task_74895

90 ГЛАВА 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Вариант № 17. Результаты измерений диаметра X (мм) трубы сква- жины и производительности Y (м3/час) скважины приведены в корреляци- онной таблицы:

	X	20	22	24	26	28	30	ny
	Y
	100,5	6	6					12
	105,5		3	2	1			6
	110,5			4	6			10
	115,5				3	5		8
	120,5				3	4		7
	125,5					2	5	7
	nx	6	9	6	13	11	5	50

Вариант № 18. Имеются данные мощности Y (кВт) на долоте и осе- вой статической нагрузки X (тс) на забое, полученные при бурении пород на одном из месторождений Тюменской области:

	X	1	3	5	7	9	11	13	15	17	ny
	Y
	12,5	3	3								6
	17,5		7	1	4						12
	22,5		4	7	1						12
	27,5			4	9						13
	32,5			1	7	5	6	7			26
	37,5					1	2		1	2	6
	nx	3	14	13	21	6	8	7	1	2	75

Вариант № 19. Найти зависимость между средней скоростью Y (км/ч) прохождения пути и температурой Х (°С) смазочного масла в ко- робке передач у 100 автомобилей.

Y	X	15	20	25	30	35	40	ny
30		3	3					6
40			5	4				9
50				8	40	2		50
60				5	10	6		21
70					4	7	3	14
nx		3	8	17	54	15	3	100

§ 17. Лабораторная работа № 4

91

Вариант № 20. Распределение 50 рабочих по выполнению сменного задания X и по повышению производительности труда Y (%) дается сле- дующей таблицей:

Y	X	25	28	31	34	37	ny
110		1	3				4
115			2	6	1		9
120			1	5	5		11
125			1	6	7	2	16
130				1	4	2	7
135					1	1	2
nx		1	7	18	18	6	50

Вариант № 21. Результаты исследования зависимости между средней месячной выработкой продукции Y (тыс.руб.) на одного рабочего и стои- мостью основных производственных средств X (млн. руб.) приведены в корреляционной таблице:

Y	X	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2	ny
15		2	1					3
16		2	2	1				5
17			2	10				12
18			1	3	2			6
19				2	2	1		5
20						2	3	5
nx		4	6	16	4	3	3	36

Вариант № 22. Результаты исследования зависимости относительной проницаемости нефти Y от насыщенности пород нефтью X приведены в корреляционной таблице:

	X	0,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	ny
	Y
	0,25	1							1
	0,35	5	3						8
	0,45	3	2	1					6
	0,55		5	3	4				12
	0,65				6	5			11
	0,75					2	3		5
	0,85						3	4	7
	nx	9	10	4	10	7	6	4	50

92 ГЛАВА 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Вариант № 23. Зависимость скорости отскока инструмента Y (м/сек) при ударно-вращательном бурении от коэффициента пластичности долот X заданы в корреляционной таблице:

Y	X	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	ny
0,5						6	3	9
0,7				2	2	5		9
0,9				9	7			16
1,1			6	5				11
1,3		3	2					5
nx		3	8	16	9	11	3	50

Вариант № 24. Результаты исследования зависимости выпуска вало- вой продукции Y (%) в отчетном году и выработкой на одного рабочего X

(%) приведены в корреляционной таблице:

Y	X	75	85	95	105	115	125	ny
90		4	5					9
100		5	2	22				29
110			5	6	10			21
120				2	2	4		8
130					12	5		17
140						12	4	16
nx		9	12	30	24	21	4	100

Вариант № 25. Распределение предприятий по основным фондам X (млн. руб.) и себестоимости единицы продукции Y (тыс. руб.) приведено в корреляционной таблице:

Y	X	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	ny
10					2	4	6
15				1	4	3	8
20			4	7	1		12
25		3	6	5			14
30		6	4				10
nx		9	14	13	7	7	50

§ 17. Лабораторная работа № 4

93

Вариант № 26. Распределение 100 автомобилей по температуре сма- зочного масла в двигателе X и по температуре масла в коробке передач Y даны в корреляционной таблице:

Y	X	5	10	15	20	25	30	ny
15		2	4					6
25			6	2				8
35				3	50	2		55
45				1	10	6		17
55					4	7	3	14
nx		2	10	6	64	15	3	100

Вариант № 27. Результаты измерения твердости Y (HRS) и стойко- сти X (час) фрез приведены в корреляционной таблице:

	X	30	34	38	42	46	50	54	ny
	Y
	21,5	4	2						6
	28,5		4	3					7
	35,5			5	4				9
	42,5				8	2	4		14
	49,5						7	2	9
	56,5						2	3	5
	nx	4	6	8	12	2	13	5	50

Вариант № 28. Фонтанная скважина исследована на приток измене-

нием диаметра штуцера с замером глубинных давлений регистрирующим манометром. Результаты зависимости скорости изменения Y (т / сутки) де- бита скважины от скорости изменения давления X (атм. / сутки) приведены в корреляционной таблице:

	X	150	200	250	300	350	400	450	500	550	ny
	Y
	5	2	1								3
	10	2	3	1							6
	15	1	2	4	3						10
	20		1	5	7	6					19
	25			3	4	9	6				22
	30			2	2	4	5	3			16
	35				4	4	2	1			11
	40					1	4	3	2		10
	45								1	2	3
	nx	5	7	15	20	24	17	7	3	2	100

94 ГЛАВА 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Вариант № 29. Имеют данные распределения 100 автомобилей по температуре Y смазочного масла в двигателе и по скорости X движения (км/час):

Y	X	10	15	20	25	30	35	ny
20		1	5					6
30			6	4				10
40				7	40	3		50
50				2	10	8		20
60					5	6	3	14
nx		1	11	13	55	17	3	100

Вариант № 30. Результаты зависимости между дебитом Q (м3/час) скважины и диаметром штуцера D (мм) приведены в корреляционной таб- лице:

Q	D	18	21	24	27	30	33	36	nQ
100		6	3						9
105		1	5	4					10
110			7	6	2				15
115			1	5	3				9
120				4	9	2	1		16
125					4	3			7
130						2	1	1	4
nD		7	16	19	18	7	2	1	70

ГЛАВА 4

ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

§ 18. Нелинейная корреляционная зависимость

Между изучаемыми признаками X и Y может существовать нели- нейная корреляционная зависимость. Если линия регрессии с уравнением

yˆx = f (x) или xˆy = ϕ(y) не является прямой, то зависимость между пока-

зателями называют нелинейной корреляционной зависимостью. Среди ви- дов нелинейной корреляции обыкновенно выделяют: полиномиальную (в частности, параболическую), степенную (в частности, гиперболическую), экспоненциальную, гармоническую, фрактальную и другие. Рассмотрим некоторые из них, начав с параболической корреляции.

96 ГЛАВА 4. ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Пусть зависимость между признаками X и Y задана в виде корре- ляционной таблицы. Для определения типа нелинейной зависимости на координатной плоскости строят точки Mi (xi ; yi ) .

Параболическая корреляция. Если точки в корреляционном поле располагаются вблизи некоторой параболы, то уравнение регрессии запи- сывают [4] в виде

yˆ	x	= a	0	+ a x + a	2	x2	.	(72)
				1

Оценки a0 , a1 , a2 для неизвестных параметров истинного уравнения

регрессии находят по методу наименьших квадратов. Если опытные дан- ные не сгруппированы в корреляционную таблицу, то оценки находят, ре-

шая систему нормальных уравнений

ì		n a0 +
ï	[x]a0			+
í
ï		2	]a0	+
î[x

[x]a1 + [x2 ]a1 + [x3]a1 +

[x2 ]a2	= [y],
[x3]a2	= [xy],	(73)
[x4 ]a2 = [x2 y].

Для сгруппированных значений признаков X находят, решая СЛАУ:

ì			n a0 + [nx x]a1 +[nx x2 ]a2 =
ï	[nx x]a0 + [nx x2 ]a1 + [nx x3]a2 =
í
ï[n		x	x2 ]a	0	+ [n	x	x3]a + [n	x	x4 ]a	2	=
î							1

и Y оценки a0 , a1 , a2

[nx yx ],
[nx xyx ],	(74)
[nx x2 yx ].

Гиперболическая корреляция 1. Зависимость между X и Y может быть близкой к гиперболической. В этом случае уравнение регрессии ищут

в виде

yˆx = a0 +	a1	.	(75)
	x

Оценки a0 и a1 неизвестных параметров истинного уравнения рег-

рессии находят по методу наименьших квадратов, решая систему нор- мальных уравнений:

ì	n a0 + [1/ x]a1 = [y],			(76)
í[1/ x]a		0	+ [1/ x2 ]a = [y / x],
î			1

где

§ 18. Нелинейная корреляционная зависимость								97
n			n			n	n
[1/ x] = å1/ xi , [1/ x2	] = å1/ xi2 , [y] = å yi , [y / x] = å yi / xi .
i=1		i=1				i=1	i=1
Гиперболическая корреляция 2. Если гиперболическая зависимость
между признаками X и Y имеет вид
			yˆx	=	1	,		(77)
					a0 +a1x
то оценки a0 и a1 находят, решая систему нормальных уравнений
ì	n a0 + [x]a1 = [1/ y],							(78)
í[x]a		0	+ [x2	]a = [x / y].
î				1

Если зависимость между признаками имеет экспоненциальный ха- рактер, то уравнение регрессии ищут в виде

yˆx = a × b x .

(79)

Для определения оценок a и b, входящих в уравнение регрессии, решают СЛАУ:

ì		[x	2	]lgb = [x lg y],	(80)
í[x]lg a +
î	n lg a +	[x]lgb = [lg y].

Если в корреляционном поле около построенных точек предполага- ется проведение разных по типу линий (параболы, гиперболы, экспоненты, логарифмики), то для выбора одной из них, характеризующей наилучшим образом зависимость между признаками X и Y , применяют либо метод конечных разностей, либо производят проверку необходимых условий.

Проверка необходимых условий

Проверку необходимых условий для выбора одной из предполагае- мых нелинейных зависимостей проводят [13], пользуясь табл. 33.

Если выполняется одно из условий первого столбца таблицы, то вы- бирают в качестве предполагаемой формулы соответствующую формулу, стоящую во втором столбце таблицы рассматриваемой строки. В третьем столбце указывается способ выравнивания, то есть приведения изучаемой зависимости к линейной. Если выровненные точки (Xi , Yi ) хорошо ло-

жатся на прямую, то указанную во втором столбце таблицы зависимость принимаем в качестве предполагаемой.

98 ГЛАВА 4. ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Если значения функции, вычисленные в первом столбце таблицы при выбранных значениях аргумента, отсутствуют в таблице опытных данных,

то их находят линейным интерполированием по формуле

Т а б л и ц а 3 3

Способ выравнивания

Необходимые условия

Регрессия

(приведения к линейной

зависимости Y = AX + B)

æ x1

+ xn ö

y(x1 )+ y(xn )

Тождественное

yç

÷

=

линейная y = a x + b

преобразование

2

2

è

ø

степенная y = a xb

Y = ln y, X = ln x,

y(

x1xn ) =

y(x1) y(xn )

A = ln a, B = b

æ x1

+ xn ö

экспоненциальная

Y = ln y, X = x,

yç

÷ = y(x1) y(xn )

y = abx

A = ln a, B = ln b

è

2 ø

y(

2x1xn

)

=

y(x1 )+ y(xn )

гиперболическая

Y = xy, X = x

y = a + b

x1 + xn

2

x

y(

x1+xn

)

=

2y(x1) y(xn )

гиперболическая

Y = 1/y, X = x

y =

1

2

y(x )+ y(x )

ax+b

1

n

y(x1)+ y(xn )

логарифмическая

y( x1 xn ) =

Y = y, X = ln x

y = a ln x + b

2

y(x) = y(x ) +

y(x2 )− y(x1)

(x - x ) ,

(81)

1

x2 −x1

1

где x1 и x2

— два рядом стоящих значения признака X

в таблице опыт-

ных данных,

между которыми находится значение x ,

вычисленное по

табл. 33 первого столбца.

Для всех предполагаемых формул по результатам первого столбца

табл. 33 вычисляют отклонения

правой части от левой необходимого

условия.

Вычисленные отклонения

i

сравнивают и по наименьшему из

них выбирают окончательно одну из формул.

Метод конечных разностей

Пусть в корреляционном поле могут быть проведены линии, описы-

	ваемые уравнениями y = axb , y = aecx (c = lnb) , y = a + b	,	y =	1	,
				ax+b
	x

y = a ln x + b . Все эти формулы содержат по два параметра и могут быть

приведены к формуле Y = AX + B посредством табл. 33. Так как все зави- симости, приведенные в табл. 33, сводятся к линейной, то для обоснования выбора формулы Y = AX + B вычисляют конечные разности первого по- рядка X , Y и отношения Y / X . Аналитическим критерием выбора формулы по этому методу служит тот факт, что отношения Y / X мало отличаются друг от друга для выбранной формулы.

§ 18. Нелинейная корреляционная зависимость

99

Если предполагаемая формула имеет вид y = ax2 + bx + c , то крите- рием выбора этой формулы являются незначительные отклонения по мо-

дулю конечных разностей второго порядка

2 y от среднего значения этих

разностей

. Конечные разности находят, пользуясь табл. 34.

2 y

Т а б л и ц а 3 4

Таблица конечных разностей

x

y

y

2 y

x0

y0

y0

x

y

2 y

0

1

1

y1

x2

y2

2 y

1

y2

x3

y3

2 y2

y3

x4

y4

2 y3

y4

x5

y5

…

…

…

…