- •12. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •1. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда
- •2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
- •3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
- •4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами
- •5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •8. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
- •9. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании
- •10.1 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
- •15.Основные элементарные функции комплексной переменной
- •16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции
- •17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •19.Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции
- •20. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды
- •21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана
- •22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек
- •23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах
- •24. Вычисление вычетов
- •25. Вычисление интегралов вида,с помощью вычетов
- •26. Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные системы функций. Основная тригонометрическая система функций
- •27. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •28. Сходимость в среднем функционального ряда. Связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье
- •29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций
- •30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
- •32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре
- •33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье
- •34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье
- •35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления
- •36. Приложение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре
Пусть – периодическая функция T=2l,
Понятие о спектрах
Функция вида .
A – амплитуда, wt – фаза колебания, – начальная фаза,w – круговая частота
Функция вида –гармоника,т.к.
Любой периодический сигнал T=2l, удовлетворяющий условиям Дирихле, представляется в виде такой суммы иn-ых гармоник, характеристики которых выражаются через коэффициенты ряда Фурье.
–называется n-й комплексной гармоникой.
–сопряженный;,n=0,1,2…
О. Последовательность – называется амплитудным спектром сигналаf(t) с периодом 2l
Последовательность называется фазовым спектром сигналаf(t)
f(t)=I(t) – сила тока, T=2l, R=1 – сопротивление.
Энергия сигнала равна работе. – энергия сигнала
Амплитудный спектр сигнала f(t) несет всю информацию о энергии сигнала и показывает как она … по частотам.
33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье
2l – периодическая функция.
f(x) – непериодическая функция, задана (-∞;+∞)
Считаем f(x) периодической с T=2l+∞
f(x) – абсолютно интегрируема на (-∞;+∞),т. е. и конечен,
L’(-∞;+∞)- класс абсолютно интегрируемых функций.
Пусть f(x) на каждом конечном отрезке является кусочно-гладкой, т. е. удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Выражение – называют интегралом Фурье дляf(x);
T Пусть функция f(x) является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой для любого отрезка [-l; l] и абсолютно интегрируемой на (-∞;+∞). Тогда интеграл Фурье I(x) сходится в каждой точке и справедливо
I(x)=f(x), если x – точка непрерывности функции f(x)
, если x – точка разрыва 1 рода функции f(xb)
Замечания:
Если f(x) – четная, то b(w)=0; a(w)=;
Если f(x) – нечетная, то a(w)=0; b(w)=;
f(x) абсолютно интегрируема на .
Можно продолжить f(x) на , либо четным образом, либо нечетным.
b(w)=0; a(w)=
Пусть x=0, – Интеграл Дирихле
Интеграл Фурье задает непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа гармоник, близких по частоте.
Комплексная форма интеграла Фурье
(сходится в смысле p.)
–Комплексная форма интеграла Фурье
34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье
Пусть f(x)L’(-∞;+∞) – (абсолютно интегрируемая функция) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на любом отрезке [-l, l], тогда почти во всех точках f(x):
–спектральная плотность функции f(x) ; - амплитудный спектр;– фазовый спектр.
Пусть f(x) – нечетная функция ,
- четная функция,
, где g(x) - четная, h(x) – нечетная
;
35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления
Операционное исчисление – один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.
Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.
От искомых функций переходят к некоторым другим функциям – их изображениям.
Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
Получив некоторый результат при действиях над изображениями возвращаются к самим функциям.
В качестве изображения, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа
Пусть f(t) – действительная функция действительного переменногоt( подtбудем понимать время или координату)
Функция f(t) называетсяоригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:
f(t) 0 приt<0.
f(t) – кусочно-непрерывная приt0, т. е. она непрерывна или имеет точки разрываIрода, причем на каждом конечном промежутке осиtтаких точек лишь конечное число.
Существуют такие числа M>0 иs00, что для всехtвыполняется неравенство |f(t), т. е. при возрастанииtфункцияf(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.
Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.
Первое условие означает, что процесс начинается с какого-то момента времени, удобнее считать, что в момент t=0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положитьs0= 0), степенныеtn (n>0) и другие ( для функций видаf(t) =условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функцияf(t) =( не удовлетворяет второму условию).
Замечание: Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительного переменного, т.е. иметь видf(t)=f1(t)+if2(t); она считается оригиналом, если действительные функцииf1(t) иf2(t) являются оригиналами.
Изображением оригиналаf(t) называется функцияF(p) комплексного переменногоp=s+i, определяемая интегралом
Операцию перехода от оригинала f(t) к изображениюF(p) называютпреобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналомf(t) и изображениемF(p) записывается в виде(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – соответствующими большими буквами).
T1 (Существование изображения). Для всякого оригиналаf(t) изображениеF(p) существует (определено) в полуплоскостиRep=s>s0, гдеs0– показатель роста функцииf(t), причем функцияF(p) является аналитической в этой полуплоскости (s>s0)/
Следствие T1.(Необходимый признак существования изображения). Если функцияF(p) является изображением функцииf(t) , то
Т2 (О единственности оригинала). Если функцияF(p) служит изображением двух оригиналовf1(t) иf2(t), то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
Свойства преобразования Лапласа:Линейность, подобие, смещение, запаздывание.