Тема 7. Многофункциональные статистические критерии

Цель: Научиться применять критерии математической статистики для психологических задач предыдущих трех типов (типа сопоставить или сравнить две выборки по какому-либо качественно измеренному признаку; типа исследования изменений в значениях признака у одной и той же выборки испытуемых при замерах в двух определенных условиях, типа сравнения распределений признака) с помощью многофункциональных критериев j^* - углового преобразования Фишера и биномиального – m.

Задачи:

1. Познакомиться с критериями j^* и m.

2. Решение задач с использованием этих критериев.

3. Показать способы интерпретации результатов, где в обработке применяются данные критерия.

Теория.

Многофункциональные статистические критерии могут обрабатывать данные, измеренные в любой шкале. Сравниваемые выборки могут быть как «связные», так и независимые. Многофункциональные критерии позволяют решать задачи сопоставления уровней исследуемого признака, сдвигов в значениях исследуемого признака и сравнения распределений.

Данные критерии построены на сопоставлении долей, выраженных в долях единицы или в процентах. Суть критериев состоит в определении того, какая доля наблюдений в данной выборке характеризуется интересующим исследователя эффектом.

Таким эффектом может быть:

а) определенное значение качественно определяемого признака – например, решил задачу; выразил согласие с каким-либо предложением; наличие страха;

б) определенный уровень количественно измеряемого признака – например, решил задачу по I типу; выполнил задание менее, чем за 40 сек.;

в) определенное соотношение значений или уровней исследуемого признака – например, более частый выбор альтернатив А и Б по сравнению с альтернативами В и Г;

Критерий j^*- углового преобразования Фишера.

Критерий предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект. Суть критерия состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах, по формуле:

Ограничения: 1) если n₁=2, то n₂³30; 2) если n₁=3, то n₂³7; 3) если n₁=4, то n₂³5; 4) при n_1, n₂³5 возможны любые сопоставления.

Вычисление:

1) определить, что будет в данной задаче эффектом. Если данные, измеренные количественно, использовать критерий l для поиска оптимальной точки разделения.

2) подсчитать, сколько испытуемых в 1 выборке имеют эффект (k1), и перевести в процентную долю по формуле:
3) подсчитать, сколько испытуемых во 2 выборке имеют эффект (k2), и перевести в процентную долю по формуле:

4) перевести по таблице 8 приложения 2 процентные доли в величины им соответствующих углов.

5) найти эмпирическое значение по формуле:

6) Сопоставить эмпирические значения с критическими, где j^*_0,01=2,31, а j^*_0,05=1,64.

Различия между выборками считаются достоверными, если j*эмп³j*_0,01; не значимыми, если j*_эмп< j*_0,05; достоверными на 5% уровне, если

j*_0,05£ j*_эмп <j*_0,01.

Пример. С учащимися младшего школьного возраста 18 человек из полных семей и 18 из неполных проводилось исследование на определение степени допустимости лжи по тесту Р. Экмана. В таблице 51 представлены результаты мотива «избегание наказания». Можно ли утверждать, что у младших школьников из полных семей данный мотив более выражен.

Таблица 51

Количество детей с выраженностью мотива «избегание наказания»

Тип семьи	Мотив выражен	Мотив не выражен
полная	5	13
неполная	2	16

Решение: проверим ограничения: n₁=18_, n₂=18>5, следовательно, применим критерий j*. Будем считать, что «есть эффект» - выраженность мотива «избегание наказания». k₁=5; k₂=2. p₁=27,8%; p₂=11,1%.

Сформулируем экспериментальную гипотезу: у младших школьников из полных семей мотив «избегание наказания» более выражен, чем у детей из неполных семей.

По таблице 8 приложения 2 определим: j1=1,111; j2=0,679.

j*_эмп< j*_0,05 следовательно экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: у младших школьников из полных и неполных семей выраженность мотива «избегание наказания» не различается.

Биноминальный критерий – m

Критерий предназначен для сопоставления частоты встречаемости какого-либо эффекта с теоретической или заданной частотой его встречаемости. Он применяется в тех случаях, когда обследована лишь одна выборка.

Вычисление:

1) определим, что будет в данном случае эффектом и какова его вероятность r при теоретическом рассмотрении (см. 3 занятие);

2) вычислить теоретическую вероятность по формуле f_теор=n×r;

3) определить эмпирическую частоту встречаемости эффекта - f_эмп.

4) определить по таблице, в зависимости от r, соотношения f_эмп и f_теор, а также учитывая ограничения на объем выборки n, какой критерий применим в данном случае для обработки данных.

Таблица 52

Выбор критерия для сопоставления эмпирической частоты с теоретической при разных вероятностях исследуемого эффекта r

Заданная вероятность	fэмп > fтеор	fэмп < fтеор
r < 0,5	m для 2£n£50	c^2 для n³30
r = 0,5	m для 5£n£300	G для 5£n£300
r > 0,5	c^2 для n³30	m для 2£n£50

5) если применим критерий m, то m_эмп=f_эмп. Далее находим критические значения по таблице 9 или 10 приложения 2 для данного n и r. Эмпирическая частота считается достоверно выше теоретической, если m_эмп³m_0,01; не превосходит, если m_эмп< m_0,05; достоверно выше на 5% уровне, если m_0,05£ m_эмп <m_0,01. (Примечание: когда r>0,5 и f_эмп < f_теор, рекомендуется поменять эффект на противоположный, и тогда получится случай r<0,5 и f_эмп > f_теор).

Если применим критерий G, то G_эмп=f_эмп. Далее находим критические значения по таблице 3 приложения 2 для данного n. Эмпирическая частота считается достоверно ниже теоретической, если G_эмп£G_0,01; не ниже, если G_эмп>G_0,05; достоверно ниже на 5% уровне, если G_0,01< G_эмп £G_0,05.

Если применим критерий c², то

.

В данном случае n=1, поэтому c²_0,01=6,635, а c²_0,05=3,841 Если c²>c²_0,01, то эмпирическая частота считается достоверно выше (ниже) теоретической, если c²£c²_0,05, то не превышает (не ниже), если c²_0,05< c²£c²_0,01, то значимо выше (ниже) на 5% уровне.

Пример. В исследовании внутреннего плана действия (ВПД) Я.А. Пономарева в 1 классе в конце учебного года было следующее распределение на уровни (таблица 53). Отличается ли обследованный 1 класс «А» (30 человек) по количеству детей, находящихся на I уровне (4 учащихся) и V уровне (1 учащийся) от выборки Я.А. Пономарева?

Таблица 53

Процент детей, относящихся к разным уровням развития ВПД (по Я.А. Пономареву)

Уровни ВПД
I	II	III	IV	V
9	35	40	11	5

Решение: n=30. Для начала определим «есть эффект» - учащиеся, находящиеся на I уровне.

Тогда, f_эмп=4, .

f_т=0,09×30=2,7. f_эмп>f_т, r<0,5, n=30 следовательно применим критерий m.

Сформулируем экспериментальную гипотезу: количество учащихся, находящихся на 1 уровне, в 1 классе «А» выше, чем в выборке Я.А. Пономарева.

m_эмп=f_эмп=4. Для r=0,09, n=30 определим по таблице 10 приложения 2 m_0,01=8, m_0,05=6. m_эмп <m_0,05 следовательно экспериментальная гипотеза отвергается. Далее определим «есть эффект» - учащиеся, находящиеся на V уровне.

Тогда, f_эмп=1, .f_т=0,05×30=1,5

f_эмп<f_т, r<0,5, n=30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу: количество учащихся, находящихся на V уровне, в 1 классе «А» ниже, чем в выборке Я.А.Пономарева.

c²<c²_0,05, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: учащиеся 1 класса «А» по уровню развития ВПД не отличаются от выборки Я.А. Пономарева, если судить только по 1 и 5 уровням развития.

Пример. С подростками 11 лет проводился опросник «Я-концепция» Пирс-Хариса. На вопрос «Когда я вырасту, я стану важным лицом» из 17 девочек ответили «да» 8, а из 13 мальчиков – 9. Можно ли утверждать, что на данный вопрос в этом возрасте девочки достоверно чаще отвечают «нет», а мальчики достоверно чаще «да».

Решение: определим «есть эффект» - ответ на вопрос «да». Теоретически на данный вопрос ответы «да» и «нет» равнозначны. следовательно

.

Решим задачу для девочек: n=17, f_эмп=8. f_т=17×0,5=8,5

f_эмп<f_т, r=0,5, n=17, следовательно, применим критерий G.

Сформулируем экспериментальную гипотезу: у девочек 11 лет реже встречаются ответы «да», чем «нет».

G_эмп=8 Для n=17 по таблице 3 приложения 2. G_0,01=3 G_0,05=4.

G_эмп>G_0,05, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Решим задачу для мальчиков: n=13, f_эмп=9.

f_т=13×0,5=6,5. f_эмп>f_т, r=0,5, n=17 следовательно применим критерий m.

Сформулируем экспериментальную гипотезу: у мальчиков 11 лет чаще встречаются ответы «да», чем «нет».

m_эмп=9 Для r=0,5, n=13 по таблице 10 приложения 2 m_0,01=12 m_0,05=10.

m_эмп<m_0,05, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: В данной выборке подростков на вопрос «Когда я вырасту, я стану важным лицом» как девочки, так и мальчики одинаково часто отвечают «да» и «нет».

Пример. В пособии «Диагностика психолого-социальной дезадаптации детей и подростков. Психологический практикум. Методические рекомендации» под ред. Т.А. Шиловой приводятся результаты исследования словесно-логического мышления детей 7-8 лет по тесту Р. Амтхауера в модификации Л.И. Переслени. Так, в данном возрасте в среднем справляются с 73% заданий, предложенных в тесте. В 1 классе «А», где много внимания уделяют формированию мыслительных действий, из 40 заданий в среднем справились с 36,6, а в 1 классе «В» (класс коррекции) – с 20,8. Можно ли утверждать, что класс «А» достоверно превосходит среднестатистическую норму, а класс «В» достоверно ниже этой нормы.

Решение: определим «есть эффект» - справились с заданиями. n=40, ,f_т=29,2.

Решим задачу для 1 «А» класса. f_эмп=36,6

f_эмп >f_т, r>0,5, n=40, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу:

1 «А» класс по уровню решения словесно-логических задач превосходит среднестатистическую норму.

c²>c²_0,01 следовательно экспериментальная гипотеза подтверждается.

Решим задачу для 1 «В» класса. f_эмп=20,8

f_эмп <f_т, r>0,5, n=40 следовательно применим критерий m. В этом случае поменяем «есть эффект» на «не справился с заданиями», тогда r=1-0,73=0,27,

f_т=40-29,2=10,8, f_эмп=40-20,8=19,2.

Сформулируем экспериментальную гипотезу: 1 «В» класс по несформированности уровня решения словесно-логических задач превосходит среднестатистическую норму.

m_эмп=19,2. Для n=40, r=0,27 по таблице 11 приложения 2 определим m_0,01=19 m_0,05=17.

m_эмп >m_0,01, следовательно, экспериментальная гипотеза подтверждается.

Ответ: класс «А» достоверно превосходит среднестатистическую норму, а класс «В» достоверно ниже этой нормы.

Задачи:

7.1. С детьми 4-х возрастных групп проводилось исследование осознания временных отношений. Результаты представлены в таблице 54. Определите, от какого к какому возрасту происходят значительные изменения данного показателя.

Таблица 54

Результаты исследования осознания временных отношений детьми 3-7 лет

Возраст	Количество обследованных детей	Количество детей, справившихся с заданием
3-4 года	25	11
4-5 лет	23	11
5-6 лет	24	18
6-7 лет	24	22

7.2. В группе детей 5-6 лет проводилась беседа на выявление страхов (Методика А.И.Захарова) у 28 девочек и 24 мальчиков. В таблице 55 приведены результаты лишь 5 страхов. Выявляются ли половые различия выраженности страхов у детей?

Таблица 55

Выраженность страхов у детей 5-6 лет

Девочки						Мальчики
Назв. стра- ха Имя	Остаться одному	Заболеть	Умереть	Перед каки-ми-то детьми	Наказания	Назв. стра- ха Имя	Остаться одному	Заболеть	Умереть	Перед каки-ми-то детьми	Наказания
Елена	1	0	1	0	1	Саша	0	1	1	0	0
Ирина	1	0	1	0	0	Игорь	1	0	0	0	1
Женя	1	1	0	0	0	Марат	0	1	1	0	0
Рита	1	1	1	1	1	Кирилл	1	0	1	0	1
Кристина	1	1	1	0	0	Костя	0	1	1	0	0
Лилия	0	0	0	0	1	Ильнур	1	0	1	0	1
Регина	1	0	1	0	0	Арикназ	1	1	1	0	1
Айгуль	0	0	1	0	0	Сергей	0	1	1	0	0
Ксюша	0	0	1	0	0	Игорь	0	1	0	0	0
Эльза	1	0	0	0	0	Борис	1	0	1	0	0
Наташа	1	1	1	0	1	Глеб	1	1	0	0	0
Регина	1	0	1	1	0	Юра	0	1	1	0	0
Полина	0	0	0	0	0	Коля	1	0	1	0	0
Юля	1	1	1	1	1	Олег	0	1	1	0	0
Нурия.	1	0	1	0	0	Ирик	1	1	0	0	1
Лиля	1	1	1	0	0	Эдик	0	0	1	0	0
Гульнур	0	0	1	0	0	Денис	1	0	1	0	0
Света	1	0	1	0	0	Максим	1	1	1	1	1
Наташа	1	0	1	0	0	Глеб	1	1	1	0	0
Эльвира	1	1	1	0	0	Артур	0	0	1	0	0
Гуля	1	0	1	1	0	Артур	1	1	1	0	1
Нурия	1	1	0	1	0	Артем	1	0	1	0	0
Света	1	0	1	0	0	Кирилл	1	1	0	0	1
Алия.	0	1	1	0	0	Альберт	0	1	1	0	0
Эльмира	1	0	1	0	0	Примечание: 1 - наличие страха 0 - отсутствие страха
Алена	0	1	1	0	0
Даша	1	0	1	0	0
Ирина	1	0	1	1	0

7.3. Различаются ли дети средней и подготовительной группы по типу отношений, если в средней группе тип сотрудничества в совместной работе выбирают 10 человек из 17, а в подготовительной группе из 20 – 18 человек.

7.4. У студентов первокурсников изучалась мотивация к учебному процессу. Были выявлены три уровня: высокий, средний и низкий. Далее у всех тех групп исследовались трудности, оказывающие влияние на процесс адаптации к вузу. Результаты даны в таблице 56. Выявляются ли значимые различия между студентами с разным уровнем мотивации по выраженности трудностей?

Таблица 56

Показатели успешности адаптации у студентов первокурсников с низкой, средней и высокой мотивации к учебному процессу

Трудности	Высокая	Средняя	Низкая
Дидактические	9	13	15
Социально-психологические	11	13	14
Профессиональные	2	0	6

7.5. В тренинге профессиональных наблюдателей допускается, чтобы наблюдатель ошибался в оценке возраста не более чем на 1 год в ту или иную сторону. Наблюдатель допускается к работе, если он совершает не более 15% ошибок, превышающих отклонение на 1 год. Наблюдатель Н допустил одну ошибку в 50-ти попытках, а наблюдатель К – 15 ошибок в 50-ти попытках. Достоверно ли отличаются эти результаты от контрольной величины?

Таблица 57

Количество студентов, относящихся к полезависимому и поленезависимму стилю

Стиль	ПЗ	ПНЗ
Физико-математ	6	24
Филологический	22	8

7.6. У студентов физико-математического и филологического факультета выявлялся когнитивный стиль полезависимость-поленезависимость по тесту Гольтшельта. Результаты представлены в таблице 57. Можно ли утверждать, что на физико-математическом факультете достоверно больше поленезависимых студентов, а на филологическом – полезависимых.

7.7. Детям 6-7 лет предлагалось решить задачу на классификацию с изменяющимся признаком, где классификацию можно выполнить на основании признака формы, признака количества и признака величины. При решении задачи оказалось, что дети вначале чаще выбирают признак формы. Так, из 24 обследованных детей для 1 классификации признак формы выбрали 14. Можно ли утверждать, что признак формы достоверно чаще используется детьми для классификации?