Тема 3. Основные понятия теории вероятностей

Цель: Научиться находить вероятность событий.

Задачи:

1. Познакомиться с понятием вероятности и ее вычислением.

2. Решение задач на вычисление вероятностей.

Теория

Событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Например, опыт – решение тестовой задачи; события: А₁ – задача решена; А₂ – задача не решена.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Вероятность события А обозначается Р(А).

Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно должно произойти:

Р(U)=1.

Например, в некоторой группе испытуемых с предложенной тестовой задачей справляются все ее члены, тогда вероятность события «задача решена» в данной группе равна 1.

Невозможным называется событие V, которое в результате опыта не может произойти:

P(V)=0.

В предыдущем примере вероятность события «задача не решена» равна 0.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

0£Р(а)£1.

Полной группой событий называется несколько таких событий, из которых в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Например, полную группу образуют события: «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросание монеты, а неполную группу событий «появление карты червонной масти» и «появление карты бубновой масти» в опыте вынимания карты из колоды.

Несколько событий в данном опыте называются несовместимыми, если два из них не могут появиться вместе.

Например, несовместимыми событиями являются «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросания монеты. И совместимыми могут быть события «появление герба на первой монете» и «появление цифры на второй монете» при опыте бросания двух монет.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Например, равновозможными событиями являются события «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросания монеты, но являются не равновозможными «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросания погнутой монеты.

Если несколько событий образуют полную группу, несовместимы и равновозможны, то они называются случаями.

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Если результат опыта сводится к схеме случаев, то вероятность события вычисляется по формуле:

,	n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятных событию А.

Например, опыт – постановка цвета из 8 предложенных на первую позицию (по тесту Люшера); событие А – красный цвет испытуемый поставил на 1 позицию.

В этом случае n=8, m=1.

Следовательно, P(A)=0,125.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и В.

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

.

Например, опыт – постановка цвета из 8 предложенных на первую позицию (по тесту Люшера); событие А – красный цвет испытуемый поставил на 1-ю позицию и событие В – синий цвет испытуемый поставил на 1-ю позицию.

Вероятность того, что хотя бы одно из этих событий произойдет, будет вычислена по данной формуле, так как эти события несовместимы. Следовательно:

Р(А+В)=0,125+0,125=0,25.

В случае, когда события А и В совместимы, вероятность их суммы находится по формуле:

.

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А|В).

События А и В называют независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

Р(А|В)=Р(А); Р(В|А)=Р(В).

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

P(AB)=P(A)P(B|A), или P(AB)=P(B)P(A|B).

Для независимых событий А и В

P(AB)=P(A)P(B).

Например, опыт – постановка двух цветов, из 8 предложенных, соответственно на первую и вторую позицию (по тесту Люшера); событие А – красный цвет испытуемый поставил на 1-ю позицию и событие В – синий цвет испытуемый поставил на 2 –ю позицию.

Р(А)=1/8=0,125; P(B)=1/7=0,143, т.к. n=7, потому что один цвет уже выбран и общее количество случаев сокращается на 1. Следовательно, Р(АВ)=0,125×0,143= 0,017875.

Задачи:

3.1. Образуют ли полную группу события:

а) Опыт – выстрел по мишени;

События: А₁ – одно попадание;

А₂ – один промах.

б) Опыт – решение двух экспериментальных задач;

События: А₁ – решены правильно две задачи;

А₂ – не решены правильно две задачи.

в) Опыт – решение задачи на классификацию с изменяющимся признаком, где классификацию можно выполнить на основании признака формы, и признака количества и признака величины;

События: В₁ – при решении задачи выбраны поочередно все признаки;

В₂ – при решении задачи выбран только признак формы;

В₃ – при решении задачи выбран только признак количества;

В₄ – при решении задачи выбран только признак величины;

В₅ – задача не решена.

г) Опыт – выполнение теста, где предлагается ответить на 2 вопроса либо «да», либо «нет»;

События: С₁ – хотя бы один раз есть ответ «да»;

С₂ - хотя бы один раз есть ответ «нет».

3.2. Являются ли несовместимыми следующие события:

а) Опыт – выявление определенного страха у испытуемого;

События: В₁ – данный страх выявлен;

В₂ – данный страх не выявлен.

б) Опыт – два выстрела по мишени;

События: А₁ – ни одного попадания;

А₂ – один промах и одно попадание;

А₃ – два попадания.

в) Опыт – последовательный выбор цветов в 8 -цветовом тесте Люшера;

События: В₁ – на первой позиции зеленный цвет, на второй красный;

В₂ – на четвертой позиции желтый цвет;

В₃ – на третьей позиции синий цвет.

г) Опыт – выполнение теста, где предлагается ответить на 2 вопроса либо «да», либо «нет»;

События: С₁ – хотя бы один раз есть ответ «да»;

С₂ - хотя бы один раз есть ответ «нет».

3.3. Являются ли равновозможными следующие события:

а) Опыт – решение экспериментальной задачи;

События: D₁ – задача решена;

D₂ – задача не решена.

б) Опыт – бросание игральной кости;

События: А₁ – появление не менее трех очков;

А₂ – появление не более четырех очков.

в) Опыт – выбор цвета на первую позицию в 8 - цветовом тесте Люшера;

События: В₁ – выбор желтого цвета;

В₂ – выбор синего цвета;

В₃ – выбор красного цвета.

3.4. Являются ли случаями следующие группы событий:

а) Опыт – исследование стереотипов мужественности (всего 4 типа: мифологический, национальный, современный, религиозный);

События:

А₁ – на первой позиции мифологический тип;

А₂ - на первой позиции национальный тип;

А₂ - на первой позиции современный тип;

А₂ - на первой позиции религиозный тип;

б) Опыт – выстрел по мишени;

События: В₁ – попадание;

В₂ – промах.

в) Опыт – бросание игральной кости;

События: С₁ – появление не более двух очков;

С₂ – появление трех и четырех очков;

С₃ – появление не менее пяти очков.

г) Опыт – решение задачи на классификацию с изменяющимся признаком, где классификацию можно выполнить на основании признака формы, признака количества и признака величины;

События: В₁ – при решении задачи первоначально выбран признак формы;

В₂ – при решении задачи первоначально выбран признак количества;

В₃ – при решении задачи первоначально выбран признак величины;

3.5. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

3.6. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:

А – появление четного числа очков;

В – появление не менее 5 очков;

С – появление не более 5 очков.

3.7. От пункта А до пункта В две одинаковые по расстоянию и рельефу дорожки: правая и левая. Какова вероятность того, что будет испытуемым выбрана правая дорожка.

3.8. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т.п. Найти вероятность того, что число будет четным.

3.9. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:

А – выпадение герба на первой монете;

В – выпадение хотя бы одного герба;

С – выпадение хотя бы одной цифры;

D – выпадение герба на второй монете.

Определить Р(С); Р(СïА); Р(А); Р(АïD); Р(В); Р(ВïС); Р(ВïD).

3.10. В 8 - цветовом тесте Люшера необходимо последовательно выбрать цвета. Найти вероятность следующих событий:

А – выбран первым желтый цвет;

В – выбраны последовательно 1 и 2 раз синий и красный цвета;

С - выбраны последовательно 1, 2 и 3 раз зеленый, фиолетовый, желтый цвета;

D - выбраны последовательно красный, желтый, зеленый, фиолетовый, серый, синий, коричневый, черный цвета.