1. Методические рекомендации по решению задач с применением функций сложного процента (временная оценка денежных потоков)

Изучение теоретических основ стоимости денег во времени необходимо начать с определения различия между простым и сложным начислением процентов. В таблице 1 проиллюстрировано накопление денежной суммы с применением простого и сложного начисления процентов.

Таблица 1 – Пример простого и сложного начисления процентов

(10% годовых)

Дата	Простое начисление процентов			Начисление по сложному проценту
	Сумма			Сумма
	начальная	процентов	конечная	начальная	процентов	конечная
01.01.2011	100	–	–	100	–	–
01.01.2012	100	10	110	100	10	110
01.01.2013	100	10	120	110	11	121
01.01.2014	100	10	130	121	12,1	133,1
01.01.2015	100	10	140	133,1	13,31	146,41

При сложном начислении процентов в накоплении участвует как первоначальная сумма вклада, так и прирост, полученный в предыдущем периоде.

Расчёт стоимости денег во времени при использовании сложного процента описывается шестью функциями денежной единицы (сложного процента), которые составляют три пары взаимообратных функций (рисунок 1).

I	II	III	IV	V	VI
PV i n	PMT i n	FV i n	FV i n	PMT i n	PV i n
FV	FV	PMT	PV	PV	PMT

Рисунок 1 – Шесть функций сложного процента:

три пары взаимообратных функций

Для расчёта стоимости денег во времени можно использовать таблицы сложного процента, математические выражения (таблица 2) или финансовый калькулятор.

В таблице 2 представлены формулы для расчёта. В расчётах используются следующие показатели:

1. PV – текущая стоимость;

2. FV – будущая стоимость;

3. PMT – равновеликий периодический платёж (аннуитет);

4. i – ставка дисконта;

5. n – период времени;

6. К – значение колонки в таблице сложного процента.

Таблица 2 – Функции сложного процента

Наименование функции	Основная формула	Формула для использования таблиц сложного процента
Сумма единицы по сложному проценту		,
Будущая стоимость обычного аннуитета единицы за период		,
Фактор фонда возмещения капитала		,
Текущая стоимость реверсии единицы за период		,
Текущая стоимость обычного аннуитета единицы за период		,
Взнос на амортизацию денежной единицы		,

Например, необходимо найти размер периодического равновеликого платежа в счёт погашения 1 тыс. руб., предоставленной на 2 года под 15% годовых.

Дано: PV = 1 тыс. руб.; n = 2 года; i = 15%.

Найти: PMT – ?

Решение:

тыс. руб.

Ответ: 0,615 тыс. руб.

Решим предыдущую задачу с использованием таблиц сложного процента.

Дано: PV = 1 тыс. руб.; n = 2 года; i = 15%.

Найти: PMT – ?

Решение:

0,615 тыс. руб.

(значение в таблице 3 на пересечении 2 года и 6 функции при 15% ежегодном начислении процентов).

Таблица 3 – Таблица шести функций денежной единицы

Годы	Накопленная сумма денежной единицы	Накопление денежной единицы за период	Фактор фонда возмещения	Текущая стоимость денежной единицы	Текущая стоимость аннуитета	Взнос на амортизацию денежной единицы
Ежегодное начисление, 15 %
1	1,150 000	1,000 000	1,000 000 0	0,869 565	0,869 57	1,150 000 0
2	1,322 500	2,150 000	0,465 116 3	0,756 144	1,625 71	0,615 116 3
3	1,520 875	3,472 500	0,287 977 0	0,657 516	2,283 23	0,437 977 0
4	1,749 006	4,993 375	0,200 265 4	0,571 753	2,854 98	0,350 265 4

Ответ: 0,615 тыс. руб.

Применение финансового калькулятора «Casio FС-100V»

1. Включить калькулятор.

2. Войти в систему финансовых расчётов путём нажатия клавиши

CDMP

3. Откроется меню ввода величин

Compund Int.
Set	: End
n	=0
I%	=0
PV	=0
PMT	=0
FV	=0
P/Y	=1
C/Y	=1

где Set	–	режим выбора даты оплаты (End – конец периода; Begin – начало периода);
P/Y	–	число платежей в год;
C/Y	–	число начислений сложного процента за год.

4. Прокрутка меню (ввод значений) производится с помощью клавиш



и



5. После ввода каждого известного значения необходимо нажать клавишу «да»

ЕХЕ

6. Если показатель не используется в расчёте, то он остаётся равным «0».

7. Вводите одно из известных значений PV, PMT или FV как отрицательную величину используя клавишу «–» (минус) перед значением.

8. Выберите величину, которую необходимо вычислить (установите курсор в строке) и нажмите клавишу

SOLVE

9. В строке искомого показателя появится рассчитанное значение.

Например, необходимо найти размер периодического равновеликого платежа в счёт погашения 1 тыс. руб., предоставленной на 2 года под 15% годовых

Compund Int.
Set	: End
n	=2
I%	=15
PV	=-1
PMT	=0	После нажатия клавиши «SOLVE» появится результат «=0,615»
FV	=0
P/Y	=1
C/Y	=1

Если необходимо определить размер ежемесячного периодического равновеликого платежа в счёт погашения 1 тыс. руб., предоставленной на 2 года под 15% годовых, то ввод данных несколько изменится

Compund Int.
Set	: End
n	=212
I%	=15
PV	=-1
PMT	=0	После нажатия клавиши «SOLVE» появится результат «=0,0484»
FV	=0
P/Y	=12
C/Y	=12

Для решения подобных задач можно использовать финансовые функции Excel (таблица 4).

Таблица 4 – Применение финансовых функций Excel

Функция Excel	Рассчитываемый показатель	Функция сложного процента
БС	FV	1, 2
ПС	PV	4, 5
ПТЛ	PMT	3, 6
КПЕР	n	1, 2, 3, 4, 5, 6
СТАВКА	i, %

Например, необходимо определить будущую стоимость первоначального вклада в размере 1 000 руб., предоставленного на 4 года под 12% при ежегодном начислении процентов.

Решение:

Воспользуемся функцией Excel «БС» − будущая стоимость. Занесём имеющиеся данные:

• Ставка=0,12 (i=12 %);

• Кпер=4 (n=4);

• Пс=-1 000 (PV=-1 000);

• Тип=0 (0 или 1 – указывает на тип платежа – обычный или авансовый).

Здесь также один из известных показателей (Бс, Пс или Плт) заносится со знаком «-» (минус).

После занесения всех данных результат отображается на экране. В нашем случае БС=1 573,519 36 или 1 573,52 руб.

Ответ: 1 573,52 руб.