через вершину S. На рисунке 3.27 показаны оба способа нахождения натуральных величин ребер пирамиды.

После того, как определим длины ребер SA, SB, SC, приступаем к построению развертки. Для этого через произвольно выбранную точку S проводим прямую l, на которой откладываем натуральную величину ребра AS. Далее строим вершину B треугольника ABS методом засечек, затем вершину С треугольника BCS и вершину А треугольника CAS. После этого достраиваем к полученной развертке боковой поверхности основание пирамиды АВС, взятое с плоскости П1, на которую оно проецируется в натуральную величину, т.к. является горизонтальной плоскостью уровня.

На рисунке 3.27 показано построение на развертке точки К, расположенной на грани ABS.

Рисунок 3.27 – построение развертки пирамиды

3.6.3 Поверхности вращения

Поверхностью вращения общего вида называется поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси.

27

Существует широкий класс поверхностей вращения, у которых образующей является прямая линия. Из них наиболее известны цилиндрическая и коническая поверхности. Цилиндрическая поверхность образуется при вращении прямой линии вокруг оси, параллельной ей. Расстояние от оси i до прямой l называется радиусом.

Если образующая не параллельна оси, то поверхность носит название конической. Точка пересечения оси и образующей называется вершиной. На рисунке 3.26 изображены цилиндрическая и коническая поверхности.

Рисунок 3.26 – цилиндрическая и коническая поверхности

3.6.4 Сечение поверхностей вращения

В сечении поверхностей вращения образуются плоские кривые линии – окружность, эллипс, парабола, гипербола. При пересечении цилиндра плоскостью, параллельной его основанию образуется окружность. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то в сечении будет прямоугольник. Если же секущая плоскость расположена не параллельно основанию и не параллельно оси цилиндра, то в сечении образуется эллипс.

Конус является универсальной поверхностью, при сечении которой можно получить все виды плоских кривых - окружность, эллипс, параболу и гиперболу. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получим треугольник.

На рисунке 3.27 показаны возможные варианты пересечения конуса плоскостями, при которых получаются различные виды плоских кривых.

Горизонтальная плоскость Г дает в сечении окружность. Угол наклона этой плоскости к оси конуса = 90 . Плоскость Т,

28

параллельная одной из образующих конуса, то есть имеющая такой же угол наклона к оси = 0, образует в сечении параболу.

Если угол наклона секущей плоскости меньше угла конуса <0 - плоскость Р, то в сечении получается гипербола. В случае 0 - плоскость Q, в сечении будет эллипс.

Рисунок 3.27 – конические сечения

3.6.5 Развертки поверхностей вращения

Полная развертка прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а основание – длине окружности основания цилиндра и пристроенные к нему два круга-основания.

Для получения приближенной развертки цилиндрической поверхности заменяем последнюю на, вписанную в нее, 12-ти угольную правильную призму (рисунок 3.28).

Для этого делим окружность основания конуса на 12 частей, делая засечки из т.A,B,C,D в обе стороны радиусом этой окружности. Затем переносим полученные точки деления на линию нижнего основания фронтальной проекции цилиндра. Через точки на основании цилиндра проводим образующие, соответствующие ребрам 12-ти угольной правильной призмы. На пересечении образующих с линией секущей плоскости получаются точки для построения развертки.

Так как образующие цилиндра являются горизонтально проецирующими прямыми, то на фронтальной проекции цилиндра расстояние от основания до точек, лежащих на линии плоскости и принадлежащих соответствующим образующим, будет являться натуральной величиной. Основания цилиндра являются

29

горизонтальными плоскостями уровня и, значит, на горизонтальную плоскость проецируются в натуральную величину.

Произвольно выбираем место положения и строим вертикальную линию, равную одной из очерковых образующих, по которой мысленно «разрезаем» поверхность цилиндра, после чего проводим горизонтальные линии, соответствующие линиям оснований. Затем на линии основания откладываем 12 хорд (расстояний между точками деления на П1). Откладываем натуральные величины расстояний от основания до точек, полученных на пересечении секущей плоскости Σ и образующих цилиндра, соответствующих 12 образующим, вписанной правильной призмы. Точки 4 и 5, лежащие на очерке основания цилиндра, находим, измеряя наименьшую хорду по дуге окружности основания.

Полная развертка прямого кругового конуса представляет собой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса и пристроенный к нему круг основания. Для получения приближенной развертки конической поверхности, усеченной фронтально проецирующей плоскостью, заменяем последнюю на вписанную в нее 12-ти угольную правильную пирамиду (рисунок 3.29).

Для этого делим окружность основания конуса на 12 частей, делая засечки из т.A,B,C,D в обе стороны радиусом этой окружности. Затем переносим полученные точки деления на линию основания фронтальной проекции конуса. Соединяя их с вершиной, получим образующие, соответствующие ребрам 12-ти угольной правильной пирамиды. На пересечении образующих с линией секущей плоскости получаются точки для построения развертки.

Точка 1 принадлежит правой очерковой образующей конуса, проецирующейся на П2 в натуральную величину, т.к. она является фронтальной прямой уровня, поэтому на развертке расстояние от вершины S до точки 1 равно отрезку S212. Для определения расстояний от вершины S до остальных точек пересечения образующих конуса с секущей плоскостью проводим через их фронтальные проекции прямые, параллельные фронтальной проекции основания конуса, до пересечения с одной из очерковых (правой или левой) образующих конуса. Это соответствует вращению этих образующих до положения, параллельного плоскости П2.

Произвольно выбираем место положения вершины S и проводим дугу радиусом равным натуральной величине образующей

30

конуса (очерковой). Затем на дуге откладываем 12 хорд (расстояний между точками деления на П1). Откладываем натуральные величины расстояний от вершины S до точек, полученных на очерковых образующих, на соответствующих образующих на развертке конуса. Точки 4 и 5, лежащие на очерке основания конуса, находим, измеряя наименьшую хорду по дуге окружности основания.

31

32

Рисунок 3.28 – построение развертки цилиндра

33

Рисунок 3.29 – построение развертки конуса