- •12. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •1. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда
- •2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
- •3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
- •4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами
- •5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •8. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
- •9. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании
- •10.1 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
- •15.Основные элементарные функции комплексной переменной
- •16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции
- •17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •19.Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции
- •20. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды
- •21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана
- •22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек
- •23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах
- •24. Вычисление вычетов
- •25. Вычисление интегралов вида,с помощью вычетов
- •26. Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные системы функций. Основная тригонометрическая система функций
- •27. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •28. Сходимость в среднем функционального ряда. Связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье
- •29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций
- •30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
- •32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре
- •33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье
- •34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье
- •35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления
- •36. Приложение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана
Т. Пусть ф-ция f(z) аналитическая в круге , тогда в этом круге ф-цияf(z) разлагается в степенной ряд , кот. явл. рядом Тэйлора для ф-цииf(z), т. е., Гр. =окр.
Ряд Тэйлора +
Все известные разложения ф-ции в ряд Маклорена здесь тоже подойдут.
Ряд Лорана
О. рядом Лорана с центром в т. наз-ся ряд
{ главная часть } { правильная часть }
, z, ∈ C
–обл. сх-ти для прав. Части
= - радиус сх-ти; |t|<
Если r < R , то мн-во сх-ти ряда Лорана - кольцо
Если r > R , то обл. сх-ти - .
Если r = R , то доп. иссл-ния
Если r=0, но гл. часть присутствует, z≠, тонадо выколоть.
Если r=0 и гл. часть отс-ет, то обл. сх-ти – круг
,
сх-ть
равномерная, сумма сх-ти ряда явл.
Аналитической в открытом кольце => ряд
Лорана можно инт-ть по V
пути, расп-му в кольце и диф-ть почленно.
Т. Ф-ция f(z) аналитическая в кольце однозначно представима в этом кольце сход-ся рядом Лорана
Гр – окр-ть
Замечания.
f(z) не явл-ся анал-кой внутри круга
Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана, когда ф-ция f(z) нал-кая внутри круга
Границы кольца можно раздвинуть до ближайших особых точек ф-ции f(z)
Разложение в ряд
Лорана единственное => найденное V
сп-м разложение аналит. ф-ции п + или –
степеням выр-ния
явл.
Лорановским разложением этой ф-ции.
22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек
О. т. наз-сянулём к-го порядка аналитической ф-ции f(z), если
, но .
Если - ноль к-го порядка, то в разложении ряда Лорана данной ф-циив окр.будет прис-ть только правильная часть, причём наим. степень сов-ет с пор. нуля.
О. т. наз-сяизолированной особой точкой f(z), если Ǝ окр. , в кот.f(z) не явл. аналитической. Речь идёт об однозначных ф-ях f(z).
f(z) аналитическая в кольце .f(z) можно разложить в этом кольце в сх-ся к ней ряд Лорана.
Ряд Лорана не сод-т гл. части
Ряд Лорана сод-т конечное число слагаемых
, { главная часть } { правильная часть }
. Порядок – наим. ст. в знам. гл. части
Ряд Лорана сод-т бесконечное число слагаемых в гл. части
.
Т1. Для того, чтобы т. являлась УОТ аналитической ф-ции, необходимо и достаточно, чтобы Ǝ
Т2. Для того, чтобы т. являлась полюсом аналитической ф-ции, необходимо и достаточно, чтобы Ǝ
Т3. Для того, чтобы т. являлась полюсом порядкаm аналитической ф-ции , необходимо и достаточно, чтобы ф-циюможно было представить в виде
, где () –аналитическая ф-ция в т.и≠0
;f(z)*
Т4. Пусть – ИОТ ф-ции
Пусть – ноль k-го порядка для ф-ции и нольl-го порядка для ф-ции . Тогда приl>k т. явл. полюсом порядкаm=l-kаналитической ф-цииf(z).
T5.Для того, чтобы т. являлась СОТ ф-ции, необходимо и достаточно, чтобы прине имела предела ни конечного, ни бесконечного. Не сущ
23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах
Определение: вычитом ф-ции f(z) в т. Z0 называется число : 1/2πiʃf(z)dz , где Г+ - достаточно малая окружность пробегаемая в положительном направлении
Разложим функцию f(z) в кольцо 0 < Z – Z0 < δ в ряд Лорана:
f(Z) = … + C-2/(Z – Z0)^2 + C-1/(Z – Z0) + C0 + C1(Z – Z0) + C2(Z – Z0)^2 + …
Cn = 1/2πi ʄ (f(ξ) / (ξ - Z0)^(n+1) )*d ξ – интеграл по замкнутому контуру Г( - кольцо)
| Z – Z0| = p
C-1 = 1/2πi ʄ (f(ξ) d ξ
Вычит функции f(z) = коэфициенту C-1 в разложении в ряд Лорано:
res f(z) = C-1 = 1/2πi ʄ (f(ξ) d ξ
Основная теорема о вычитах
Пусть f(z) аналитическая в области Д за исключением конечного числа точек Z1, Z2, …, Zm содержащихся в Д и ф-ция непрервна в обл. Д \ { Z1, Z2, …, Zm} U L , где L+ - граница обл. Д пробегаемая в положительном направлении. Тогда интеграл:
Замечание. Основная теорема о вычитах справедлива, когда обл. Д не односвязана.
L = L1 U L2