.е. ξ
1	1		2πDξ				i	ξ	ξ

Двумерное гауссовское распределение, характеризующее пару сечений ξ(t1 ) и ξ(t2 ) нормального случайного процесса, рассмот-

рено в примере 3. Для многомерных случайных процессов целесообразнее пользоваться матричными обозначениями. Пусть

mξ(tk )= M [ξ(tk , ω)], k =1, n , вектор mn = (mξ(t1 ), mξ(t2 ),..., mξ(tn ))T ,

а ковариационная матрица

Kξ(t1,t1 )
K	ξ	(t		,t )
			2	1
K =		...
		(t		,t )
K	ξ		n
				1

Kξ(t1

,t2 )

... Kξ(t1

,tn )

Kξ

(t2

,t2 ) ...

Kξ

(t2

,tn )

и

K

≠ 0 .

...

...

...

K

(t

,t

)

...

K

(t

,t

ξ

n

2

ξ

n

n

)

Тогда n-мерная функция плотности вероятности для случайно-

го процесса ξ(t, ω),t T

будет иметь вид

f (x1, x2 ,..., xn ,t1,t2 ,...tn )=

1

×

(2π)n

R

(2.20)

1

n n

xi − mξ

(ti )

x j − mξ (t j )

×exp −

∑∑

Rij

,

2

R

i=1 j=1

D

(t

i

)

D

(t

j

)

ξ

ξ

36

где Rij – соответствующее алгебраическое дополнение определи-

							1	r12	...	r1n
теля		R		, а сам определитель R	равен: R =		r21	1	...	r2n	, при-
							... ... ... ...
							rn1	rn2	...	1

чём величины rij определяются по формуле (1.25).

Из формулы (2.20) следует, что n-мерная плотность вероятности нормального случайного процесса определяется лишь его математическим ожиданием и ковариационной функцией и больше ни от чего не зависит. Поэтому корреляционная теория даёт полное описание нормальных случайных процессов. Если

ξ(t, ω),t T – n-мерный стационарный нормальный процесс, то его

математическое ожидание – постоянный n-мерный вектор, а аргументом ковариационной функции является параметр τ = t2 − t1 .

Тогда оказывается, что n-мерная плотность распределения вероятности зависит лишь от разности отсчётов. Таким образом, гауссовский случайный процесс, стационарный в широком смысле, является стационарным и в узком смысле.

Многомерная характеристическая функция нормального процесса будет выражаться формулой

ϕ(α1,t1,α

2 ,t2 ,...,αn ,tn )= M exp i ∑n αk ξ(tk )

=

k=1

(2.21)

= exp i

n

1 n n

,

m

ξ

(t

k

)α

k

−

K

ξ

(t

k

,t

)α

k

α

∑

∑∑

l

l

k=1

2 k=1l=1

где αi – произвольные

вещественные

числа, ti T ,

Kξ(tk ,tl )= cov[ξ(tk ),ξ(tl )].

Выражения для двумерной и одномерной характеристической функции нормального случайного процесса (при нулевом математическом ожидании) имеют вид

ϕ(α1			,t2 )= exp −		2	2
	,t1	,α2		1	∑∑Kξ(tk ,tl )αk αl ,
				2 k =1l =1
		ϕ(α,t)= exp −		1 D		(t)α2	.	(2.22)
				2	ξ

37

Пример 7. Пусть Z1, Z2 ,..., Zn – совокупность случайных величин, совместное распределение которых нормальное. Показать,

что случайный процесс ξ(t)= ∑n Zl fl (t), где fl (t) – некоторые де-

l =1

терминированные функции, является нормальным. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса ξ(t).

Запишем для некоторого набора моментов времени t1,t2 ,...,tk

характеристическую функцию совместного распределения сече-

ний ξ(t1 ),ξ(t2 ),...,ξ(tk ):

ϕ(α1,t1, α2 ,t2 ,..., αk ,tk )= M exp i ∑jk=1ξ(t j )α j =

= M exp i ∑∑jk ln Zl fl (t j )α j =

=1 =1

		n	k			n
= M exp i∑Zl ∑ fl (t j )α j					= M exp i∑Zl cl			,
		l=1	j=1			l=1

где cl = ∑k fl (t j )α j . Так как совместное распределение случайных

j =1

величин Z1 , Z2 ,..., Zn нормальное, применим формулу (2.21):

ϕ(α1,t1, α2 ,t2 ,..., αk ,tk )=

= exp

i

n

M [Z

]c

l

−

1 n

n

K

ξ

(t

m

,t

)c

m

c

l

=

∑

l

∑ ∑

l

l =1

2 m=1 l =1

= exp

i

n

M [Z

]c

l

−

1 n

n

cov(t

m

,t

)c

m

c

.

∑

l

∑ ∑

l

l

l =1

2 m=1 l =1

n

n

k

Но ∑M [Zl ]cl = ∑

M [Zl

]∑ fl (t j )α j

=

l =1

j =1

l =1

k

n

k

= ∑M

∑Zl fl (t j )α j =

∑M [ξ(t j )]α j ,

j =1

l =1

j =1

38

		n		n		и
M [ξ(t)]= M ∑Zl			fl (t)	= ∑M [Zl ]fl (t)= mξ(t)
	l =1			l =1
n n			n	n	[Zl ]}cmcl =
∑ ∑cov(Zm , Zl )cmcl			= ∑ ∑{M [ZmZl ]− M [Zm ]M
m=1 l =1			m=1 l =1
= ∑n ∑n {{M [ZmZl ]− M [Zm ]M [Zl ]}∑k fm (ti )αi ×
m=1 l =1				i =1
k		k	k n			]−
× ∑ fl (t j )α j		= ∑ ∑ ∑ ∑n {[M [ZmZl ]− fm (ti )αi fl (t j )α j
j =1		i =1 j =1 m=1 l =1

− M [Zm ]fm (ti )αi M [Zl ]fl (t j )α j }}= ∑k ∑k {M [ξ(ti )ξ(t j )]− i =1 j =1

− mξ (ti )mξ (t j )}αi α j = ∑∑k k Kξ (ti ,t j )αi α j = i=1 j=1

=∑∑k k cov[ξ(ti ),ξ(t j )]αi α j , i=1 j=1

так как cov(Zm , Zl )= M [(Zm −mZm )(Zl −mZl )]

= M[(Zm − M[Zm ])(Zl − M[Zl ])]=

= M [ZmZl ]− M [Zm ]M [Zl ].

Таким

образом,

характеристическая

функция процесса ξ(t) удовлетворяет формуле (2.21), ибо

ϕ(α ,t ,α

,t

,...,α

,t

k

m

(t

)α

− 1

k

k

K

(t

,t

)α

α

2

2

k

k

)= exp i

∑

ξ

l

l

∑∑

ξ

m

l

m

1 1

l

l=1

2 m=1l=1

и рассмотренный случайный процесс ξ(t)= ∑k Zl fl (t) является

l =1

нормальным.

Пример 8. Найти одномерную характеристическую функцию нормального процесса ξ(t), имеющего функцию плотности рас-

пределения вероятностей, равную:

f (x,t)= f (x)=		1			(x − m)2
				exp −		.
					2D
		2πD

39