Так как mξ = m ≠ 0 , то воспользуемся формулой, аналогичной

(2.22),

но с

учётом

ненулевого

математического

ожидания:

ϕ(α,t)

1

Dξ(t)α

2

D

α

2

= exp imξ(t)α −

2

. Тогда ϕ(α,t)= ϕ(α)= exp imα −

2

.

2.4. Абсолютно случайный процесс (белый шум)

Случайный процесс ξ(t), у которого ковариационная функция равна произведению неслучайной функции f (t) на дельтафункцию δ(t2 − t1 )= δ(τ), т.е.

Kξ(t1,t2 )= f (t1 )δ(t2 − t1 )= f (t1 )δ(τ),

(2.23)

называется нестационарным белым шумом. Если f (t) не зависит от t , т.е. f (t)= c = const , то

Kξ(t1,t2 )= cδ(t2 − t1 )= cδ(τ)

(2.24)

и случайный процесс ξ(t) называется стационарным белым шу-

мом. Название «белый шум» возникло по аналогии с белым светом, который в видимой части имеет равномерный сплошной спектр.

Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержа-

τ+ε

щему точку τ = 0 , равен единице: ∫δ(t)dt =1, ε R .

τ−ε

Из этого следует, что значения рассматриваемого процесса ξ(t) в любые два, сколь угодно близкие моменты времени не кор-

релированы, а следовательно, независимы. Поэтому подобный процесс называют абсолютно случайным процессом. Ковариационная функция белого шума равна нулю для всех τ , кроме τ = 0 ,

при котором Kξ(τ)= ∞ и имеет структуру		дельта-функции
(рис. 2.4), т.е.
Kξ(t1	,t2 )= Kξ(τ)= 0, t1 ≠ t2 ,τ ≠ 0,	(2.25)
	∞, t1 = t2 ,τ = 0.

40

Рис. 2.4. Графики функций Kξ (τ) и Sξ (ω) белого шума

Найдём спектральную плотность абсолютно случайного процесса. По формуле (2.19)

Sξ (ω)=			1		∞ Kξ (τ)e−iωτdτ =			1	∞cδ(τ)e−iωτdτ =
				2π				2π
					∫				∫
					−∞				−∞
	c		∞			c				c
=				∫δ(τ)e−iωτdτ =			e−iω0		=		= const.
	2π					2π				2π
			−∞

Таким образом, спектральная плотность белого шума постоянна на всех частотах (см. рис. 2.4). Абсолютно случайный процесс можно представить как предельный случай последовательности коротких независимых и одинаково распределённых импульсов с большой дисперсией. Такие процессы встречаются в инженерных задачах при рассмотрении различных естественных помех типа теплового и радиошума.

При τ = 0 Kξ(τ)= ∞ , что физически невозможно, поэтому

формулы (2.23), (2.24) и (2.25) следует рассматривать как удобную математическую абстракцию.

Пример 9. На оси 0t имеется простейший поток событий (стационарный пуассоновский, см. подразд. 2.5) с интенсивностью λ . Случайный процесс ξ(t) в момент появления i -го события

(i =1,2,3,...) принимает случайное значение Xi и сохраняет его до

следующего события в потоке (рис. 2.5). В начальный момент ξ(0)= X 0 , причём случайные величины X 0 , X1,..., Xi ,... независи-

мы и одинаково распределены. Рассмотреть предельный случай

41

для случайного процесса ξ(t) при условии λ → ∞, Dx → ∞ и

Dλx = c = const .

Рис. 2.5. Графическое представление простейшего потока событий

Найдём вначале характеристики случайного процесса в непредельном случае. Пусть функция плотности вероятности распределе-

			f (x).		M [Xi ]= mξ (t)	∞
ния	равна			Тогда		= ∫xf (x)dx = mx ,
						−∞
	∞
D[Xi ]= ∫		(x −mx )2 f (x)dx = Dx .			Для нахождения	ковариационной

−∞

функции воспользуемся формулой Kξ(t1,t2 )= M [(ξ(t1 )−mx )(ξ(t2 )−mx )]. Если между точками t1 и t2 не появилось ни одного события,

то ξ(t1 )− mx = ξ(t2 )− mx и Kξ (t1, t2 )= M [(ξ(t1 )− mx )2 ]= Dx . Если же между точками t1 и t2 появилось хотя бы одно событие (см.

рис. 2.5), то M [(ξ(t1 )−mx )(ξ(t2 )−mx )]= 0 , так как величины Xi независимы по условию задачи.

Для вычисления ковариационной функции нужно применить формулу (1.17а) для дискретных случайных процессов (см. подразд. 1.4). В нашей схеме следует учесть два случая: когда в ин-

42

Kξ(1)(τ)= λ→∞lim Kξ (τ)= λ→∞lim Dxe−λ τ

тервале (t1,t2 ) длиной τ произошло хотя бы одно событие процесса ξ(t) или не произошло ни одного. Для пуассоновского про-

цесса

P(ξ(t,t + τ)= n)=

(λτ)n

e−λτ , где

λ = const – параметр пуас-

n!

P(ξ(t,t + τ)= 0)= e−λτ ,

соновского

процесса.

Очевидно,

а

P(ξ(t,t + τ)> 0)=1−e−λτ .

Тогда

по

формуле

(1.17а)

Kξ (t1

,t2 )= e−λτDx + (1−e−λτ ) 0 = Dxe−λτ .

Если

t2 < t1 ,

то

K

ξ

(t

,t

2

)= D

x

e−λ(−τ) и в общем случае

K

ξ

(τ)= D

x

e−λ

τ

. Таким об-

1

ξ(t)

разом, ковариационная функция рассматриваемого процесса

не зависит от вида функции f (x), а зависит только от дисперсии Dx , т.е. процесс ξ(t) стационарен. Вид ковариационной функции

Kξ(τ)	показан на рис. 2.6. При увеличении параметра λ ковариа-
ционная функция		Kξ(τ) «стягивается» к началу координат, т.е.
ведёт	себя как	дельтаподобная функция. При λ → ∞

. Отсюда

K(1)(τ)= Dx ,τ = 0,

ξ0,τ ≠ 0.

Рис. 2.6. Графики функции Kξ(τ) для разных значений параметра λ

43