task_74895

130 ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

том, какой из факторов X1 или X3 следует исключить из модели множе-

ственной линейной корреляции, вычислим коэффициенты парной корре- ляции rYX1 и rYX3 :

r

=

YX1

-

Y

×

X1

=

31,173-34,3×0,908

= 0,80

,

ˆ ˆ

XY1

2,2136×0,0162

SY ×SX1

=

-

=

2288,5-34,3×66,6

= 0,73

r

YX3

Y ×

X

3

.

ˆ

YX3

ˆ

2,2136×2,5473

SY

×SX 3

Так как rYX1

> rYX3 ,то между признаками X1

и Y связь сильнее, чем

между X3 и Y . Этот факт подтверждается путем вычисления коэффициен- тов частной корреляции rYX1( X 3 ) и rYX3 ( X1 ) по формуле (104):

=

rYX

-rX X

2

×rYX

3

=

rYX1 ( X 3 )

1

1

(1-r 2

)(1-r 2

)

X1X3

YX3

r

= rYX3 -rX1X 3 ×rYX1

=

YX3

( X1)

(1-r2

)(1-r2

)

X1X 3

YX1

0,80-0,85×0,73

(1-0,852 )(1-0,732 )

0,73-0,85×0,80

(1-0,852 )(1-0,802 )

=0,50,

=0,16.

Поэтому из модели множественной линейной корреляции исключаем фактор X3 . Тогда в модель будут включены факторы X1 и X2 и уравне-

ние регрессии запишется в виде

Yˆ1.2 = a0 + a1 X1 + a2 X 2 .

Включение фактора X2 в модель обосновано значимостью коэффи- циента парной корреляции rYX2 :

	=		-					=	1560,5-34,3×45,4	= 0,72 .
rYX		YX 2		Y ×X 2
		ˆ ˆ							×
	2	SY SX 2							2,2136 2,0494

Для выяснения вопроса о силе линейной связи между факторами, включенными в модель, вычисляем множественный коэффициент корре- ляции R по формуле (100):

r2

+r2

-2r

×r

×r

X1X 2

0,80

2

+0,72

2

-2×0,69×0,80×0,72

R =

YX1

YX 2

YX1

YX 2

=

1-r2

1-0,692

X1X 2

= 0,83.

Так как в нашем примере объем выборки небольшой (n =10), то произве- дем корректировку R по формуле (102):

§ 26. Лабораторная работа № 6

131

	ˆ		2		n−1					2		9
	R =	1 − (1 − R		)		=		1 − (1 − 0,83			)		= 0,81.
					n−k							8

Проверяем значимость = ˆ по критерию Стьюдента. Вычисляем средне-

R R

квадратическую ошибку SR по формуле (103):

SR = n1−1 = 13 = 0,3,

Вычисляем статистику

	t		=	ˆ	=	0,81	= 2,7
		н		R
				SR		0,3

По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне зна- чимости α = 0,05 с числом степеней свободы k = n − 2 =10 − 2 = 8 находим

								ˆ
tт = 1,86. Так как tн = 2,7 > tт , то делаем вывод, что R = R значим.
Для нахождения			оценок		a0 ,	a1,		a2 уравнения	регрессии
Yˆ2,3 = a0 + a1 X1 + a2 X 2	решаем систему нормальных уравнений по формуле
(91):
ì 10a		0	+	9,08a	+	454a	2	= 343,
ï				1
í9,08a0			+	8,247a1	+ 412,46a2			= 311,73,	(112)
ï			+ 412,46a1 + 20648a2 =15605.
î 454a0
Решив эту систему,	получаем a2 = 0,360611, a1 = 86,3271, a0 = −60,45674 .

Тогда уравнение регрессии, устанавливающее зависимость производи- тельности труда Y от коэффициента эксплуатации X1 и дебита скважин

X 2 запишется в виде Yˆ1.2 = −60,45674 + 86,3271X1									+ 0,360611X 2 .
			Проверяем адекватность уравнения регрессии. Используем коэффи-
циент			детерминации R			2	, полагая	ˆ	Для полученной модели
								R = R .
ˆ	2	=	0,81	2	= 0,66 . Это означает, что полученная модель приблизительно
R

на 66% объясняет изменение производительности труда в зависимости от изменения включенных в модель факторов X1 и X 2 , что является не пло-

хим показателем.

Проведем проверку модели на адекватность по критерию Фишера — Снедекора. Найдем статистику Fн по формуле (110), полагая в ней R = R :

	=	ˆ	2	×(n- p-1)		=	2	×(10-2-1)		= 3,5 .
Fн		R					0,81
				ˆ 2	)×p			2	)×2
		(1-R					(1-0,81

По таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора при

132 ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ уровне значимости α = 0,05 и числах степеней свободы k1 = p = 2 ,

k2 = n − p −1 =10 − 2 −1 = 7	(p — число факторов Xi , включенных в мо-
дель, n — объем выборки)	находим Fт = Fα;k ;k	2	= F0,05;2;7 = 3,26 . Так как
	1

Fн > Fт , то найденное уравнение регрессии, устанавливающее зависимость

производительности труда на десяти нефтегазодобывающих управлениях (НГДУ) от коэффициента эксплуатации скважин X1 и дебита скважин X 2 ,

значимо описывает опытные данные и может быть принято для руково- дства.

Оценим адекватность уравнения регрессии по средней ошибке ап- проксимации ε , которую вычислим по формуле (111):

ε = 1p å Y −YYˆ1.2

×100% .

Для нахождения суммы, входящей в формулу, составляем расчетную табл. 42.

							Т а б л и ц а 4 2
	Y		Yˆ		Y − Yˆ			Y −Yˆ1.2
			1.2		1.2			Y
	35		35,2		0,2		0,000114
	36		36,8		0,8		0,017778
	31		31,5		0,5		0,005952
	33		33,8		0,8		0,019394
	34		32,7		1,3		0,049706
	32		32,6		0,6		0,008
	38		36,3		1,7		0,076053
	34		34,7		0,7		0,014412
	37		37,1		0,1		0,00027
	33		32,2		0,8		0,019394
							0,211073
По табл. 42 находим:
			e = (0,211073: 2) ×100% =10,6% .

Среднеквадратическая ошибка небольшая, что дает основание считать, что построенная модель адекватно описывает опытные данные.

Итак, все три метода проверки модели на адекватность подтвердили гипотезу о том, что уравнение регрессии

Yˆ1.2 = −60,45674 + 86,3271X1 + 0,360611X 2

в целом статистически значимо и хорошо соответствует данным наблюде- ний.

Дадим экономическую интерпретацию найденных коэффициентов уравнения регрессии. Значение свободного члена a0 = −60,45674 характе-

§ 26. Лабораторная работа № 6	133
ризует влияние неучтенных в модели факторов, в частности фактора	X3

(уровень автоматизации труда). Знак минус говорит о том, что отсутствие этого фактора в модели отрицательно сказывается на повышении произво- дительности труда. Величина коэффициента a1 = 86,3271 показывает, что

при увеличении коэффициента эксплуатации на 0,01 производительность

труда увеличивается в	среднем на 86,3271 тн/чел. Коэффициент
a2 = 0,360611 показывает,	что при увеличении дебита скважин на одну

тонну производительность труда увеличивается в среднем на 0,360611 тн/чел.

В а р и а н т ы з а д а н и й к л а б о р а т о р н о й р а б о т е № 6

Варианты №1 – №10. Данные экспериментального определения про- изводительности Y труда в зависимости от коэффициента X1 эксплуатации скважин, дебита X2 скважин, уровня X3 автоматизации труда приведены в табл. 43. Пользуясь данными табл. 43, выполнить задание (по образцу при- веденного выше примера) по вариантам, номера предприятий (НГДУ) для которых указаны в табл. 44.

														Т а б л и ц а				4 3
Факторы					Значения факторов на различных НГДУ
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14		15		16
							Номера НГДУ
Х1	0,93	0,95	0,94	0,89	0,91	0,90	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92		0,91	0,9		0,89
Х2	51	40	46	40	49	43	45	44	42	46	40	49	50		46	48		51
Х3	71	74	72	65	68	67	69	72	65	68	65	66	71		67	70		65
Y	35	32	30	31	33	30	34	35	31	33	32	32	31		34	35		30

Здесь: X1 — коэффициент эксплуатации скважин (в долях), X 2 — дебит скважин (тн/сутки),

X3 — уровень автоматизации труда (%),

Y — производительность труда (тн/чел.).

			Т а б л и ц а 4 4
Варианты	Номера предприятий	Варианты	Номера предприятий
1	1-3, 7-12, 16	6	4-6, 10-16
2	1-3, 7-9, 13-16	7	1-6, 13-16
3	1-6, 10-12, 16	8	7-16
4	1-3, 10-16	9	4-9, 13-16
5	4-12, 16	10	1-9, 16

Вариант № 11. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области, — характеризующие зависи- мость среднего дебита Y действующих скважин по нефти, от фонда X1

действующих нагнетательных скважин на конец года, средней приемисто- сти X 2 нагнетательных скважин и фонда X3 механизированных скважин

134 ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

на конец года,— приведены в табл. 45.

			Т а б л и ц а 4 5
Y (т/сут.)	X1 (шт.)	X2 (м3/сут.)	X3 (шт.)
3,5	3	31	26
3,5	5	30	27
3,6	6	29	26
3,6	6	24	26
3,5	7	23	25
3,5	7	20	25
3,4	7	20	25
3,3	8	20	24
3,4	8	17	24
3,3	8	17	24
3,2	8	17	23
3,2	8	17	23
3,1	7	16	22
3,2	7	19	22
3,1	8	18	21
3,1	8	16	21
3,0	8	16	20
3,1	8	16	20
3,0	8	15	19
3,0	8	15	19

Вариант № 12. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области,— характеризующие зависи- мость объема Y добычи жидкости с начала разработки, от годовой добычи X1 жидкости из перешедших скважин, среднегодовой обводненности X2

и от среднего дебита X3 действующих скважин по жидкости,— приведены в табл. 46.

			Т а б л и ц а 4 6
Y (тыс. т)	X1 (тыс. т)	X2 (%)	X3 (т/сут.)
107	34,5	2,8	3,9
142	34,4	2,8	4
176	34,3	2,7	4
210	34,2	2,6	4,1
244	34,1	2,5	4,1
278	34	2,4	4,1
312	33,8	2,4	4,3
346	33,7	2,3	4,3
379	33,6	2,2	4,2
413	33,4	2,2	4,4
446	33,2	2,1	4,4
479	33,1	2,0	4,6
512	32,9	2,0	4,5
545	32,7	1,9	4,7
577	32,5	1,8	4,7

§ 26. Лабораторная работа № 6

135

Вариант № 13. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области,— характеризующие зависи- мость добычи Y нефти с начала разработки от суммарной добычи X1 неф-

ти из скважин предыдущего года, падения X2 добычи нефти и фонда X3 добывающих скважин на конец года,— приведены в табл. 47.

			Т а б л и ц а 4 7
Y (тыс.т)	X1 (тыс.т)	X2 (тыс.т)	X3 (шт.)
100,5	30,4	-0,5	27
102	33	-0,9	26
133,1	32,1	-1	26
163,1	31,1	-0,9	25
192,6	30,2	-0,9	25
220,9	29,3	-0,9	25
248,5	28,4	-0,9	24
275,1	27,5	-0,8	24
301	26,7	-0,8	23
326,1	25,9	-0,8	23
350,4	25,1	-0,7	22
374	24,3	-0,7	21
379,5	23,6	-0,6	20

Вариант № 14. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области,— характеризующие зависи- мость добычи Y нефти с начала разработки от суммарной добычи X1 неф-

ти из скважин предыдущего года, падение X2 добычи нефти и коэффици- ента X3 нефтеизвлечения,— приведены в табл. 48.

			Т а б л и ц а 4 8
Y (тыс.т)	X1 (тыс. т)	X2 (тыс.т)	X3 (%)
286	22	– 0,7	0,9
360	22,7	– 0,9	1,2
86,9	31,7	– 0,9	1,9
117,3	31,2	– 0,8	2,5
147,1	30,5	– 0,8	3,2
176,1	29,7	– 0,8	3,8
204,5	29	– 0,7	4,4
232,2	28,4	– 0,7	5,0
259,2	27,7	– 0,6	5,6
285,6	26,4	– 0,6	6,2
311,4	25,8	– 0,6	6,7
336,6	25,2	– 0,5	7,3
361,2	24,6	– 0,5	7,8
385,3	24	– 0,5	8,3
408,7	23,5	– 0,5	8,8

Вариант № 15. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области,— характеризующие зависи- мость добычи Y жидкости с начала разработки от годовой добычи X1

жидкости из перешедших скважин, среднегодовой обводненности X2 и от

136 ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

среднего дебита X3			действующих скважин по жидкости,—			приведены в
табл. 49.					Т а б л и ц а 4 9
	Y (тыс.т)		X1 (тыс. т)	X2 (%)		X3 (т/сут.)
	90		32,7	4,8		2,7
	123		32,7	6,8		2,8
	155		32,6	8,8		2,8
	188		32,5	10,7		2,8
	220		32,4	12,6		2,9
	253		32,5	14,4		2,9
	285		32,3	16,2		3,0
	317		32,2	17,9		3,0
	349		32,1	19,5		2,9
	381		32	21,2		3,0
	413		31,8	22,8		3,0
	445		31,7	24,3		3,1
	476		31,6	25,8		3,1
	508		31,5	27,2		3,2
	539		31,4	28,7		3,2

Вариант № 16. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области,— характеризующие зависи- мость среднего дебита Y действующих скважин по нефти от фонда X1

действующих нагнетательных скважин на конец года, средней приемисто-

сти X2 нагнетательных скважин		и темпа X3 отбора от начальных извле-
каемых запасов,— приведены в табл. 50.				Т а б л и ц а 5 0
Y (т/сут.)	X1 (шт.)		X2 (м3/сут.)	X3 (%)
3	1		50	2,5
2,7	2		43	2
2,6	3		31	2,3
2,7	5		27	2,2
2,6	6		22	2,1
2,6	6		22	2,2
2,5	6		22	2,1
2,5	7		19	2
2,5	7		19	2,1
2,5	8		16	1,9
2,4	8		16	1,9
2,4	8		16	1,8
2,4	7		15	1,8
2,3	8		15	1,7
2,3	7		18	1,7
2,3	7		18	1,9
2,2	8		16	2,3
2,3	7		15	1,9
2,3	8		15	2,1
2,2	8		15	2

§ 26. Лабораторная работа № 6

137

Вариант № 17. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области, — характеризующие зависи-

мость добычи Y	нефти с начала разработки от коэффициента X1 нефте-
извлечения, темпа X2 отбора от начальных извлекаемых запасов и средне-
го дебита X3 действующих скважин по нефти, — приведены в табл. 51.
				Т а б л и ц а 5 1
Y (тыс.т)		X1 (%)	X2 (%)	X3 (т/сут.)
102		1,5	2,8	3,6
133,1		1,9	2,8	3,6
163,3		2,4	2,7	3,5
192,6		2,8	2,6	3,5
220,9		3,2	2,5	3,4
275,1		4	2,4	3,4
301		4,4	2,4	3,3
326,1		4,8	2,3	3,2
350,4		5,1	2,2	3,2
374		5,5	2,2	3,1
396,9		5,8	2,1	3,2
419,9		6,1	2	3,1
440,6		6,4	2	3,1
461,5		6,7	1,9	3
481,7		7	1,8	3,1

Вариант № 18. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области,— характеризующие зависи- мость добычи Y жидкости сначала разработки от закачки X1 агента за год,

закачки X 2 агента с начала разработки и среднего дебита				X3 действую-
щих скважин по жидкости,— приведены в табл. 52.
				Т а б л и ц а 5 2
Y (тыс. т)	X1 (тыс. т/год)	X2 (тыс. т)		X3 (т/сут.)
123	44,5	161		2,8
155	44,3	205		2,8
188	44	249		2,8
220	43,7	293		2,9
253	43,4	336		2,9
285	43,1	380		3
317	42,8	422		3
349	42,5	465		2,9
381	42,3	507		3
413	42	549		3
445	41,7	591		3,1
476	41,4	632		3,1
508	41,4	673		3,2
539	40,8	714		3,2
570	40,5	755		3,3

138 ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Вариант № 19. Прогнозные показатели разработки по нефти на од- ном из месторождений Тюменской области,— характеризующие зависи- мость суммарной добычи Y нефти из скважин предыдущего года от паде-

ния X1 добычи нефти, процента		X 2 падения добычи нефти и фонда			X3
добывающих скважин на конец года,— приведены в табл. 53.
				Т а б л и ц а	5 3
Y (тыс. т)	X1 (тыс. т)		X2 (%)	X3 (шт.)
35	– 1,1		– 2,4	27
33	– 0,9		– 2,6	26
32,1	– 1		– 2,6	26
31,1	– 0,9		– 2,6	25
29,3	– 0,9		– 2,7	25
28,4	– 0,9		– 2,7	24
27,5	– 0,8		– 2,7	24
25,9	– 0,8		– 2,8	23
24,3	– 0,7		– 2,8	22
22,9	– 0,7		– 2,8	21
21,5	– 0,7		– 2,9	20
20,2	– 0,6		–2,9	19
20	– 0,5		–3,1	18

Вариант № 20. Исходные данные по цеху акционерного объединения машиностроительного профиля за 10 месяцев,— характеризующие зави- симость между себестоимостью Y произведенной продукции, стоимостью X1 материалов, основной зарплатой X2 и расходами X3 по содержанию и эксплуатации оборудования,— представлены в табл. 54.

			Т а б л и ц а 5 4
Y (тыс. руб.)	X1 (тыс. руб.)	X2 (тыс. руб.)	X3 (тыс. руб.)
82,3	36,4	11,5	14,2
83,8	36,6	11,5	13,9
81,5	37,9	11,6	15,2
83,1	38,2	11,8	16,5
84,3	39,4	12	16,7
82,6	39,8	12,2	17,2
85,4	40,1	12,5	18,3
84,6	41,5	12,6	18,6
86,8	42,6	12,8	19,4
88,3	45,7	13,2	20,7

Вариант № 21. Исходные данные по цеху акционерного объединения машиностроительного профиля за 10 месяцев,— характеризующие зави- симость между себестоимостью произведённой продукции Y, стоимостью X1 материалов, основной зарплатой X2 и цеховыми расходами X3,— пре- доставлены в табл. 55.

		§ 26. Лабораторная работа № 6		139
				Т а б л и ц а	5 5
	Y (тыс. руб.)	X1 (тыс. руб.)	X2 (тыс. руб.)	X3 (тыс. руб.)
	81,5	37,9	11,6	9,5
	82,3	36,5	11,5	10,6
	83,8	36,6	11,5	7,8
	83,1	38,2	11,8	9,1
	84,3	39,4	12	13,6
	82,6	39,8	12,2	14,1
	85,4	40,1	12,5	14,6
	84,6	41,5	12,6	15,1
	86,8	42,6	12,8	16
	88,3	45,7	13,2	17,2
	Вариант № 22. Имеются данные, характеризующие зависимость
нормы расхода Y моторного масла на угар и замену марки Y0 = 0,55					от

максимальной мощности X1 двигателя, максимального крутящего момента X2, линейной нормы X3 расхода топлива, и скорости автомобиля X4 (табл. 56).

					Т а б л и ц а	5 6
	Y (л/100 л. т)	X1 (л. с)	X2 ( )	X3 (л)	X4 (км/ч)
	1,3	39	7,4	12	40
	1,3	42	7,6	8	75
	0,8	53	8,2	8	90
	1,3	53	8,2	11	70
	2,2	70	20,5	21,5	40
	2,2	72	17	17	80
	1,8	73,5	10,8	10	90
	2,2	75	17	16	30
	2	75	21	22,8	60
	2,1	75	17	15	40
	2,2	90	17,5	16	70
	2,3	90	17	17	60
	1,8	98	18,4	15	60
	2,8	110	35	39	35
	2,2	115	29	27	70
	2,1	115	29	29	60
	2,1	120	29	35	50
	2	150	41	36	45
	2	180	47,3	44	40
	1,8	175	48	54	40
	Вариант № 23. Имеются данные, характеризующие зависимость
нормы расхода Y моторного масла на угар и замену марки Y0 = 0,55						от

максимальной мощности X1 двигателя, линейной нормы X2 расхода топли- ва, скорости X3 двигателя и контрольного расхода топлива при данной ско- рости X4 (табл. 57).