- •12. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •1. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда
- •2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
- •3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
- •4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами
- •5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •8. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
- •9. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании
- •10.1 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
- •15.Основные элементарные функции комплексной переменной
- •16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции
- •17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •19.Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции
- •20. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды
- •21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана
- •22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек
- •23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах
- •24. Вычисление вычетов
- •25. Вычисление интегралов вида,с помощью вычетов
- •26. Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные системы функций. Основная тригонометрическая система функций
- •27. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •28. Сходимость в среднем функционального ряда. Связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье
- •29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций
- •30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
- •32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре
- •33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье
- •34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье
- •35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления
- •36. Приложение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций
и – неравенство Бесселя
для ортогональных систем
4)(?) f(x)L2[a, b] , f(x)~, Ck=
T Для того, чтобы обобщенный ряд Фурье – сходился в среднем к функцииf(x) на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось для f(x) в равенство, т.е. и
Доказательство:
Ряд сходится в среднем на [a, b], если
,
–равенство Парсеваля – Стеклова
. Ортогональная система функций (0, 1, 2, …, n) в пространстве L2[a, b] называются полной, если для выполняется равенство Парсеваля-Стеклова
E3 – Евклидово 3хмерное пространство, E3(– ортонормированный базис |ei | = 1
, ,
–теорема Пифагора для пространства E3.
В ортонормированном базисе ||f||2=– теорема Пифагора в бесконечномерном пространстве.
Вывод: Любая функция f(x) принадлежащая пространству L2[a, b] может быть разложена в сходящийся к ней в среднем ряд Фурье по ортогональной на отрезке [a,b] системе функций, если эта система является полной в пространстве L2[a, b].
30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)
Пусть f(x) кусочно непрерывная функция, периодичная с периодом T=2l , [-l,l]
Пример:
), где ||1||=
f(x)~==
(солнышко)
О. Тригонометрический ряд , коэффициенты которого определены по формулам (солнышко) называется тригонометрическим для периодичной функции f(x).
Если f(x) четная, то , если нечетная, то
Если f(x) – четная, то
Если f(x) - нечетная, то
Уравнение Ляпунова
Т. основная тригонометрическая система функций является полной в пространстве .
- число ⇒ сходитcя ⇒ a→ 0, n→ ,b→ 0, n→
Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье
кусочно-непрерывная функция f(x) называется кусочно-гладкой на [a,b], если её производная имеет конечное число точек разрыва 1 рода и существует правосторонняя производная в точке A и левосторонняя в точке B.
T1 Если функция f(x) т. е она кусочно-непрерывна на[-l, l], то тригонометрический ряд Фурье сходится к f(x) в среднем.
Т2 (Дирихле) Если f(x) является кусочно гладкой на [-l, l], то её тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка для суммы S(x) ряда Фурье :
S(x) = f(x), если x - точка непрерывности функции f(x)
S(, еслиточка разрыва 1 рода функции f(x)
S(-l) = S(l)=
T3 Если функция f(x) яфляется кусочно гладкой и непрерывной на [-l, l] и f(l)=f(-l), то и тригонометрический ряд Фурье сходится к f(x) на [-l, l] равномерно.
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных ф-ций на интервале .
Пусть функция f(x) – четная, т. е. f(-x)=f(x).
Значит: ;
Ряд Фурье для четных функций – ряд только по косинусам:
Пусть функция f(x) – нечетная, т. е. f(-x)=-f(x).
Значит:
Ряд Фурье для нечетных функций – ряд только по синусам.
31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
f(x) – непериодичная функция
Вместо функции f(x) рассматривают функцию f*(x) с периодом 2l, причем [a, b][-l, l] и на [a, b] функция f*(x) совпадает с функцией f(x).
Поскольку функция f*(x) –периодическая, то её разлагают в ряд Фурье.
Рассмотрим один важный случай, пусть функция f(x) задана на интервале (0, l). Её надо доопределить на интервале (-l, 0). Можно это сделать двумя способами: четным и нечетным. В первом случае мы получаем ряд Фурье только по косинусам, во втором – только по синусам.
1) Пусть f(x) задана на (0, l). Доопределим её четным образом. Функция будет выглядеть так:
Пусть f(x) задана на (0, l). Доопределим её четным образом. Функция будет выглядеть так: