task_74895

120 ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Множественный коэффициент корреляции можно получить на осно- ве вычисления определителей, составленных из парных коэффициентов корреляции:

		1	r12	r13	...	r1n			1	r23	r24	...	r2n
		r21	1	r23	...	r2n			r32	1	r34	...	r3n
	* =							=						, R =		*
		r	r	1	...	r	,		r	r	1	...	r				. (101)
		31	32			3n			42	43			4n
		.	.	.	.	.			.	.	.	.	.
		rn1	rn2	rn3	...	1			rn2	rn3	rn4	...	1

Множественный коэффициент корреляции R обладает следующими свойствами:

1.R [0, 1].

2.Если R = 0 , то линейная корреляционная связь между признака-

ми Xi и Y отсутствует, но другая зависимость (функциональная или нели- нейная корреляционная) между ними может существовать.

3.Если R =1, то между факторами Xi и Y существует функцио-

нальная линейная зависимость.

Величину множественного коэффициента корреляции корректируют, так как при малом числе наблюдений значение R получается завышенным. Корректировку осуществляют по формуле:

ˆ		2		n−1
R1.2.L.k =	1 − (1 − R		)		,		(102)
				n−k

где ˆ — скорректированное значение R , n — число наблюдений, k —

R

число факторных признаков. Корректировка R не производится при усло- вии, если (n − k) / k ≥ 20. Для коэффициента множественной корреляции

определяют среднеквадратическую ошибку по формуле:

	S	R	=		1	.	(103)
					n−1
	Если выполняется неравенство R / SR > 3, то						с вероятностью

p = 0,99 можно считать R значимым.

Наряду с определением показателя, отражающего тесноту связи ре- зультативного признака Y с факторными, вместе взятыми, определяют степень влияния каждого фактора в отдельности на изменение результа- тивного фактора с помощью коэффициентов частной корреляции. Если уравнение множественной линейной регрессии между факторами X1 , X2

и Y имеет вид (90), то коэффициенты частной корреляции рассчитывают по формулам:

§ 23. Измерение тесноты множественной линейной корреляционной… 121

r					= rYX1 -rX1X 2 ×rYX 2 ,
YX ( X			2	)			(1-r2	)(1-r2	)
	1
							X1X 2	YX2
r					= rYX 2 -rX1X 2 ×rYX1 .
YX2		( X1)					(1-r2	)(1-r2	)
							X1X 2	YX1

Если линейная регрессия имеет вид

Yˆ1.2.3 = a0 + a1 X1 + a2 X 2 + a3 X 3 ,

то частные коэффициенты корреляции находят по формуле:

rij.kh	=		rij.k -rih.k ×rjh.k				,
			(1-r2	)×(1-r2	)
			ih.k	jh.k

(104)

(105)

(106)

(107)

где i ¹ j ¹ k ¹ h =1,2,3,4 . Для общего случая

r	=	r12.34...( p−1) -r1p.34...( p−1) ×r2 p.34...( p−				1)	.	(108)
1.2...p			(1-r2	)(1-r2	)
			1p.34...( p−1)	2 p.34...( p−1)

Если в корреляционную модель включено k факторных признаков, воздействующих на результативный признак Y , то коэффициент частной корреляции, например, для первого фактора, можно определить по форму- ле:

			r			=		ˆ2	.1.2...k
							1− SY2			,	(190)
			Y1.2...k					SY .2.3...k
								ˆ
где
ˆ 2	1		å(yi − y1.2...k )	2
SY .1.2...k	=				— средний				квадрат отклонений		фактиче-
		n−1
			ˆ

ских значений признака Y от значений, вычисленных по формуле с учетом всех факторных признаков;

ˆ 2	1		å(yi − yˆ2.3...k )	2
SY .2.3...k	=				— средний квадрат отклонений фактиче-
		n−1

ских значений признака Y от значений, вычисленных по формуле, вклю- чающей все факторы кроме первого.

Коэффициенты частной корреляции изменяются от 0 до 1 и облада- ют всеми свойствами парного коэффициента корреляции. Коэффициенту частной корреляции приписывается тот же знак, который имеет в уравне- нии множественной линейной регрессии коэффициент регрессии аi при

соответствующем факторном признаке Xi .

§ 24. Проверка адекватности модели множественной линейной корреляции

Адекватность модели означает не только количественное, но, прежде всего, качественное соответствие описания объекта. Для проверки соответ- ствия полученного уравнения множественной линейной регрессии опыт- ным данным используют коэффициент множественной регрессии R . Если R = 0 , то модель полностью не адекватна. Если R = 1, то модель в общем и в целом воспроизводит свойства моделируемого объекта. Количественным

показателем адекватности модели служит коэффициент детерминации R2 , который показывает долю дисперсии, объясняемой данной моделью в об- щей дисперсии. Адекватность построенной модели может быть проверена по критерию Фишера — Снедекора. Для этого вычисляют [4] статистику FH по формуле:

	F =	R2 (n− p−1)	,	(110)
		(1−R2 ) p
	н

где n — объем выборки; p — число факторных признаков, включенных в

модель. Затем находят при заданном уровне значимости α и числах степе- ней свободы k1 = p , k2 = n − p −1 по таблице критических точек распреде-

ления Фишера Fт . Если Fн > Fт , то уравнение регрессии согласуется с опытными данными, если же Fн < Fт , то уравнение регрессии не согласу-

ется с данными эксперимента.

Адекватность модели множественной корреляции можно определять по средней ошибке аппроксимации

ε = p ê				Y	ú ×100%.		(111)
1		é		Y −Yˆ1.2.L. p	ù
		ë				û

§ 25. Экономическая интерпретация уравнения регрессии

Заключительным этапом, завершающим построение корреляционной модели, является интерпретация полученного уравнения регрессии, т.е. пе- ревод его с языка статистики и математики на язык экономики. Интерпре- тация начинается с выяснения, как каждый факторный признак, входящий в модель, влияет на величину результативного признака. Чем больше ве- личина коэффициента ai регрессии, тем сильнее фактор Xi влияет на ре-

зультативный признак Y. Знаки коэффициентов регрессии ai говорят о ха- рактере влияния на результативный признак. Если коэффициент ai имеет знак (+), то с увеличением данного фактора Xi результативный фактор Y возрастает. Если коэффициент ai имеет знак (–), то с увеличением данного фактора Xi результативный признак уменьшается. Интерпретация знаков

зависит от экономической сущности результативного признака. Если вели-

чина результативного признака должна изменяться в сторону увеличения (объем реализованной продукции, фондоотдача, производительность труда и т.д.), то плюсовые знаки коэффициентов ai свидетельствуют о положи-

тельном влиянии соответствующих факторов. Если величина результатив-

124 ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

ного признака изменяется в сторону снижения (себестоимость продукции, материалоемкость, простои оборудования и т.д.), то в этом случае положи- тельное влияние на результативный признак будут оказывать факторы, коэффициенты которых отрицательны.

Математическая формулировка задачи. Выбор результативного

и факторных признаков

Выбор вероятностной регрессионной модели

Оценка параметров уравнения регрессии

Предварительное планирование экспе- римента. Постановка эксперимента или

сбор информации

Оценка согласованности принятой регрессионной модели

с эмпирическими данными

Нет Цель достигнута?

Да

Регрессионный анализ: построение доверительных интервалов для ai , M ( Y / X), проверка гипотез относительно параметров регрессионной модели

Практическое применение полученного уравнения регрессии для управления производством или для предсказания

Рис. 12. Алгоритм построения многофакторной модели: объяснение — управ- ление — предсказание.

Если экономический анализ подсказывает, что факторный признак должен влиять положительно, а коэффициент при нем имеет знак (–), то необходимо проверить расчеты. Так получается за счет допущенных оши- бок при решении и в силу наличия взаимосвязей между факторными при- знаками, включенными в модель, влияющих в совокупности на результа- тивный признак.

При построении регрессионной модели можно рекомендовать алгоритм выполнения операций, представленный на рис.12.

§ 25. Экономическая интерпретация уравнения регрессии	125
К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы :

1.Рассказать о механизме включения факторных признаков в модель множественной линейной корреляции.

2.Как найти коэффициенты a0 , a1, a2 уравнения регрессии

Yˆ1.2 = a0 + a1 X1 + a2 X 2 ?

3.Записать модельное уравнение множественной линейной регрессии для случая, когда в модель включено четыре фактора.

4.Записать систему нормальных уравнений для уравнения

Yˆ1.2.3 = a0 + a1 X1 + a2 X 2 + a3 X 3 .

5.Как определяется надежность коэффициентов уравнения множест- венной линейной регрессии?

6.Как решается вопрос об измерении тесноты связи между факторны- ми и результативными признаками в случае множественной линейной кор- реляции?

7.Как осуществляется корректировка множественного коэффициента корреляции?

8.Как определить степень влияния каждого факторного признака в от- дельности, включенного в модельное уравнение множественной линейной регрессии, на изменение результативного признака?

9.Рассказать, как осуществляется проверка адекватности модели мно- жественной линейной корреляции.

10.Рассказать об экономической интерпретации уравнения множест- венной линейной регрессии.

§ 26. Лабораторная работа № 6. Построение модели множественной линейной корреляции

Ц е л ь р а б о т ы: овладение способами построения модели множест- венной линейной корреляции, выработка умений и навыков нахождения параметров уравнения, оценки надежности уравнения регрессии и его па- раметров, проведения экономической интерпретации полученных резуль- татов.

Со д е р ж а н и е р а б о т ы: на основании опытных данных требуется:

1.Определить форму связи между факторными и результативными признаками, построив корреляционные поля на плоскости для каждой па- ры факторов. Записать уравнение множественной регрессии.

2.Произвести отбор факторов, включаемых в модель.

3.Определить тесноту связи между факторами, включенными в мо- дель множественной линейной корреляции.

4.Найти оценки уравнения регрессии по методу наименьших квад-

ратов.

5.Проверить адекватность полученного модельного уравнения рег- рессии тремя способами:

– с помощью коэффициента детерминации R2 ;

§ 26. Лабораторная работа № 6

127

–по критерию Фишера;

–с помощью средней ошибки аппроксимации.

6.Определить воздействие неучтенных в модели факторов.

7.Дать экономическую интерпретацию найденных оценок уравне- ния регрессии.

З а д а ч а. Исходные данные для признаков X1 , X2 , X3 , Y — для различных нефтегазодобывающих управлений — приведены в табл. 40:

Т а б л и ц а 4 0

Признаки			Значение признаков на различных НГДУ
X1	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92	0,91	0,93	0,89
X 2	45	47	42	46	43	45	48	46	48	44
X3	69	71	64	66	65	63	68	66	69	65
Y	35	36	31	33	34	32	38	34	37	33

В таблице обозначено: X1 — коэффициент эксплуатации скважин; X2 — дебит скважин (тн/сут.); X3 — уровень автоматизации труда (%);

Y — производительность труда (тн/чел.).

Определим форму связи. Для чего строим корреляционные поля (рис. 13 – 18), по которым можно предположить, что зависимость между факторными признаками X1, X 2 , X3 и результативным признаком Y мо-

жет носить линейный характер. Решим вопрос о включении факторных признаков X1, X 2 , X3 в уравнение линейной регрессии. Найдем коэффи-

циенты парной корреляции по формуле (53). Предварительно составим расчетную табл. 41. Пользуясь табл. 41 и формулами (49) — (50), находим:

ˆ 2

1

2

ˆ

S X1

=

n−1

[(X1

− X1 )

] = 0,00236 / 9 = 0,000262 ,

S X1 = 0,0162 .

ˆ 2

1

2

ˆ

=

[(X 2

− X 2 )

] =

= 2,0494.

S X

2

-

37,8 / 9 = 4,2 , SX

n 1

2

ˆ 2

1

2

ˆ

S X 3

=

n−1

[(X 3

−

X 3 )

] = 58,4 / 9 = 6,4 (8) ,

S X 3 = 2,5473.

ˆ 2

1

2

ˆ

SY

=

n−1

[(Y − Y )

] = 44,1/ 9 = 4,9 , SY = 2,2136.

=

-

1

2

=

= 0,69 .

X1X 2

41,246-0,908×45,4

rX

X

X

X

2

ˆ

ˆ

0,0162×2,0494

1

SX1

×SX 2

Т а б л и ц а 41

Факторы											Значения факторов											Сумма	Среднее
X1				0,92		0,93		0,89		0,9		0,9		0,89		0,92		0,91		0,93		9,08	0,908
																					0,89
X2				45		47		42		46		43		45		48		46		48	44	454	45,4
X3				69		71		64		66		65		63		68		66		69	65	666	66,6
Y				35		36		31		33		34		32		38		34		37	33	343	34,3
X1Y				32,2		33,48		27,59		29,7		30,6		28,48		34,96		30,94		34,41	29,37	311,73	31,173
X2Y				1575		1692		1302		1518		1462		1440		1824		1564		1776	1452	15605	1560,5
X3Y				2415		2556		1984		2178		2210		2016		2584		2244		2553	2145	22885	2288,5
X1X2				41,4		43,71		37,38		41,4		38,7		40,05		44,16		41,86		44,64	39,16	412,46	41,246
X2X3				3105		3337		3688		3036		2795		2835		3264		3036		3312	2860	302683	3026,8
X3X1				63,48		66,03		56,96		59,4		58,5		56,07		62,56		60,06		64,17	57,85	605,08	60,508
X12				0,8464		0,6849		0,7921		0,81		0,81		0,7921		0,8464		0,8281		0,6849	0,7921	8,247
X22				2025		2209		1764		2116		1849		2025		2304		2116		2304	1936	20648
X32				4761		5041		4096		4356		4225		3969		4624		4356		4761	4225	44414
106 (X1 — X			1)2	144		484		324		64		64		324		144		4		484	324	2360
(X2 — X		2)2		0,16		2,56		11,56		0,36		5,76		0,16		6,76		0,36		6,76	1,96	36,4
(X3 — X3)2				5,76		19,36		6,76		0,36		2,56		12,96		1,96		0,36		5,76	2,56	58,4
(Y — Y	)2			0,49		2,89		10,89		1,69		0,09		5,29		13,69		0,09		7,29	1,69	44,1

КОРРЕЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНАЯ МНОЖЕСТВЕННАЯ .5 ГЛАВА 128

§ 26. Лабораторная работа № 6

129

r

X

=

X1X 3

-

X1×X3

=

60,508-0,908×66,6

= 0,85

,

×

X

1

3

ˆ

ˆ

SX

1 SX 3

0,0162 2,5473

=

×

=

= 0,60 .

rX

X

X 2

X3

3026,8-45,4×66,6

2

ˆ

ˆ

2,0494×2,5473

3

S X 2

×SX 3

По найденным коэффициентам парной корреляции видно, что силь- но коррелируют между собой факторы X1 или X3 . Для решения вопроса о

X2

X3

X1

X2

Рис.13. Рис.16.

X3

Y

X1

X2

Рис.14. Рис.17.

Y Y

X1

X3

Рис.15. Рис.18.