- •12. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •1. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда
- •2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
- •3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
- •4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами
- •5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •8. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
- •9. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании
- •10.1 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда
- •15.Основные элементарные функции комплексной переменной
- •16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции
- •17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
- •19.Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции
- •20. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды
- •21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана
- •22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек
- •23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах
- •24. Вычисление вычетов
- •25. Вычисление интегралов вида,с помощью вычетов
- •26. Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные системы функций. Основная тригонометрическая система функций
- •27. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •28. Сходимость в среднем функционального ряда. Связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье
- •29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций
- •30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам
- •32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре
- •33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье
- •34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье
- •35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления
- •36. Приложение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
15.Основные элементарные функции комплексной переменной
Линейные:
Степенные:
Многочлен:
Дробнорацинальные:
Функция:
Показательная:
Логарифмическая функция: ,
Тригонометрическая функция: , в комплексной плоскости не ограничены
Гиперболическая функция:
Обратные тригонометрические и гиперболические функции:
Обратные гиперболические:
Общая показательная функция: .
16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции
Производной функции называется число, если предел.
Функция называется дифференц-й в т., если её приращениеможет быть представлено,A –комплексная константа.
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную, причём
Следствие. . Если, дифференцируема в т., то
Все основные правила дифференцирования действительных функций сохраняются и для комплексных функций.
Условия Коши-Римана.
Пара функций называются удовлетворяющими условиям Коши-Римана в т.если в этой точке выполняется следующие условия:
Теорема. Для того, чтобы в т.имела производную необходимо, а если ф-иидифференцируемы, то и достаточно, чтобы в точке (х,у) функцииудовлетворяли условиям Коши-Римана. При этом если производная существует, то
Однозначная функция называется аналитической в т, еслитакая открытая окрестностьв каждой точке которой
Функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.
Действительная и мнимая части аналитической функции. Пусть аналитична в областиD, причём имеют непрерывные частные производные 2-го порядка. Выполняется условие Коши-Римана.
Функция, удовлетворяющая условию Лапласа – гармоническая
Действительные и мнимые части аналитической функции является гармоническими функциями.
Гармонические функции u и v удовлетворяющие в области D условиям Коши-Римана называются сопряжёнными.
Зная одну из сопряжённых частей гармонической функции и исп-я условия Коши-Римана, можно восстановить гармоническую функцию с точностью до констант, D – односвязная область.
17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства
Пусть в области определена однозначная и непрерывная функция
Если , не зависящей от выбора точеки способа разбиения дуги на, то он называется интегралом функцииf(z) на кривой l с заданной ориентацией.
Свойства интеграла от функции комплексной переменной
Линейность:
Аддитивность:
18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции
Теорема. Если функция аналитическая в односвязной областиD, ограниченной кусочно-гладким контуром Г и непрерывной в , то.
Доказательство:
–непрерывна. Из условия теоремы Грина ,имеют непр-ые частные производные 1-го порядка. Дано, что обл.D – односвязная, огр. Кусочно-гладким контуром Г.
, .чтд.
Следствие. Пусть D – неоднозначная функция – аналитическая в областиD,непрерывна в . Граница– внешний контур,– внутренние контуры
Первообразная и интеграл аналитической функции.
Пусть – аналитическая функция в односвязной областиD,
не зависит от формы пути.
Теорема Мореры.
Пусть ф-я аналитическая в односвязной областиD, тогда ф-я , так же аналитическая в той же области– первообразная дляв той же области., где С – такая константа, тоже явл-ся первообразной дляf(z) в области D.
Интегральная формула Коши
Теорема. Пусть ф-я – аналитическая в односвязной областиD, огр. Кусочно-гладким контуром Г и непрерывной в , тогда для любой внешней точкиимеет место интегральная формула
, где контур Г обходится в положительном направлении.