3.6 Поверхности. Сечение. Развертки
Мир поверхностей очень разнообразен. Они играют огромную роль в науке, архитектуре и технике. В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Она называется образующей, а линия, вдоль которой она перемещается, – направляющей. Такой способ образования поверхности называется кинематическим. На рисунке 3.22 прямая линия - образующая, а дуга, вдоль которой она перемещается, - направляющая.
Рисунок 3.22 – образование поверхности
Все поверхности можно подразделить на линейчатые, у которых образующая прямая линия и нелинейчатые (образующая кривая линия). К линейчатым относятся гранные поверхности (призма, пирамида) и поверхности вращения (конус, цилиндр). Нелинейчатые поверхности – сфера, тор, эллипсоид, параболоид, гиперболоид и т.д.
3.6.1 Гранные поверхности
Образующей является прямая линия, направляющая – ломаная. Гранная поверхность представляет из себя совокупность пересекающихся плоскостей – граней. Линии пересечения граней – ребра. Точки пересечения ребер – вершины.
Призматическая поверхность изображена на рисунке 3.23. Образующая l передвигается вдоль ломаной линии m, которая является направляющей. Все образующие поверхности параллельны.
23
m
l
Рисунок 3.23 – призматическая поверхность
Призмой называется геометрическое тело, образующееся при ограничении призматической поверхности двумя параллельными плоскостями – основаниями. Основания имеют форму многоугольников, боковые грани – параллелограммы. Если плоскости основания перпендикулярны боковым граням, то призма называется прямой, если нет то наклонной. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.
Пирамидальная поверхность изображена на рисунке 3.24. Один конец образующей l неподвижен, а другой передвигается вдоль ломаной линии m.
S
l
m
Рисунок 3.24 – пирамидальная поверхность
Пирамидой является геометрическое тело, образующееся при ограничении призматической поверхности плоскостью, которая является основанием. Точка S-вершина пирамиды. Боковые грани – треугольники. Пирамида будет называться правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины, попадает в центр основания.
3.6.2 Сечение гранных поверхностей. Развертки
Сечением поверхности называют плоскую фигуру, которая получается при пересечении поверхности с плоскостью. В сечении гранных поверхностей плоскостями образуются многоугольники.
24
Определение проекций сечения следует начинать с построения опорных точек, расположенных на очерковых образующих
поверхности, на ребрах, осях симметрии. |
|
|
На рисунке 3.25 показано |
построение сечения |
прямой |
треугольной призмы плоскостью |
, которая является фронтально – |
|
проецирующей. При этом фронтальная проекция сечения уже определена - это линия (1,2,3). Точки 1, 2, 3 - точки пересечения плоскости с ребрами призмы, - называются опорными.
Горизонтальная проекция сечения совпадает с проекцией призмы, так как грани призмы являются горизонтально – проецирующими плоскостями. На профильной плоскости проекции точек сечения находим по линиям связи на соответствующих ребрах. Точка 1 принадлежит ребру А, точка 2 – ребру В, и 3 – ребру С. Проекции точек соединяем с учетом видимости. Линия, соединяющая точки 2 и 3 на профильной плоскости невидима, так как она принадлежит грани, которая на профильной плоскости невидима.
Рисунок 3.25 – сечение призмы
Натуральная величина сечения определена способом вращения. Ось вращения удобно выбрать в точке 1. Секущая плоскость поворачивается до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций. Из горизонтальных проекций точек сечения проводятся линии перпендикулярно оси вращения или параллельно
25
оси Х. Таким образом, на горизонтальной плоскости получим натуральную величину сечения.
Развертка призмы будет состоять из прямоугольников, которыми являются боковые грани, и двух треугольников – верхнего и нижнего оснований. На развертке откладываются только натуральные величины сторон и углов. Натуральную величину боковых ребер – высоту призмы, возьмем на фронтальной проекции, а натуральные величины сторон основания – с горизонтальной проекции, так как основания параллельны горизонтальной плоскости.
Для того чтобы построить развертку усеченной части призмы, необходимо отметить на ней точки 1, 2, 3 и убрать часть, отсеченную плоскостью . Затем пристроить к развертке натуральную величину сечения. Развертка усеченной части призмы изображена на рисунке 3.26.
Рисунок 3.26 – развертка усеченной части поверхности призмы
Построение развертки пирамиды сводится к последовательному построению ряда треугольников (по трем их сторонам), каждый из которых равен натуральной величине соответствующей боковой грани пирамиды.
Чтобы построить развертку треугольной пирамиды (рисунок 3.27), необходимо определить натуральные величины ребер пирамиды любым способом. Если ребер много, то удобно воспользоваться способом прямоугольного треугольника. При этом нужно вынести построения всех треугольников в сторону от чертежа данной фигуры. Натуральные величины ребер можно найти и методом вращения вокруг горизонтально проецирующей оси i, проходящей
26