2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Стационарные случайные процессы

Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы. Свойство стационарности означает независимость некоторых характеристик от времени.

Рассмотрим одномерную плотность распределения f (x,t) стационарного случайного процесса ξ(t,ω). Эта плотность не

зависит от места сечения t , т.е. f (x,t1 )= f (x,t2 )= ... = f (x). Математическое ожидание и дисперсия такого процесса будут постоянны:

M [ξ(t)]= ∞∫ xf (x,t)dx = ∞∫xf (x)dx = mx = const,

	−∞	−∞	(2.1)
	D[ξ(t)]= ∞∫ (x − mx )2 f (x,t)dx = ∞∫(x −mx )2 f (x)dx = Dx = const.
	−∞	−∞
	Случайный процесс	ξ(t,ω),t T = [a,b] называется стацио-

нарным в узком смысле, если n ≥1,tk T , k =1, n и τ R , такого,

что tk + τ T , k =1, n , имеет место тождество

Fξ(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )≡ Fξ(x1,t1 + τ, x2 ,t2 + τ,..., xn ,tn + τ)

или, что то же самое,

fξ(x1,t1, x2 ,t2 ,..., xn ,tn )≡ fξ(x1,t1 + τ, x2 ,t2 + τ,..., xn ,tn + τ).

(2.2)

Очевидно, что из формул (2.2) сразу следуют формулы (2.1). Действительно, рассмотрим, например, одномерную плотность

распределения f (x,t)= f (x,t + τ). Тогда

∞∫	xf (x,t)dx = ∞∫xf (x,t + τ)dx =	∞∫xf (x,a)dx = mx (a)= const .
−∞	−τ∞=a−t,a R,t+τ=a	−∞

22

Аналогичная ситуация и с дисперсией. Ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов, т.е.

cov[ξ(t1, ω), ξ(t2 , ω)]= Kξ(t2 − t1 ). Действительно,

Kξ(t1,t2 )= ∞∫			∞∫(x1 − mx )(x2 − mx )f (x1,t1, x2 ,t2 )dx1dx2 =
		−∞ −∞
= ∞∫	∞∫(x1 − mx )(x2 − mx )f (x1,t1 + τ, x2 ,t2 + τ)dx1dx2 =						(2.3)
−∞ −∞			τ=a −t1,a R,t1	+τ=a	,t2 +τ=(t2 −t1 )+a
= ∞∫	∞∫(x1 − mx )(x2 − mx )f (x1, a, x2 , (t2 − t1 )+ a)dx1dx2 =
−∞ −∞			= Kξ(t2 − t1 ).
Если		τ = t2 − t1 ,		то	f (x1,t1, x2 ,t2 )= f (x1, x2 , τ)		и
Kξ(t2 − t1 )= Kξ(τ)= Kξ(− τ) –					по	свойствам ковариационной
функции (см. подразд. 1.4).
Случайный процесс ξ(t,ω),t T						называется стационарным в

широком смысле, если его математическое ожидание – постоян-

ный вектор,	а ковариационная функция зависит от разности аргу-
ментов, т.е.	M [ξ(t,ω)]= mx = const, Kξ(t1,t2 )= Kξ(t2 −t1 )= Kξ(τ).

Это означает, что у таких процессов функции распределения первого и второго порядков инвариантны по отношению к началу отсчёта времени, а остальные функции (более высоких порядков) могут не удовлетворять этому условию.

Очевидно, что если случайный процесс является стационарным в узком смысле, то он является стационарным и в широком смысле. Обратное не всегда справедливо.

Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать эргодическим свойством. Если это свойство присутствует, то в случайном процессе устанавливается стационарный режим функционирования, заключающийся в том, что любая реализация этого процесса рано или поздно пройдёт через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени. Это значит, что любая реализация эргодического стационарного процесса достаточной продолжительности несёт в себе сведения обо всей совокупности реализаций данного процесса.

23

В этом случае математическое ожидание, дисперсия и ковариационная функция определяются формулами (1.20), (1.22) и (1.24).

Таким образом, путём временного усреднения можно определить различные статистические характеристики стационарного эргодического случайного процесса.

Пример 4. Случайные величины A и ϕ независимы. Математическое ожидание и дисперсия первой из них равны соответственно: mA = 0 и DA = σ2 , а ϕ R(− π, π). Доказать, что случайный процесс ξ(t)= Acos(ω0t + ϕ) стационарен в широком смысле

( ω0 – неслучайная величина). Найдём mξ и Kξ :

mξ = M [ξ(t)]= M [Acos(ω0t + ϕ)]= M [A] M [cos(ω0t + ϕ)]= 0,

Kξ(t1,t2 )= M [ξ(t1 )ξ(t2 )]= M [Acos(ω0t1 + ϕ) Acos(ω0t2 + ϕ)]=

=M A2 (cos(ω0 (t1 + t2 )+ 2ϕ)+ cos(ω0 (t1 − t2 )))]=

2

=M A2 {M [cos(ω0 (t1 − t2 ))]+ M [cos(ω0 (t1 + t2 )+ 2ϕ)]}=

2

= 12 σ2 cos(ω0 (t1 − t2 ))+ 12 σ2M [cos(ω0 (t1 + t2 )+ 2ϕ)].

Чтобы найти значение последнего члена в предыдущей формуле, воспользуемся аппаратом числовых характеристик случайных функций. Именно, если X – непрерывная случайная

величина с плотностью вероятности f (x), а Y = ϕ(X ), то

my = M [ϕ(X )]= ∞∫ϕ(x)f (x)dx . В нашем случае

−∞

M [cos(ω0 (t1 +t2 )+ 2ϕ)]= −π∫π 21π cos(ω0 (t1 +t2 )+ 2ϕ)dϕ =

=

1

πcos(ω

(t

+t

)+ 2ϕ)d 2ϕ =

1

sin(ω

(t

+t

)+ 2ϕ)

π

=

∫

0

1

2

4π

0

1

2

−π

4π −π

= 41π[sin(ω0 (t1 + t2 )+ 2π)−sin(ω0 (t1 +t2 )−2π)]= 0.

24

Итак, процесс ξ(t) стационарен в широком смысле, так как его математическое ожидание постоянно ( mξ = 0 ), а ковариационная

функция

зависит

только

от

разности

τ = t2 − t1 :

Kξ(t1,t2 )= 12 σ2 cos(ω0 (t2 − t1 ))= Kξ(τ).

Рассмотрим подробнее вопрос об эргодичности стационарных случайных процессов. Конкретно свойство эргодичности определяется по отношению к некоторым выбранным числовым характе-

ристикам случайного процесса ξ(t).

Случайный процесс ξ(t,ω),t T = [0,l], интегрируемый на

множестве T с весом µ(t1,t2 )=1l , t1,t2 T и обладающий постоянным математическим ожиданием mξ , называется эргодическим

по отношению к математическому ожиданию mξ , если сущест-

вует предел

lim 1	∫l	ξ(t, ω)dt =mξ .	(2.4)
l →∞ l	0

Необходимым и достаточным условием эргодичности случайного процесса ξ(t) по отношению к математическому ожиданию

является выполнение равенства

lim	1		l l	K		(t	,t		)dt dt		= 0 .	(2.5)
		2	∫∫		ξ			2		2
l→∞ l						1			1
			0 0

Практическая проверка реализации условия (2.5) может быть во многих случаях затруднительной, поэтому часто в случае стационарных случайных процессов используют достаточное условие эргодичности:

lim

K

(t ,t

)= 0 .

(2.6)

t

2

−t

1

→∞

ξ

1

2

Аналогичным образом определяется эргодичность случайного процесса по отношению к дисперсии.

Стационарный случайный процесс ξ(t,ω),t T = [0,l], интегрируемый на множестве T с весом 1l , называется эргодическим по отношению к дисперсии Dξ , если существует предел

25