- •12. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •1. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда
- •2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
- •3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
- •4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами
- •5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •8. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
- •9. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании
- •10.1 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
- •15.Основные элементарные функции комплексной переменной
- •16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции
- •17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •19.Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции
- •20. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды
- •21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана
- •22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек
- •23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах
- •24. Вычисление вычетов
- •25. Вычисление интегралов вида,с помощью вычетов
- •26. Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные системы функций. Основная тригонометрическая система функций
- •27. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •28. Сходимость в среднем функционального ряда. Связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье
- •29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций
- •30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
- •32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре
- •33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье
- •34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье
- •35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления
- •36. Приложение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
8. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
Пусть u1(x), u2(x),…,un(x)-послед. Функций, определенных на некотором мн-ве. X.
О:Ряд вида u1(x)+ u2(x)+…+un(x)+…=наз-сяфункциональным рядом при х0 ∈ Х
–числовой ряд, х0 – точка сходимости. Множество всех точек сходимости наз. областью сходимости функционального ряда
Д-область сх-ти функционального ряда. Д Х
Sn(х) = u1(x)+ u2(x)+…+un(x) = -n-ая частичная сумма функционального ряда
S(x) = , опред. в области Д, наз-ся суммой функционального ряда
rn(x) = S(x) – Sn(x), опред. в обл. Д наз. n-ым остатком функционального ряда
rn0,
Vx∈Д
Сходимость функционального ряда в каждой т x∈Д наз-ся поточечной сходимостью функционального ряда.
Функциональны ряд наз-ся абсол. сходящ на мн-ве Д1Х, если в каждой точке x∈Д ряд
Сход., Д1Д
Равномерная сх-ть функционального ряда
Поточечн сх-ть
Vɛ>0
Vx∈Д∃
N
= N(ɛ,х),
Vn≥N(ɛ,x)
=>|Sn(x)-S(x)|<ɛ
О: Функц. Ряд наз равновмерн сход к функции S(x) на мн-ве Д, если
Vɛ>0
Vx∈Д∃
N
= N(ɛ),
Vn≥N(ɛ)=>|Sn(x)-S(x)|<ɛ
Sn(x)S(x)
О: Числовой ряд назыв мажорантой для функц. Рядана мн-ве Д, если вып-ся :
|un(x)| ≤an,
Vn ∈N,Vx ∈Дcx.
Теор/признак Вейерштрасе:Если у функц. Ряда на мн-ве Д∃ мажоранта, то функц ряд на мн-ве Д сход равномерно и абсолютно.
Замечание: призн Вейерштрасе явл-ся лишь достат. Усл для равн сход ряда.
9. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании
= S(x) (*)
Т1(Стокса-Зайдаля о непрерывности суммы функционального ряда):
Пусть выполняется усл:
Все члены un(x) ряда (*) явл непрерывными функциями на мн-ве Д
Ряд (*) сход равном на мн-ве Д
Тогда сумма S(x) ряда (*) явл непрер функц на мн-ве Д
Т2(о почленном интегриров Функц Ряда)
Пусть выполняется условие
Все члены un(x) ряда (*) явл непрерывн функциями на мн-ве [a,b]
Ряд (*) сход равном на мн-ве [a,b]
Тогда ряд (*) можно интегрировать почленно на любом отрезке [x0,x] [a,b] и справедл рав-во ==[сх. равн]=
Т3(почленном дифференцировании фукнкц ряда)
Пусть вып усл
Ряд (*) сх на [a,b] к функции S(x)
Члены ряда (*) – непрер диффер функции на [a,b]
Ряд сх-ся равном на [a,b]
Тогда ряд (*) также сх равном на [a,b] и его сумма функц S(x) непрерывно дифференцируема. Причем (x)==
10.1 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
Ряд вида либоназывается степенным рядом.
.
Теорема Абеля.
Если степенной ряд сходится при, то он сходится абсолютно для всехтаких, что
Доказательство: Степенной ряд сходится при, т.е. сходится числовой рядограничена, т.е, что
Следствие: Если ряд расходится прито он расходится при всехx таких, что .
10.2 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
Теорема 2. Если либо, где, то радиус сходимости находится по формуле
11.1 Свойства степенных рядов
Теорема 1. Степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на.
Доказательство:
Теорема 2. Сумма степенного ряда
непр. В каждой т.
Доказательство:
Для можем подобрать отрезок
Теорема 3. Если – радиус ходимости степенного ряда, то ряд:
можно дифференцировать в интервале сходимости и.
Для ряд можно интегрировать почленно
Степенные ряды (1) и (2) имеет - ……., при радиусе сходимости –R
12. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора
раскладывается в степенной ряд в интервале, если на этом интервале степенной рядсходится и его сумма равна.
(*)
Теорема. Если функция на интервалераскладывается в степенной ряд(*), то этот ряд раскладывается единственно.
Доказательство:
Рядом Тейлора функции относительноназывается степенной ряд вида
;
При – ряд Маклорена.
Теорема. Для того, чтобы можно было разложить вна интерваленеобходимо и достаточно, чтобы функциябыла бесконечное число раз дифференцируема и.
13. Основные разложения в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов
Основные разложения:
14. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность
Областью на комплексной плоскости называется открытое сквозное множество D точек комплексной плоскости.
Вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит с дост-ю малый круг с центром в этой точке.
Любые 2-е точки из D можно соединить непрерывной кривой мн-ве D – несвязное множество. Эпсилон окрестность точки – открытый круг радиуса эпсилон с центром в точке– окрестность бесконечно удалённой точки.
Область D присоединённой к ней границей называют закрытой областью.
Область расширенной комплексной плоскости называется n-связной, если её граница состоит из n-связных замкнутых множеств, названных компонентами границы.
Говорят, что на мно-ве D точек плоскости , если указан закон, по которому в каждой точке функцияявляется однозначной, если каждой точкеz ставится в соответствие только одно значение, в противном случае – многозначной.
определена и однозначна в некоторой окрестности точки
Число называется пределом функциив т., если
функция стремится к пределу не зависимо от способа приближения к точке, т.е если, то припо любому закону(по любой линии, любой последовательности).
Функция заданная наD называется непрерывной в т., если
, если она непрерывна во всех точках данного множества.