task_74895

50 ГЛАВА 2. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ…

Проведём проверку близости эмпирического распределения к нор- мальному по критерию Романовского. Вычислим, согласно (32), величину

c2 -k			. Так как χ2 = χ02 =18,12 , k = 7, то	c2 -k			=		18,12-7
	2k				2k				14

= 2,97 < 3, т.е.

расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением не- существенно, что позволяет утверждать, что данные выборки, характери- зующие обводненность нефти из насосных скважин по критерию Романов- ского подчиняются нормальному закону распределения. К такому же вы- воду мы приходим, применяя критерий Колмогорова (проверить самостоя- тельно).

Наконец, проведём проверку близости рассматриваемой выборки к нормальному распределению по приближенному критерию, используя вы- борочные статистики: асимметрию, эксцесс и их средние квадратические отклонения. В лабораторной работе № 1 были найдены As = 0,328,

Ex = −0,115 . Средние квадратические отклонения для асимметрии и экс- цесса находим по формулам (39) и (40):

6(n-1)

SA

=

=

6×99

= 0,24,

(n+1)(n+3)

101×103

s

24n(n-2)(n-3)

SE

=

=

24×100×98×97

= 0,46 .

x

(n-1)

2

(n+3)(n+5)

99

2

×103×105

Так как

As

= 0,328 > SA

и

Ex

= 0,115 < SE

, то делаем вывод, что

s

x

данные выборки, характеризующие обводненность нефти из насосных скважин, не подчиняются нормальному закону распределения.

Итак, для проверки согласованности эмпирического распределения с теоретическим нормальным мы применили 4 критерия, два из них под- твердили близость выборочной совокупности к нормальному распределе- нию. Однако, учитывая, что критерий Колмогорова является более мощ- ным, чем критерий χ2 Пирсона, и подтверждает близость рассматриваемой выборки к нормальному распределению, окончательно заключаем, что за закон распределения признака Х — обводненности нефти из насосных скважин — можно принять нормальное распределение.

З а м е ч а н и е. В качестве вариантов заданий для выполнения лабо- раторной работы № 2 следует брать дискретные вариационные ряды из ла- бораторной работы № 1, а так же значения статистик x , S , As , Ex .

ГЛАВА 3

ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

§ 9. Понятие корреляционной зависимости. Задачи теории корреляции

В новых условиях хозяйственной деятельности предприятий возрас- тает роль экономико-математических методов для управления производст- вом. Управление производством — это сложный динамический процесс. Поэтому при выработке оптимального решения по управлению производ- ственно-хозяйственной деятельностью предприятия необходимо не только учитывать изменения параметров и характеристик, описывающих эту дея- тельность, но и уметь их прогнозировать, основываясь на экономических законах, которые наиболее полно отражают взаимосвязи основных показа- телей предприятия и его подразделений. Математическая формализация этих связей создает условия для экономического обоснования целесооб- разных объемов производимой продукции, определения ее качественных показателей и условий эффективного использования ресурсов.

Для решения этих задач применяют методы корреляционного анали- за. При анализе зависимостей между производственными показателями методами корреляционного анализа выделяют два основных типа пере- менных количественных признаков: независимые переменные (факторные признаки) и зависимые переменные (результативные признаки).

52 ГЛАВА 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

При изучении взаимосвязей между переменными признаками надо, прежде всего, установить, к какому типу зависимостей относится эта связь.

Зависимость между признаками X и Y называется корреляционной, если каждому возможному значению xi признака X сопоставляется ус-

ловная средняя соответствующего распределения признака Y .

Среднее арифметическое значение признака Y , вычисленное при ус- ловии, что признак X принимает фиксированное значение xi , называется

условным средним, обозначается через yxi			и вычисляется по формуле:
yx	=	å nij y j	,	(42)
		n
i		xi

где nij — частоты, показывающие сколько раз повторяются парные значе- ния xi , y j в данной выборке, nxi — частота появления значения хi.

Теория корреляции изучает такую зависимость между признаками X и Y , при которой с изменением одного признака меняется распределе- ние другого. Она применяется для того, чтобы при сложном взаимодейст- вии посторонних факторов выяснить, какова должна быть зависимость между признаками X и Y , если бы посторонние факторы не изменялись и своим изменением не искажали истинную статистическую зависимость [4].

В теории корреляции решается триединая задача, методологической основой которой является триада:

Модель — Свойства — Адекватность.

Первая задача — поиск подходящей модели. На основе опытных данных выявляется характер корреляционной зависимости между призна- ками X и Y . При парной корреляции для ее решения применяют графиче- ский метод. Если в корреляционном поле точки (xi , y j ) хорошо ложатся

на прямую, то можно предположить, что связь между признаками X и Y носит линейный характер. Если точки не ложатся на прямую, то связь бу- дет нелинейной. Исходя из геометрических соображений, выбирают урав- нение линии, которое называют уравнением регрессии, и находят неиз- вестные параметры, входящие в уравнение.

Вторая задача — изучение свойств модели. Определяется теснота связи между признаками, включенными в модель, по коэффициенту r кор- реляции (в случае линейной корреляции) или по корреляционным отноше- ниям ηyx, ηxy (в случае криволинейной корреляции).

Третья задача — выявление степени адекватности построенной кор- реляционной модели (проверяется соответствие полученного уравнения регрессии опытным данным). Если данная модель оказалась не адекватной, то всё начинается сначала — строят новую модель.

§ 10. Парная линейная корреляция

Предположим, что на основе геометрических, физических или дру- гих соображений установлено, что между двумя количественными призна- ками X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Тогда уравнение регрессии записывают в виде:

ˆ	+ a1 x .	(43)
yx = a0

Пусть опытные данные не сгруппированы в корреляционную табли- цу, т. е. заданы в виде табл. 18.

Т а б л и ц а 1 8

xi	x1	x2	x3	…	xk
yi	y1	y2	y3	…	yk

В этом случае значения а0, а1, являющиеся оценками истинных вели- чин уравнения регрессии, находят по методу наименьших квадратов [4], решая систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно

а0, а1:

k	k
где [x] = åxi , [y] = å yi
i=1	i=1

ì na0 + [x]a1 = [y],				(44)
í[x]a	0	+ [x2	]a = [xy],
î			1
		k	k
, [x2 ] = åxi2			, [xy] = åxi yi .
		i=1	i=1

54	Глава 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Для нахождения сумм, входящих в систему (44), составляется табл.

19.

			Т а б л и ц а 1 9
xi	yi	xi yi	x2
			i
[x]	[y]	[xy]	[x2]

Если опытные данные сгруппированы в корреляционную таблицу, то значения a0 и a1 уравнения регрессии (43) находят по методу наименьших

квадратов, решая СЛАУ
ì		na	0	+ [n		x	x]a = [n	y	y],
ï							1				(45)
í		x]a		+ [n		x2 ]a = [n				xy],
ï[n	x		0		x			xy
î							1

где nx и ny — частоты признаков X и Y , nxy — частота совместного по-

явления признаков X

и Y . Для нахождения сумм, входящих в систему

(45), составляется табл. 20.

Т а б л и ц а 2 0

x

x

x

2

…

x

k

ny

ny y

y

1

y1

…

y2

…

…

…

…

…

…

…

…

ym

…

nx

…

[ny y]

nx x

…

[nx x]

nx x2

…

[nx x2 ]

nxy xy

…

[nxy xy]

Суммы [nx x],

[nx x2 ],

[nxy xy]

в табл. 20

находятся по строкам, а сумма

[ny y] — по последнему столбцу табл. 20.

В уравнении регрессии (43) параметр a0 характеризует усредненное

влияние на результативный признак Y неучтенных (не выявленных для исследования) факторных признаков Xi . Параметр a1 показывает, на

сколько изменяется в среднем значение результативного признака Y при увеличении факторного признака на единицу.

Используя параметр a1 , вычисляют [9] коэффициент эластичности Kэ по формуле:

K		= a
				x
	э	1		y .			(46)

§ 10. Парная линейная корреляция

55

Коэффициент эластичности Kэ показывает, на сколько процентов

изменяется результативный признак Y при изменении факторного призна- ка X на 1 %.

В случае линейной корреляционной зависимости между признаками X и Y , уравнения регрессий находят [4] по формулам:

yˆx

= y + r

S y

(x − x) ,

(47)

Sx

xˆy

= x + r

Sx

(y − y) ,

(48)

S y

где x , y — выборочные средние признаков

X

и Y ; Sx , S y

— выбороч-

ные средние квадратические отклонения признаков X

и Y , вычисляемые

по формулам:

ˆ 2

n

ˆ

1

å(xi − x)

2

ˆ 2

, где

= n−1

(n < 50) ,

(49)

Sx =

Sx

Sx

i=1

n

ˆ

ˆ 2

ˆ 2

1

2

S y =

S y

, где S y

=

n−1

å(yi − y)

(n

< 50) .

(50)

i=1

При n ³ 50 S x

и S y

находят по формулам:

n

S x2 , где S x2

S x

=

= 1n å(xi − x)2 ,

(51)

i=1

n

S y

=

S y2 , где S y2

= 1n å(yi − y)2 .

(52)

i=1

Коэффициент линейной корреляции r находят по формуле:

r =

-

×

xy

x

y

,

(53)

Sx ×Sy

где xy — средняя произведения значений признаков

X и Y , x , y —

средние значения признаков X и Y , Sx , S y

— выборочные средние квад-

ратические отклонения признаков X и Y , вычисленные по формулам (49) и (50), если n < 50 , или по формулам (51) и (52), если n ³ 50 .

Уравнение (47) называют уравнением регрессии y на x , а уравнение

(48) — уравнением регрессии x на y .

56	Глава 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Если данные выборки для признаков X и Y заданы в виде корреля- ционной таблицы и объем выборки n > 30 , то для нахождения величин, входящих в уравнения линий регрессий (47) и (48), переходят к вспомога- тельному распределению с условными вариантами ui и v j , вычисляемых

по формулам:

ui =	x −C
	i 1			,		(54)
	h1
	y	−C	2
v j =		j			,	(55)
		h2

где C1 = M0 X , C2 = M 0Y , h1 и h2 — шаги значений признаков X и Y . Выборочный коэффициент линейной корреляции r в этом случае

находят по формуле

r =

å nuv uv-nu

v

,

(56)

nSu Sv

где

Su

=

−

2 , Sv

=

−

2 .

(57)

u2

u

v2

v

Для нахождения суммы ånuv uv составляется расчетная табл. 21.

Т а б л и ц а 2 1

u

v

v1

v2

…

vk

nu

u

u1v1

u1v2

…

u1vk

nu

nu v

nu v

1

nu v

2

k

1

1 1

1

1

u

2

u2v1

u2v2

…

u2vk

nu

nu v

nu

v

nu

v

2

2

k

2

1

2

2

…

…

…

…

…

…

un

unv1

unv2

…

unvk

nun

nu v

nu

v

2

nu

v

k

n

1

n

n

nv

nv1

nv2

…

nvk

ånuvuv

Статистики x ,

y , Sx , S y находят по формулам:

x =

uh1 + C1,

=

h2 + C2 , Sx = Suh1 , Sy = Svh2 .

(58)

y

v

§ 11. Коэффициент корреляции, его свойства и значимость

После выбора функции как формы корреляционной зависимости ме- жду признаками X и Y решается задача, состоящая в определении тесно- ты связи между ними, в оценке рассеяния относительно линии регрессии

y y

r > 0 r < 0

0	x	0	x
	Рис. 6.		Рис. 7.

58	Глава 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

значений одного признака для различных значений другого. Для этого ис- пользуют выборочный коэффициент r корреляции, который вычисляют по формуле (53). Линейный коэффициент корреляции изменяется на отрезке [–1; 1], т.е. | r | ≤ 1. Если r = ±1, то корреляционная зависимость становится функциональной. В случае r > 0 говорят о положительной корреляции ве- личин X, Y (рис. 6); например, вес и рост человека связаны положительной корреляцией; в случае r < 0 — об отрицательной корреляции (рис. 7). По- ложительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случай- ных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Если r = 0 , то линейная связь между признаками Х и Y отсутствует, но может существовать криволинейная корреляционная связь или нели- нейная функциональная.

Оценку тесноты линейной корреляционной связи определяют [4], пользуясь табл. 22.

			Т а б л и ц а 2 2
	Теснота связи	Величина r
		Положительная	Отрицательная
	Линейной связи нет	0 ÷ 0,2	0 ÷ −0,2
	Слабая	0,2 ÷ 0,5	− 0,2 ÷ −0,5
	Средняя	0,5 ÷ 0,75	− 0,5 ÷ −0,75
	Сильная	0,75 ÷ 0,95	− 0,75 ÷ −0,95
	Функциональная	0,95 ÷1	− 0,95 ÷ −1

Значимость выборочного коэффициента корреляции проверяют по критерию Стьюдента. По опытным данным вычисляют расчетную стати- стику tp , пользуясь формулой:

tp =		r			n−2				.	(59)
				1−r		2

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента (при- ложение 6) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n − 2 находят табличное значение tкр двусторонней критической об-

ласти. Если tp < tкр , то коэффициент корреляции r — незначимый (мало отличается от нуля) и признаки X и Y некоррелированы. Если tp > tкр , то приходят к выводу о наличии линейной корреляционной связи [4].

§ 12. Определение надежности (доверительного интервала) коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции, как правило, рассчитывается по данным выборки. Чтобы полученный результат распространить на генеральную совокупность, возможно возникновение некоторой ошибки, которую оце- нивают с помощью средней квадратичной ошибки σr . С помощью σr

производят оценку надежности коэффициента корреляции, построив дове- рительные интервалы для различных объемов выборки [2]. Пусть число n наблюдений пар чисел (x; y) меньше 50 (n < 50). В этом случае средняя

квадратическая ошибка σr вычисляется по формуле

	σr =	1	−r 2		,	(60)
			n−2

где r — коэффициент парной линейной корреляции, n — объем выборки. Доверительный интервал для оценки r находят по формуле

ˆ	≤ r + tγ σ r ,	(61)
r − tγ σ r ≤ r
где tγ находят по таблице значений функции Лапласа Φ(x)		(приложение

2). Если задать надежность γ = 0,95, то Φ(x) = 2γ = 0,475 и tγ =1,96 .

Если объем выборки n > 50 , то погрешность σr для коэффициента

корреляции r находят также по формуле (60). Затем вычисляют отноше- ние r / σr . Если это отношение больше 3, то можно считать, что найденный

коэффициент корреляции r отражает истинную зависимость между при- знаками X и Y . Величина r − 3σr является, как правило, гарантийным

минимумом, а величина r + 3σr — гарантийным максимумом коэффици-

ента корреляции r и доверительный интервал для оценки r		запишется в
виде
ˆ	≤ r + 3σ r .	(62)
r − 3σ r ≤ r