task_74895

10 ГЛАВА 1. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Эмпирическая функция Fв(x) служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Значения эмпирической функции Fв(x) принадлежат промежутку [0; 1]; ее графиком служит кусочно-постоянная кривая (рис. 1). Она имеет

скачки в точках, которые соответствуют вариантам xi . При обработке ре-

Fв (x)

1

0

x1	x2	x3	xi	xn	x

Рис. 1. Кумулята и эмпирическая функция распределения.

зультатов эксперимента, например, результатов механических испытаний,

целесообразно вместо ступенчатой кривой вычерчивать плавную кривую (на рис. 1 это штриховая линия), которая проходит через точки, располо- женные посередине вертикальных частей ступенчатой кривой [11]. Абс- циссами этих точек служат значения механической характеристики xi , а

ординатами — эмпирическая функция Fв (x), характеризующая оценку ве- роятности события Х ≤ хi .

§ 2. Расчет выборочных характеристик статистического распределения

Рассмотрим выборку объема n со значениями x1, x2 , . . ., xn призна-

ка Х. Для характеристики важнейших свойств статистического распреде- ления используют средние показатели, называемые выборочными число- выми характеристиками. Если значения xi признака Х не сгруппированы

в вариационные ряды (табл. 2, 3, 4) и объем выборки n небольшой, то

оценки для неизвестных математического ожидания а и дисперсии σ2 на- ходят по формулам:

n

x = 1n åxi (2)

i=1

12 ГЛАВА 1. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

для математического ожидания и

	n	n
S 2	= 1n å(x − x)2	= 1n åxi2 − x2	(3)
	i=1	i=1

для дисперсии [8].

Если результаты наблюдений сгруппированы в дискретный вариаци- онный ряд (табл. 3), то те же оценки находят по формулам:

			k		k
	x =	1	å xi ni , n =		åni ,
		n
			i=1		i=1
	k				n
S 2	= 1n å(xi − x)2ni =			1	åni xi2 − x2 .
				n
	i=1				i=1

(4)

(5)

Несомненно, что формулы (2) и (4), как и (3) и (5) дают одинаковые результаты соответственно для x и S2.

По формуле (5) вычисляют S 2 в случае, если объем выборки n ³ 50.

					€2	по формуле:
Если же n < 50 , то вычисляют исправленную дисперсию S
Sˆ 2					n
	=	1		å(xi − x)2		(6)
		n−1
					i=1
для простой выборки, или
Sˆ					k
	2 =		1		å(xi − x)2ni	(7)
			n−1

i=1

для взвешенной выборки.

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по форму-

лам

S =	S	2	ˆ	=	ˆ 2	(8)
			или S		S

при различных объемах выборки.

Для анализа вариационных рядов вычисляют такие статистики, как моду и медиану.

§ 2. Расчет выборочных характеристик

13

Модой M o X называют варианту, которая имеет наибольшую часто- ту. Например, для вариационного ряда

			xi				4				9				14				19
			ni				3				7				2				5
мода равна M o X = 9 .
Медианой Me X			называют варианту,														которая делит вариационный
ряд на равные по числу вариант части [2].
При нечетном объеме выборки n = 2k +1 медиана равна Me X = xk +1 .
Например, для вариационного ряда
	xi				3				5				8				12				15
	ni				6				2				4				5				8

медиана равна Me X = x13 = 12 .

При четном объеме выборки n = 2k медиана находится по формуле:

M	e	X =	xk +xk +1	.	(9)
		2

Здесь xk — варианта, которая находится слева от середины вариа- ционного ряда, а xk +1 — справа от нее. Например, для следующего вариа- ционного ряда:

xi	2	5	7	10	12	14
ni	3	4	8	2	3	6

медиана равна Me X = 7 .

Для вычисления выборочной средней x , выборочной дисперсии S 2 , асимметрии As и эксцесса Ex при достаточно большом объеме выборки

( n > 30 ) применяют метод произведений [3]. При этом вводят условные

варианты ui, которые вычисляют по формуле:
ui = xi h−C ,	(10)

где C = Mo X, h — шаг (длина интервала).

Составляется расчетная табл. 6.

14ГЛАВА 1. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Та б л и ц а 6

								контрольный
	xi	ni	ui	niui	n u2	n u3	n u4	столбец
					i i	i i	i i	n (u		+1)2
									i
								i
	строка	Σ =	Σ =	Σ =	Σ =	Σ =	Σ =	Σ =
	сумм:

Контроль вычислений ведут по формуле:

åni + 2åniui + åniui2 = åni (ui +1)2 .

Пользуясь табл. 6, вычисляют [3] условные начальные моменты по формулам:

M1* = 1n åniui ,	(11)
M 2* = 1n åniui2 ,	(12)
M3* = 1n åniui3 ,	(13)
M 4* = 1n åniui4 .	(14)
Тогда выборочную среднюю находят по формуле:
x = M1*h + C .	(15)
Выборочную дисперсию находят по формуле:
S2 = (M2* − M1*2)h2 .	(16)

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по форму-

ле:

S = S 2 .			(17)

Асимметрию и эксцесс находят по формулам:

§ 2. Расчет выборочных характеристик					15
A =		m3		,	(18)
s		S3
Ex =	m4		− 3,		(19)
	4
	S

где

m = (M * − 3M *M * + 2M * 3 ) h3					(20)
3	3	2	1	1

— условный центральный момент третьего порядка, а

m4 = (M 4* − 4M3*M1* + 6M 2*M1*2 − 3M1*4 )h4

(21)

— условный центральный момент четвертого порядка.

Для характеристики колеблемости признака Х используют [2] отно- сительный показатель — коэффициент вариации V, который для положи- тельной случайной величины Х вычисляют по формуле:

V = S /		.	(22)
	x

Коэффициент вариации подобного вида был предложен Пирсоном (1895) в несколько иной форме:

V ′ = 100S / x .

§ 3. Интервальные (доверительные) оценки параметров распределения

Выборочные характеристики x и S 2 являются надежными количе-

ственными оценками генеральных характеристик a и s2 только при большом объеме выборки. При ограниченных объемах выборки возникает необходимость указать степень точности и надежности оценок генераль- ных характеристик.

При решении практических задач, связанных со статистическим ана- лизом характеристик изучаемого признака Х, например, механических свойств конструкционных материалов, несущей способности элементов конструкций, пропускной способности нефтегазопроводов, себестоимости единицы производимой продукции и т. д., как правило, значения генераль- ной дисперсии и математического ожидания неизвестны.

Для оценки генеральной средней M (X ) = a и генерального средне-

квадратического отклонения σ по выборочной средней x и выборочному среднеквадратическому отклонению S находят [6] доверительные интер- валы по формулам:

x -	S			×tγ < a < x +	S			×tγ ,	(23)
		n				n

§ 3. Интервальные оценки параметров распределения

17

где tγ находят из таблицы (см. приложение 3) по заданным n и γ (γ — уро-

вень доверия или надежность, которая задается заранее).

Для генерального среднего квадратического отклонения доверитель-

ные интервалы находят [6] по формулам:
S(1− q) < σ < S(1+ q) (при q <1),	(24)
или
0 < σ < S(1+ q) (при (q >1).	(25)

Величину q находят по таблице значений q = (γ, n) (приложение 4) по за- данным n и γ.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1.Что называется статистической совокупностью?

2.Что понимается под генеральной совокупностью?

3.Что называется выборкой?

4.Что называется вариационным рядом?

5.Описать алгоритм построения непрерывного вариационного ряда.

6.Рассказать о графическом изображении дискретного и непрерыв- ного вариационных рядов.

7.Что называется эмпирической функцией распределения? Сформу- лировать ее свойства и рассказать о ее назначении.

8.По каким формулам находятся выборочные средние статистиче- ского распределения?

9.Дать определение выборочной дисперсии и рассказать о ее назна-

чении.

10.Записать формулы для вычисления дисперсии для простой и взвешенной выборки.

11.Записать формулы для вычисления исправленной дисперсии и рассказать для чего она вводится.

12.Что называется модой и медианой вариационного ряда?

13.Рассказать о нахождении медианы при различном объеме выбор-

ки.

14.Сформулировать алгоритм вычисления x и S 2 по методу произ-

ведений.

15.Дать определения асимметрии и эксцесса статистического рас- пределения и рассказать об их назначении.

16.Записать доверительные интервалы для оценки генеральных ма- тематического ожидания и среднего квадратического отклонения.

§ 4. Лабораторная работа № 1. Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик

Ц е л ь р а б о т ы: овладение способами построения рядов распре- деления и методами расчета числовых характеристик.

Выполнение лабораторной работы № 1 рассмотрим на примере сле-

дующей задачи.
З а д а ч а. Имеются			данные об обводненности нефти из насосных
скважин (в %):
61,2	61,4	60,2	61,2	61,3	60,4	61,4	60,8	61,2	60,6
61,6	60,2	61,3	60,3	60,7	60,9	61,2	60,5	61,0	61,4
61,1	60,9	61,5	61,4	60,6	61,2	60,1	61,3	61,1	61,3
60,3	61,3	60,6	61,7	60,6	61,2	60,8	61,3	61,0	61,2
60,5	61,4	60,7	61,3	60,9	61,2	61,1	61,3	60,9	61,4
60,7	61,2	60,3	61,1	61,0	61,5	61,3	61,9	61,4	61,3
61,6	61,0	61,7	61,1	60,9	61,5	61,6	61,4	61,5	61,2
61,6	61,3	61,8	61,1	61,7	60,9	62,2	61,1	62,1	61,0
61,5	61,7	62,3	62,3	61,7	62,9	62,5	62,8	62,6	61,5
62,1	62,6	61,6	62,5	62,4	62,3	62,1	62,3	62,2	62,1

С о д е р ж а н и е р а б о т ы: на основе совокупности данных опыта выполнить следующее:

1.Построить ряды распределения (интервальный и дискретный ва- риационные ряды). Изобразить их графики.

2.Построить график накопительных частот — кумуляту.

3.Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

4.Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс.

§ 4. Лабораторная работа № 1

19

5.Построить доверительные интервалы для истинного значения из-

меряемой величины и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

6.Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.

Методические указания по выполнению работы

1.1. Построить интервальный вариационный ряд. Для этого найти: а) размах варьирования признака по формуле R = xmax − xmin , где

xmin — наименьшая, xmax — наибольшая варианты в данной выборочной

совокупности; б) число интервалов вариационного ряда, пользуясь одним из приве-

денных ниже соотношений:

k ≈ n , 6 < k < 12, k ≈ 1+ log2 n ≈ 1+ 3,2lg n, где n — объем выборки; в) длину h частичных интервалов по формуле h = Rk и, если необхо-

димо, округлить это значение до некоторого числа; г) записать полученный интервальный вариационный ряд, заполнив

табл. 2, §1. Сделать контроль, убедившись, что åni = n .

1.2.Построить дискретный вариационный ряд, взяв в качестве вари- ант середины вариант-интервалов непрерывного вариационного ряда, а в качестве частот — частоты непрерывного вариационного ряда (табл. 3).

1.3.Изобразить графически интервальный и дискретный вариацион- ные ряды (построить гистограмму и полигон частот).

2. Построить график накопленных частот — кумуляту, т.е. ломаную, проходящую через точки с координатами xi и соответствующими накоп-

ленными частотами. Предварительно составить табл. 5 § 1.

3. Найти эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

4.1.Найти моду M o X и медиану Me X .

4.2.Для вычисления остальных статистик воспользоваться методом произведений. Ввести условные варианты ui = xi h−C , где C = M o X , h —

шаг (длина интервала). Составить расчетную табл. 6, § 2. Контроль вычислений произвести по формуле:

åni + 2åniui + åniui2 = åni (ui +1)2 .

4.3.Пользуясь табл. 6, вычислить начальные моменты (11) — (14):

M1* = 1n åniui , M2* = 1n åniui2 , M3* = 1n åniui3 , M4* = 1n åniui4 .