- •12. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •1. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда
- •2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
- •3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
- •4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами
- •5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •8. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
- •9. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании
- •10.1 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
- •15.Основные элементарные функции комплексной переменной
- •16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции
- •17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •19.Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции
- •20. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды
- •21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана
- •22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек
- •23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах
- •24. Вычисление вычетов
- •25. Вычисление интегралов вида,с помощью вычетов
- •26. Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные системы функций. Основная тригонометрическая система функций
- •27. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •28. Сходимость в среднем функционального ряда. Связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье
- •29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций
- •30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
- •32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре
- •33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье
- •34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье
- •35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления
- •36. Приложение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
an ∈ R, , an≥0, Sn+1=Sn+an+1≥Sn ,(Sn) – неубывающ.
(Sn) сх
∃число
М,
Sn≤М,Vn(т.Вейерштрасе)
Теор(Критерий сходимости ряда с неотр. Чл.): Для того, чтобы ряд с неотр. Чл. Сходился необх. И дост., чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Инт призн. Сход:
Теор(Коши-Маклорена):Пусть ф-ция f(x):[1;+∞) -> R обл св-ми:
Неотрицательна, т.е f(x)≥0,
Vx∈[1;+∞)Непрерывна на [1;+∞)
Невозрастающ. На [1;+∞), тогда и рядсх или расх одновр,схсх
аn+1 ≤ ≤Sn (*) Sn-a1≤≤Sn
I.Пустьсх и равенI,
где I-число.
Из
(*) Sn-a1≤a1+≤ a1++(≥0)
==a1
+I=M, Vn
(Sn) – огр, an≥0, => по кр. Сх-ти ряда с неотр. Членами. сход. АсхA=>B
В сх Ā=> т. е. если ряд расх, то и интегр расх.
II.Пусть расх. , тогдаIn+1 = неогр.
Из (*) Sn≥In+1=, т.е. послед (Sn)также неогр. по кр. Сход. Ряда с неотр член. Ряд расх. =>,A=>B, т. е если рядсх, то исх
НЕ(B=>A)
сх, если α>1, расх, еслиα≤1
сх, если α>1, расх, если α≤1
сх, если p>1, расх, если p≤1
3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
Теор 1. Если
для рядов
ивыполн нер-во 0≤an≤bn
для Vn∈N,
то ряд bn сх =>ряд аn сх или an расх =>bn
Следствие
Если 0≤an≤bn,где ∈ R, , то верно заключение теор 1.
Замечание: теор 1. Верна, если 0≤an≤bn начинает выполние с некоторого места.
Теор 2. (предельный
признак сравнения):
Пусть bn>0,
an>0,
для Vn∈N
Пусть ∃ =c, тогда:
Если 0<c<+∞, то ряды и сх или расходновременно
Если с=0, то из того, что сх след, что сх
Если с=+∞, то из того, что сх след, что сх,расх след, чторасх
Замечание:
С=1 ∃ an=bn
A) ,a≠0, сх, если α<1, расх, если α≥1
B)сх, если α>1, расх, если α≤1
сх, если p>1, расх, если p≤1
4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами
Если ∃ (,an>0), то
При 0<l<1 ряд сх.
l>0 ряд расх.
l=1, ничего нельзя сказать
Док-во
, где l-число
Vɛ>0
∃
N=N(ɛ)
Vn>N(ɛ)
=> ||
< ɛ
l - ɛ <<l+ ɛ ( l - ɛ)an<an+1<an(l+ɛ)
0≤l<1
Пусть l+ ɛ<1 α::= l+ ɛ
an+1<αan Vn≥N
и
= сх =>сх
l>1
Пусть ɛ>0, чтобы l-ɛ>0
>l- ɛ>1
an+1>an,Vn≥N(ɛ),
an≠0=>ряд
расх.
l=1
расх
1
5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами
Если ∃ (,an>0), то
При 0<l<1 ряд сх.
l>0 ряд расх.
l=1, ничего нельзя сказать
Док-во:
, где l-число
Vɛ>0
∃
N=N(ɛ)
Vn>N(ɛ)
=>
||
< ɛ
l - ɛ <<l+ ɛ далее смотри предыдущую теорему
Замечания:
n!– ф-ла Стерлинга
6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Знакочередующимся наз-ся следующий ряд
an1,-an2, an3,-(-1)n-1an=
Теор(признак Лейбница) Если an ↓0, т. е.
=0
(an) монотонно убывает (не возраст.)
an≥an+1Vn,
то
сх, причем
(S-Sn)≤an+1
an=
↓0,
7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
Знакопеременный ряд – ряд вида , содержащий как положительные, так и отрицательные члены. Пр:1) 1-1+1-1+1-1+1-1+…+(-1)+…=
Т: Если сходится ряд ,то сходится и ряд
Д-во:
сх => сх
0≤an + |an|≤2|an|
сх <=сх
=-
Сх <= cx и cx
Ряды с комплексными членами.
, zn∈C
Zn = an+i*bn
cx сх
Т: Если сх ряд , то сход и ряд
Д-во:
|zn| = an ≤ =|zn| bn≤ =|zn|
Дано:
cx сх
↓ ↓
сх
1 и 2 => cx
, ∈R или ∈C
О: Если ряд cx, то ряд называетсяабсолютно сходящ.
Если ряд раcx, а сх, то рядназ.условно сходящ.
Сх сх абсол.
Расх сх условн
Расх расх
Т. Абсолютно сходящ ряд остается абс. Сход. При любой перестановке его членов, его сумма не изменяется.
Замечание: утверждение теор. справедливо для любого сх-ся знакопостоянного ряда
∈R
Т.(Римана) Если ряд an сход. усл, то какое бы и было наперед заданное число А, можно так переставить члены этого ряда, что сумма будет равна А. Более того, члены условно сх-ся ряда можно переставить так, что преобразованный ряд станет расходящимся.