Тема 6. Выявление различий в распределении признака

Цель: Научиться применять критерии математической статистики для психологических задач типа: сравнение распределений признака.

Задачи:

1. Познакомиться с критериями t – Стьюдента, c² – Пирсона и l.- Колмогорова-Смирнова

2. Решение задач с использованием этих критериев.

3. Показать способы интерпретации результатов, где в обработке применяются данные критерия.

Теория

Одна из задач для исследователя в психологии состоит в сопоставлении двух распределений, которые могут различаться между собой по средним, дисперсии, асимметрии, эксцессу и по сочетанию этих параметров. Распределения также могут различаться и по частотам каждого разрядного интервала. Обнаружить различия между распределения можно с помощью параметрического критерия t – Стьюдента и непараметрических критериев c² – Пирсона и l.- Колмогорова-Смирнова.

t – критерий Стьюдента

Критерий применяется в случае, когда стоит задача сравнить средние показатели двух распределений.

Критерий основан на оценке общих частей двух распределений.

Ограничение критерия состоит в том, что распределения должны быть нормальными.

Эмпирическое значение критерия вычисляется по формуле:

- ошибка средней, Х1 и Х2 средние арифметические двух сравниваемых распределений; n – объем соответствующей выборки.

Эмпирическое значение критерия сравнивается с критическими для f степеней свободы по таблице 7 приложения 2, где .

Пример. В 10 и 8 классе предлагался невербальный тест структуры интеллекта Кеттелла. В таблице 33 представлены результаты суммы баллов по 4 субтестам. Различаются ли средние показатели в данных классах?

Решение:

;

Таблица 33

Обобщенный показатель теста Кеттелла

учащихся 10 и 8 классов

10 класс				8 класс
№ исп.	Балл	№ исп.	Балл	№ исп.	Балл	№ исп.	Балл
1	34	12	27	1	29	11	24
2	37	13	30	2	34	12	28
3	34	14	33	3	23	13	24
4	28	15	31	4	27	14	23
5	31	16	36	5	27	15	22
6	25	17	28	6	32	16	28
7	24	18	31	7	27	17	31
8	26	19	37	8	29	18	23
9	23	20	28	9	24	19	26
10	24	21	28	10	29	20	35
11	23	22	22
Х	29,09			Х	27,25
s	4,68			s	3,75

f=22+20-2=40. Для f=40 – t_0,01=2,704, t_0,05=2,021

t_эмп < t_0,05, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: 10 и 8 класс по средним показателям невербального интеллекта, измеренного по тесту Кеттелла, не различаются.

c² - критерий Пирсона

Критерий применяется в двух случаях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим (равномерным, нормальным или каким-то иным);

2) для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух эмпирических распределениях.

Признак может быть измерен по любой шкале, даже номинальной.

Ограничения:

1) n³30;

2) теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f³5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы можем применять метод c², только накопив определенное минимальное число наблюдений. Так, если количество разрядов (k) задано заранее, минимальное число наблюдений (n_min) определяется по формуле: n_min= 5k

3) выбранные разряды должны «вычерпывать» все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях;

4) необходимо вносить поправку на непрерывность при сопоставлении распределений признаков, которые применяют всего 2 значения. При внесении поправки значение c² уменьшается;

5) разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может отнесено ни к какому другому разряду.

Вычисление критерия:

1) при сравнении эмпирического с теоретическим равномерным распределением. Для этого лучше воспользоваться таблицей 34.

Таблица 34

Разряды	fэj	fт	(fэj-fт)	(fэj-fт)^2	(fэj-fт)/fт

Здесь в 1 столбике даются наименования разрядов,

во 2 столбике даются эмпирические частоты по каждому разряду f_эj, где j меняется от 1 до k,

в 3 столбике теоретическая частота, одинаковая для каждого разряда и вычисленная по формуле f_т=n/k,

в 4 столбике находится разность между эмпирической и теоретической частотами по каждому разряду,

в 5 столбике значения 4 столбика возводятся в квадрат по каждому разряду,

в 6 столбике находится отношение значений 5 столбика к теоретической частоте по каждому разряду.

Эмпирическое значение критерия есть сумма значений 6 столбика, т.е.

Далее находим число степеней свободы по формуле n=k-1 и определяем для данного n критические значения критерия (таблица 5 приложения 2).

Если c²>c²_0,01, то эмпирическое распределение отличается от равномерного, если c²£c²_0,05, то эмпирическое распределение не отличается от равномерного, если c²_0,05< c²£c²_0,01, то отличие эмпирического распределения от равномерного значимо на 5% уровне.

Таблица 35

Распределение учащихся по когнитивному стилю «дифференциальность-интегральность» и расчет данных по критерию c²

Стиль	fэмп	fт	(fэмп-fт)^2	(fэмп-fт)^2/fт
Дифференциально-теоретический	15	10	25	2,5
Дифференциально-деятельностный	12	10	4	0,4
Дифференциально-эмоциональный	6	10	16	1,6
Интегрально- теоретический	9	10	81	8,1
Интегрально- деятельностный	18	10	64	6,4
Интегрально- эмоциональный	0	10	100	10

Пример. У учащихся подросткового возраста (60 человек 13-14 лет) выявлялся когнитивный стиль «дифференциальность-интегральность» по методике Г.А. Берулава. В каждом стиле выделяются три стратегии: теоретическая, деятельностная, эмоциональная. Распределение учащихся по стилям представлены в таблице 35. Можно ли утверждать, что в данной группе учащихся равномерно представлены все данные стили?

Решение: n=60 >30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение учащихся по стилям «дифференциальность-интегральность» с тремя стратегиями является равномерным.

к=6, следовательно, f_т=60/6=10.

Для n=к-1=6-1=5

c²_0,05=11,070 c²_0,01=15,089

c²>c²_0,01, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: распределение учащихся по стилям «дифференциальность-интегральность» с тремя стратегиями отличается от равномерного.

2) При сравнении двух эмпирических распределений:

Вычисления также произведем с помощью таблицы 36.

Таблица 36

нр	fэ1j	fэ2j	fэ1j+fэ2j	fт1j	fт2j	(fэ1j-fт1j)^2 fт1j	(fэ2j-fт2j)^2 fт2j

Здесь в 1 столбце записывается наименование разрядов,

во втором столбце записываются соответствующие частоты первого эмпирического распределения (f_э1j), где j меняется от 1 до к,

в третьем столбце записываются соответствующие частоты второго эмпирического распределения (f_э2j),

в 4 столбце находится сумма эмпирических частот первого и второго распределения по каждому разряду отдельно (f_э1j+f_э2j),

в 5 столбце записывается теоретическая частота каждого разряда первого эмпирического распределения, вычисленная по формуле:	;
в 6 столбце записывается теоретическая частота каждого разряда первого эмпирического распределения, вычисленная по формуле:	;

в 7 столбце находится квадрат разности соответственно эмпирической частоты первого распределения с его теоретической частотой по каждому разряду и делится на эту теоретическую частоту ((f_э1j-f_т1j)²/ f_т1j),,

в 8 столбце находится квадрат разности соответственно эмпирической частоты второго распределения с его теоретической частотой по каждому разряду и делится на эту теоретическую частоту ((f_э2j-f_т2j)²/ f_т2j).

Значение критерия есть сумма всех значений 7 и 8 столбцов, т.е.

.

Далее также находится число степеней свободы n и по таблице 5 приложения 2 находятся критические значения.

Если c²>c²_0,01, то одно эмпирическое распределение отличается от другого, если c²£c²_0,05, то первое эмпирическое распределение не отличается от второго, если c²_0,05< c²£c²_0,01, то отличие двух эмпирических распределений друг от друга значимо на 5% уровне.

Пример. У учащихся подросткового возраста массовой школы (25 человек) и воспитанников детского дома (25 человек) определялись особенности образа «я» по методике «Каким я кажусь себе». В результате выделилось 7 категорий высказываний о себе. Данные представлены в таблице 36. Различается ли распределение количества высказываний о себе по категориям подростков детского дома и массовой школы?

Решение: n₁=88 (количество высказываний подростков массовой школы о себе), n₂=111 (количество высказываний подростков детского дома о себе). n₁, n₂ >30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение высказываний подростков детского дома и массовой школы о себе по различным категориям существенно отличаются.

Вычислим эмпирическое значение критерия в таблице 37.

Таблица 37

Количество высказываний подростков детского дома и массовой школы о себе и расчет критерия c²

№ катег. выск.	f1	f2	f1+f2	fт1	fт2	(f1-fт1)^2 fт1	(f2-fт2)^2 fт2
1	10	20	30	13,27	16,73	0,81	0,53
2	22	22	44	19,45	24,54	0,33	0,26
3	5	15	20	8,84	11,15	1,67	1,33
4	1	22	23	10,17	12,83	8,27	6,55
5	20	8	28	12,38	15,62	4,69	3,72
6	15	20	35	15,48	19,52	0,01	0,01
7	15	4	19	8,4	10,59	5,19	4,1

Категории высказывания:

1) формально-библиографические ролевые сведения; 2) отношения к окружающим людям; 3) отношение к своему возрасту, взрослости, самостоятельности; 4) умения, интересы, способности, интеллект; 5) поведение; 6) качества личности; 7) внешность, отношение к сверстникам противоположного пола.

χ²_эмп=0,81+0,33+1,67+8,27+4,69+0,01+5,19+0,53+0,26+1,33+6,55+3,72+0,01+4,1=37,47;

Найдем число степень свободы ν=7-1=6.

Для ν=6 χ²_0,01=16,812; χ²_0,05= 12,592.

χ²_эмп > χ²_0,01Þ принимается экспериментальная гипотеза.

Ответ: Количество высказываний о себе, относящихся к разным категориям, у подростков детского дома отличаются от количества высказываний подростков массовой школы.

Поправка на непрерывность вносится тогда, когда n=1. Формула тогда имеет следующий вид:

.

Пример. У студентов I курса педагогического вуза (факультетов физики и математики, биологии и химии, филологии) выявлялась принадлежность к когнитивному стилю «полезависимость-поленезависимость» по методике «Замаскированные фигуры» Готтшальтда. Результаты исследования представлены в таблице 37. Выявляются ли половые различия в принадлежности к данным стилям?

Решение: n₁=49 (количество юношей), n₂=53 (количество девушек), n₁, n₂ >30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу. Юноши и девушки студенты по принадлежности к когнитивному стилю «полезависимость-поленезависимость» различаются.

Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 38.

Таблица 38

Распределение девушек и юношей по принадлежности к стилю «полезависимость-поленезависимость» и расчет значения критерия χ²

Стиль	f1	f2	f1+f2	fт1	fт2	(f1-fт1-0,5)^2 fт1	(f2-fт2-0,5)^2 fт2
ПЗ	14	34	48	23,1	24,9	3,99	2,97
ПНЗ	35	19	54	25,9	28,1	2,86	3,28

к=2, следовательно, n=1.

Для данного n - χ²_0,01=6,635; χ²_0,05= 3,841.

χ²_эмп > χ²_0,01Þ принимается экспериментальная гипотеза.

Ответ: юноши и девушки по принадлежности к когнитивному стилю «полезависимость-поленезави-симость» различаются.

l - критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий применяется в двух случаях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим – равномерным, нормальным или каким-то иным;

2) для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий отвечает на вопрос о том, велика ли максимальная разность между накопленными относительными частотами двух распределений.

Ограничения:

1) при сравнении двух эмпирических распределений n_1,2³50, при сравнении эмпирического с теоретическим n³5.

2) разряды должны быть представлены хотя бы в ранговой шкале и должны быть упорядочены либо по возрастанию, либо по убыванию.

Вычисления:

1) Эмпирического распределения с теоретическим равномерным.

Для этого лучше воспользоваться таблицей 39.

Таблица 39

Разряды	fэj	fт	fэj^*	fт^*	fэj^*cum	fтj^*cum	d

Здесь в 1 столбце даются наименования разрядов,

во 2 столбце даются эмпирические частоты по каждому разряду f_эj, где j меняется от 1 до k,

в 3 столбце теоретическая частота, одинаковая для каждого разряда и вычисленная по формуле: f_т=n/k,

в 4 столбце находится относительная частота эмпирического распределения по каждому разряду по формуле: f_эj^*= f_эj/n,

в 5 столбце находится относительная частота теоретического распределения по формуле: f_т^*= f_т/n,

в 6 столбце найдем относительную накопленную частоту эмпирического распределения по каждому разряду по формуле: f_эj^*_cum= f_э(j-1)^*_cum+ f_эj^*,

в 7 столбце найдем относительную накопленную частоту теоретического распределения по каждому разряду по формуле: f_тj^*_cum= f_т(j-1)^*_cum+ f_тj^*,

в 8 столбце найдем разность между 6 и 7 столбцом по модулю по формуле:

d=| f_эj^*_cum - f_тj^*_cum |

Далее определим, в каком разряде наибольшее значение разности, и сравним его с критическим, определенным по таблице 6 приложения 2 для данного n.

Если d_max>d_0,01, то эмпирическое распределение отличается от теоретического, если d_max £ d_0,05, то эмпирическое распределение не отличается от теоретического, если d_0,05< d_max £ d_0,01, то отличие эмпирического распределения от теоретического значимо на 5% уровне.

Пример. С учащимися 3-х классов проводилось исследование уровня притязаний. Предлагалось 12 мыслительных задач (матрицы Равена) разной степени сложности (номер соответствовал степени сложности). Можно ли утверждать, что в этом возрасте первый выбор равномерно распределяется по всем номерам задач.

Решение: n=39 это больше 5. Разрядные интервалы представлены количественно и упорядочены по возрастанию, следовательно, можно применять кр. λ.

Таблица 40

Количество учащихся, выбравших данный номер задания и расчет критерия l

№ задач	fэj	fт	fэj^*	fт^*	fэj^*cum	fтj^*cum	d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	5 4 5 7 11 0 2 2 0 3 0 0	3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25	0.1282 0.1026 0.1282 0.1795 0.282 0 0.0513 0.0513 0 0.0769 0 0	0.0833 0.0833 0.0834 0.0833 0.0833 0.0834 0.0833 0.0833 0.0834 0.0833 0.0833 0.0834	0.1282 0.2308 0.359 0.5385 0.8205 0.8205 0.8718 0.9231 0.9231 1 1 1	0.0833 0.1666 0.25 0.3333 0.4166 0.5 0.5833 0.6666 0.75 0.8333 0.9166 1	0.0449 0.0642 0.109 0.2052 0.4039 0.3205 0.2885 0.2565 0.1731 0.1667 0.0834 0

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение первого выбора в 3 классе всех степеней сложности задач является равномерным.

Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 40, где f_т=39/12=3,33. d_max=0.4039 Для n=39 определяем по таблице 6 приложения 2. d_0,01=0.2574, d_0,05=0.2147

d_max> d_0,01 Þ распределение не является равномерным.

Ответ: В 3 классе учащиеся неравномерно при первом выборе избирают разной сложности номера задач.

2) При сравнении эмпирического распределения с эмпирическим:

Вычисления также произведем с помощью таблицы 41.

Таблица 41

Разряды	fэ1j	fэ2j	fэ1j^*	fэ2j^*2	fэ1j^*cum	fэ2j^*cum	d

Вычисления аналогичны предыдущему случаю, только вместо теоретической частоты записывается частоты второго эмпирического распределения.

После нахождения максимальной разности dmax вычисляется значение критерия по формуле:

Если l>1,63, то одно эмпирическое распределение отличается от другого, если l£1,36, то первое эмпирическое распределение не отличается от второго, если 1,36< l£1,63_, то отличие двух эмпирических распределений друг от друга значимо на 5% уровне.

Пример. С учащимися 3 класса проводилось исследование на умение обобщать по тесту «пятый лишний» на вербальном и невербальном материале с одинаковым количеством заданий. За каждое правильно выполненное задание ставился балл. Результаты сгруппированных данных представлены в таблице 41. Различается ли распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе?

Решение: n₁=60 и n₂=60 это больше 50. Разрядные интервалы представлены количественно и упорядочены по возрастанию, следовательно, можно применять критерий λ.

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе отличаются.

Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 42.

Таблица 42

Распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе и расчет критерия l

Балл	fэ1j	fэ2j	fэ1j^*	fэ2j^*2	fэ1j^*cum	fэ2j^*cum	d
2	3	1	0,05	0,02	0,05	0,02	0,03
3	5	4	0,08	0,07	0,13	0,09	0,04
4	12	6	0,2	0,1	0,33	0,19	0,14	dmax
5	11	12	0,18	0,2	0,51	0,39	0,12
6	10	17	0,17	0,28	0,68	0,67	0,01
7	9	10	0,15	0,17	0,83	0,84	0,01
8	6	5	0,1	0,08	0,93	0,92	0,01
9	3	3	0,05	0,05	0,98	0,97	0,01
10	1	2	0,02	0,03	1	1	0

l£1,36 Þ экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе не различается.

Задачи:

6.1. Со студентами, обучающихся на факультетах естественно-научного цикла (120 человек) и гуманитарного цикла (115 человек), проводилась проективная методика Е.С. Романова и О.Ф. Потемкина на представление о картине мира. Картина мира в рисунке отображалась в 5 видах: планетарная, пейзажная, непосредственное окружение, метафорическая и схематическая. Результаты представлены в таблице 43. Выявляются ли различия между этими студентами по характеру отображения в рисунке картины мира. Одинаково ли часто представлены данные виды картин мира у студентов? Представить данные графически и дать анализ.

6.2. У детей 5-6 лет, воспитывающихся в полных семьях (20 человек) и неполных семьях (20 человек), исследовались особенности воображения по методике «дорисовывание фигур» Е.П. Торренса в модификации О.М. Дьяченко и А.И. Кирилловой. Было получено, что дети используют различные сферы при создании рисунка. Результаты представлены в таблице 44. Различаются ли дети, воспитывающиеся в полных и неполных семьях, по частоте выбора сфер детьми. Представить график графически и дать ему анализ.

Таблица 43

Распределение студентов естественно-научного и гуманитарного цикла по характеру отображения картины мира на рисунке

Характер отображения	Количество студентов
	Естественно-научного	Гуманитар-ного
Планетарная	13	18
Пейзажная	57	50
Непосредственное окружение	18	16
Метафорическая	17	20
Схематическая	15	11

Таблица 44

Количество рисунков, относящихся к разным

сферам, у детей из полных и неполных семей

Сфера	Количество рисунков, соответствующих данной сфере
	Дети из полной семьи	Дети из неполной семьи
Люди	21	14
Животные и растения	39	26
Природные явления	31	23
Быт	29	34
Транспорт	21	18

6.3. В 3 классе изучался невербальный интеллект по тесту Кеттелла. В данном тесте первый субтест направлен на изучение умения находить закономерности в ряду. Третий субтест изучает то же умение на основе аналогий. Различается ли распределение частот (данные представлены в таблице 45) уровня нахождения закономерностей на основе аналогии и без них в 3 классе?

Таблица 45

Результаты исследования умения

находить закономерности в ряду

Балл	3	4	5	6	7	8	9
F1 (1 субт.)	2	5	8	11	9	9	6
F2 (3 субт.)	2	10	14	10	8	4	2

Таблица 46

Количество выборов мотивов учебной

деятельности студентов 1 и 5 курсов

№	Мотивы	1 курс	5 курс
1	Стать высоко квалифицированным специалистом	19	28
2	Получить диплом	28	34
3	Успешно продолжить обучение на последующих курсах	13	10
4	Успешно учиться, сдавать экзамены на «хорошо» и «отлично»	23	17
5	Постоянно получать стипендию	9	24
6	Приобрести глубокие и прочные знания	17	21
7	Быть постоянно готовыми к очередным занятиям	8	2
8	Не запускать изучение предметов учебного цикла	6	2
9	Не отставать от сокурсников	8	3
10	Обеспечить успешность будущей профессиональной деятельности	20	21
11	Выполнять педагогические требования	1	3
12	Достичь уважения преподавателей	15	6
13	Быть примером для сокурсников	2	1
14	Добиться одобрения родителей	9	7
15	Избежать осуждения и наказания за плохую учебу	9	4
16	Получить интеллектуальное удовлетворение	13	17

6.4. Со студентами 1 и 5 курса факультета педагогики и психологии по 40 человек каждого курса проводилась методика на изучение мотивов учебной деятельности студентов. Результаты представлены в таблице 46. Выявляются ли значимые различия в выраженности мотивов студентов 1 и 5 курса.

Таблица 47.

Количество суждений в понимании состояний и отношений человека на основе его мимики, отражающих разные качества, юношами с патологией поведения

Мимика	Олигофрения	Шизофрения	Эпилепсия
Действия	69	113	91
Состояние	309	222	225
Отношение	15	0	118
Качества личности	4	0	0
Интеллектуальные и волевые качества	42	90	104
Эмоционально-личностная оценка	22	26	36
Социальный статус и роль	0	28	5
Форма взаимодействия	5	17	0
Тропы	0	17	0

6.5. С юношами с патологией поведения олигофрения, шизофрения и эпилепсия (в каждой группе по 33 человека) проводилась методика «Диагностика способности к адекватному пониманию невербального поведения» В.А. Лабунской. На основе решения первой задачи, направленной на диагностику адекватности понимания состояний и отношений человека на основе мимики, выявлялись вербальные значения, относящиеся к определенным психологическим и социально-психологическим явлениям, которые отображены в таблице 47.

6.6. После коррекционной работы, направленной на развитие операции сериации, в экспериментальной группе (50 человек) и контрольной (60 человек) был проведен контрольный срез на уровень сформированности данной операции. Результаты представлены в таблице 48. Можно ли утверждать, что реализуемая программа была эффективной.

Таблица 48

Количество испытуемых, получивших балл

по тесту, изучающему операцию сериации

Баллы	Экспериментальная группа	Контрольная группа
1	3	6
2	9	30
3	24	18
4	14	6

6.7. В выборке студентов мужского пола технических вузов проводился тест Люшера в 8-цветном варианте (Сидоренко Е.В.,1996). Результаты представлены в таблице 49. Можно ли утверждать, что распределение желтого цвета по 8-ми позициям у данных испытуемых отличается от равномерного распределения?

Таблица 49

Эмпирические частоты попадания желтого

цвета на каждую из 8 позиций

Позиции желтого цвета
1	2	3	4	5	6	7	8
24	25	13	8	15	10	9	8

Таблица 50

Количество слов, прочитанных за 1 мин

№	8 класс	9 класс	№	8 класс	9 класс
1	108	121	11	110	116
2	130	104	12	128	131
3	99	135	13	98	150
4	100	126	14	125	108
5	116	115	15	130	132
6	105	141	16		134
7	129	106	17		125
8	125	116	18		139
9	130	102	19		100
10	130	167

6.8. Различаются ли средние показатели детей 7-8 лет с ЗПР и нормальным уровнем развития по уровню тревожности, измеренному по тесту тревожности Кондаша в обработке А.М.Прихожан? Результаты представлены в таблице 23 стр.47. Сравнение выполнить по всем видам тревожности: школьной, самооценочной и межличностной, а также общему уровню.

6.9. В 8 и 10 классах проводилось исследование темпо-ритмических показателей. Один из них – скорость чтения за 1 минуту. Результаты представлены в таблице 50. Различаются ли средние показатели скорости чтения в 8 и 10 классах?

6.10. В 5, 6 и 7 классах проводилось исследование обобщения по тесту Р.Амтхауера. Результаты даны в таблице 12, стр. 18. Различаются ли средние показатели в 5 и 6 классах, 6 и 7 классах, в 5 и 7 классах?